1、1. 引言12. 實對稱矩陣正定、半正定的簡易判別方法 12.1 實對稱矩陣的幾個定義 12.2 實對稱矩陣正定的充分必要條件有下列幾種方法：12.3 實對稱矩陣正定簡易判別的幾個充分必要條件。 32.3.1 n階實對稱矩陣 A正定的充分必要條件是A合同于單位矩陣E訂42.3.2 n元實二次型正定的充分必要條件是它的正慣性指數9等于n。52.4 實對稱矩陣A半正定的幾個充分必要條件6 L 52.4.1 二次型 f xX2,，xn = xT Ax，其中 AT = A， f xx?,，xn 半正定。.52.4.2 n階實對稱矩陣A是半正定矩陣的充分必要條件是A的正慣性指數等于它的秩。52.4.3

2、n階對稱矩陣 A是半正定矩陣的充分必要條件是A的特征值全大于等于零，但至少有一個特征值等于零。 52.4.4 實對稱矩陣A的所有主子式皆大于或等于零。 52.4.5 有實矩陣C使A =C TC，則A半正定。 5飛0l2.4.6 n階對稱矩陣A是半正定矩陣的充分必要條件是它與矩陣合同。.50 03. 利用合同變換原理推出的降階法1判別實對稱矩陣的正定與半正定。 54. 實對稱正定矩陣的另一個充分必要條件 85. 實對稱矩陣為正定的充分性的判別法 96. 實對稱矩陣半正定的一個新依據 117.實對稱矩陣的一個簡單應用 13參考文獻16致謝171實對稱矩陣正定、半正定的簡易判別摘 要：實對稱矩陣是矩

3、陣論中的一個重要概念，不僅在高等代數中有著重 要的應用，在其他課程里，如計算機、醫學成像，空間二次曲面等領域中也有重 要應用。為了更好地用實對稱矩陣來解決問題，本文主要討論實對稱矩陣正定性、半正定性的若干判別方法和簡單應用，并對其做進一步的探討。關鍵詞：實對稱矩陣，正定，半正定，二次型，簡易判別。Real symmetric matrix positive definite, positive semidefinite TheDiscriminantN umber of classes of the 0701 Wang ChunmiaoTutor: CaoChunjuanAbstract: T

4、he real symmetric matrix is an important concept in matrix theory, not only in adva need algebra has importa nt applicati ons in other curriculum, such as computer, medical imaging, space and other areas of the second surface also has important applications. In order to better use the real symmetric

5、 matrix to solve the problem, this paper focuses on real symmetric matrix positive definite, semi-positive definite identification methods and a number of simple applications, and its further discussi on.Key words: real symmetric matrix, positive definite, positive semidefinite, quadratic, simple di

6、scrim in ati on.31引言實對稱矩陣正定、半正定的判別問題，實際上就是二次型函數 xtax的正 定性、半 正定性 的判別問題,因此我們也 可把問題轉化到判 斷二次 型函數 xtax的正定性、半正定性的問題。或者也可以根據其他方法如合同變換等來 判別。目前，實對稱矩陣正定性、半正定性的判別已有多種方法，方法有繁有易。 由于判斷一個實對稱矩陣為正定、 半正定在實際工作中是很有必要。本文將列舉 一些比較簡易的判別實對稱矩陣正定性、半正定性的方法，對其中一部分判別方 法進行證明，并加以舉例說明。2實對稱矩陣正定、半正定的簡易判別方法2.1實對稱矩陣的幾個定義3丨定義1：設f Xi，X2,

7、，Xn是一實二次型，對于任意一組不全為零的實數Ci,C2 .Cn，如果有f Ci,C2,Cn >0，那么f XiX, X 稱為正定。定義2 :設f Xi，X2,，Xn是一實二次型，對于任意一組不全為零的實數Ci，C2 .Cn，如果有f Ci，C2,Cn _ 0，那么f X-X?, X 稱為半正定。定義 3：設二次型 f Xi,X2，Xn XAX，其中 = A ,若 f Xi,X2，Xn 正 定或半正定，則A稱為正定或半正定矩陣。定義4：合同變換的定義：設A,BFnn如果存在非奇異矩陣pFn n，使得B =PTAP則稱A和B合同，這種變換稱為合同變換。對稱矩陣經合同變換后仍 為對稱矩陣。2

8、.2實對稱矩陣正定的充分必要條件有下列幾種方法：在實際應用和理論研究中，判別一個實對稱矩陣是否正定是很重要的。到目 前為止，判別一個實對稱矩陣A= aj ，aj均為實數， a =a, ,i, j =1/' n為正定 的充分必要條件有下列四種方法2 ：1 A的所有特征值都大于0.2 A的L LT分解存在,其中L是F三角形矩陣，LT是L的轉置矩陣，I ii =1 i =1,2, n是L的主對角線元素,且IH >0 .3 A的LQL：分解存在,其中L!是F三角形矩陣，I ii =1 i =1,2，n 是L的主對角線元素，D是以dH >0 i =1,2，n為主對角線元素的對角線矩陣

9、。4在不選主元素的高斯消去法中，A的主元素都大于0 .現舉一例如下，說明上述四種方法的應用22- 2例判別實對稱矩陣A=254的正定性。-2-45解：1. A的特征多項式為-2 2九 _54=（幾-1 j （九 _10 ）4 九-5若令2.設 L =1211 22111 0 0 -1 111211 31-1 21 122 0* 101 221 32=1 311321 33100133 一A = L21112111131 1111 331 32TL L11i = 2，LT，則有:=5，1211 311 22 1 32 =-4，lii 0,i =1,2,3，則111 1212 21 21 1 22

10、111 1311 31 1 211 32 1 221 21 1 311 22 1 32A21 I 312 21 311 32111 12111113-21 311 321 33 =5所以A的特征值：r =，2 =1 ， '3 - 10都是正數，故A是正定的。001113#由此既得,1 11 = 1 21131= -2，32所以，L =4203L2、30#這表明L LT的分解存在3.根據上面求的L，易知-010100-00L =42430=110It0(302 J3v；15-12 100v；15 %' 21333L3所以-1012300這表明A的100110*2-113一1002

11、0TL1 DL 14.因為 A =153015310-11231005310-11231的分解存在,A是正定的。22-222-222-225-403-2=03-2-2-450-230053#第四個行由此可知：第二個行列式的主元素是5 ,第三個行列式的主元素是列式的主元素是3 ,即所有主元素都大于0。這就是說，在不選主元素的高斯消去法中，主元素都大于0 ,所以A是正定的。2.3實對稱矩陣正定簡易判別的幾個充分必要條件。對于實二次型f XX2,X3 =XTAX是正定的充分必要條件為矩陣A的順序主子式全大于零10。例 判別實二次型 f X1, X2, X3 =5x1 x2 5x3 4X1X2 8X1

12、X3 4X2X3 是否正定。52-4解 f（xX2,X3 ）的矩陣為21-24 -25 _552-4它的順序主子式5>0,2 1 >°，21-2 >0_4-25因之f Xi,X2,X3正定，.A正定。對于實二次型f X1,X2,X3 =XTAX是半正定的充分必要條件為矩陣A的順序主子式皆大于或等于零。2.3.1 n階實對稱矩陣A正定的充分必要條件是A合同于單位矩陣E 3證明：必要性由于二次型f Xi,X2,Xn = XT AX，其中AT = A，若A正定，存在非退化線性替換，X =TY把f化為規范型2 2 2f Xi,X2,，Xn =diyi - d?y2-dn y

13、n其中di = -1或0。由于f是正定二次型，可證 di -1 i =1,2,n用反證法.若存在某一個d k = -1或0那么令y2,，yn二；1其中第k個分量為，其余均為0則（yy2,，yn ）式0，從而可得（論，x. $ =T（yy式0f X1, X2,，Xn =dk 乞0這與正定二次型的定義即定義1矛盾，從而有dj =1 i =1,2，,n成立。再由 f XX2，Xn =XTAX ny； y； y； =YtEY.a=ttet充分性 若A = pT EP ,則A二PT P，其中P是可逆陣。令X二PY，則=f X1 ,X2，Xn 二 y； - y： y：因此，任意J = 5 , C2 ,，C

14、n卜0，則t/lcjJL2,2,2 f 5，Cn "- t2- tn 0:式0'Cn 一 即證f是正定二次型.即有A為正定矩陣7232 n元實二次型f xx2,，xn正定的充分必要條件是它的正慣性指數9 I等于n .證明：由于二次型f Xi，X2,xn經過非退化線性替換X =TY，把f化為標準 型2 2 2f Xi,X2,，Xn 二 dy - d?y2 dn yn，由于fxi,X2,，Xn正定當且僅當diyd2y； a- hdny；是正定的，而dy； d 2丫： dn y；是正定的當且僅當di . 0, i = 1,2,，n,即正慣性指數等n .2.4 實對稱矩陣A半正定的幾

15、個充分必要條件612.4.1 二次型 f Xi, X2，Xn = XT Ax，其中 AJ= A， f X1 ,X2，Xn 半正定。2.4.2 n階實對稱矩陣A是半正定矩陣的充分必要條件是A的正慣性指數等于它的秩。2.4.3 n階對稱矩陣A是半正定矩陣的充分必要條件是A的特征值全大于等于零，但至少有一個特征值等于零。2.4.4 實對稱矩陣A的所有主子式皆大于或等于零2.4.5 有實矩陣C使A二CTC，則a半正定。2.4.6 n階對稱矩陣A是半正定矩陣的充分必要條件是它與矩陣同。3利用合同變換原理推出的降階法 1判別實對稱矩陣的正定與半正定理1 :設 aj Fn n是秩為r 0的對稱矩陣，則存在非

16、奇異矩陣P Fnn 使得，PTAP -diag s,C2,，5,0 ，0，其中，5= 0,i = 1,2，r.定理2 :設任意非零實對稱矩陣A = a ij i e F n n，則存在 非奇異矩陣P，Fnn，使得PtAP = a11：式中，an為A對角線上的第一個元素。| 0 A9#A12 = a12 a12a 1n證明:設A對稱,aij = a ji"ana a Sa 12am -a 12a22a2n"an一 11A121-=T:*12A22a n1a d n2ann因A非零,故可設a11則可進行變換,* =一 |=J丿a11TA121A12A220行變換消 A；2a11

17、01_LA22 A12 a 11 a 120A12列變換消A12a110A22- a11a 11 A12a1170aO1 , . .PTA12 A12式中P = 1衛1-a11IA"J -an A11'I0 a11A；2A121A22"0-a11 a12I*110定理3:定理中,正定的充分必要條件是a11>0,A1正定。證明1.必要性X = Xt，X n L，- 0 , X二 PY ,P式0,有 Y =y1 ,，yn】TTTX AX =YTP APY=yta11一02 y3yn 】a°)y2y3ynT 0,得出，若A正定,則要求a11>0,A

18、1正定.必要性證畢。2.充分性2an y 1+ 丘2丫3 yn he )卜2丫3 yna 11_0*11(p )X= x T AX11得出，只要a11>0, A1正定，定有A正定。充分性證畢。定理4:定理2中A半正定的充分必要條件是a11 >0, aC半正定。證明 1.必要性重復定理3過程有X 丁 AX = an y： +飢y3yn】A 12 y3y n丨-0 因A非零,故必有a >0（或經合同變換后有a： >0）.得出，若A半正定，則要求a： >0，A1半正定2.充分性 a： y；+S y3yn 】A（：）Sy3yn 】T = X T AX當 a： >0

19、， A（： 半時，A也必是半正定.證畢。綜合定理3和定理4得出一個重要結論：一個n階實對稱矩陣A的正定性和 半正定性的判別問題，可以化成一個常數a：的正負號與一個n /階實對稱矩陣A：的正定性和半正定性的判別問題。運用分塊拒陣變換判別以下矩陣屬于哪一類矩陣。7判別實對稱矩陣A=屬于哪一類矩陣？7將A分成分塊矩陣A =I a：AT：2A：2A22式中a： =7判別Aa： = 70A (：)=A -a 丄 At22 ： A：2(：)：J 487 | 648#將A：再分成分塊矩陣48式中A：)=-7A (2) = A)-a：汁 Ag)A宀竺-丄 X - X 6 =74877a：f b A (2) =

20、 27 >0,故 A 正定。4A2（2）=(2)727 >04a：()=竺 >07因 a：>0af>0#-2例2判別A =900 1-2屬于哪類矩陣a I, 9A1 二54-2 I28A（2）=5224 21J 95 h81836a,2 =1.8（3）A（）=7 2X 3.6 X 3.6 =0,.8（3）因為a, >0a； = A =0故A半正定。4實對稱正定矩陣判別的另一個充分必要條件定理8A Rn n是正定矩陣的充分必要條件是存在實正定對稱矩P ,使 得 Re 入 PA > 0, A,ATp = 0證明： 若A =S K是正定矩陣，令P二S 1，則

21、P是實正定對稱矩陣，由1 式若存在實正定對稱矩陣p ,使得1式成立，則有apat=atpa從而由p12 存在知(P 2 A P 2) T ( P 2 A P 2)=( P 2 A P 2 )( P 2 A P 2 ) T .故P 2 A P 2是規范矩陣.由PA與P 2 A P 2相似及Re，PA >0,得Re '(P 2 A P 2 ) >0.由P 2 A P 2正定,得A正定.定理2設A =S K Rn n,則A是正定矩陣的充分必要條件是存在實正p = 0.定對稱矩陣P ,使，PS 0 ,且S , K13-2#-2證明：如果A是正定矩陣,則S " 是正定對稱矩

22、陣.令P = S",顯然有#-2#-2 PS 0 與 S, K Ip =0.反之，由 S,K Ip 得 SPKKPS .而#-2APA - AT PA T APA T _ at PA#SPK1 AA P A AT = 1 APA _ ATPA APA T -ATPA44apat =atpa , 即 Ia, at0 .注意至U P 2存在且P 2 A P 2 =P 2 S P 2 + P 2 K P 2，其中P 2 S P 2與P 2 K P 2分別是P 2 A P 2的對稱分 支與反對稱分支由，P12SP'二 PS .0 ,得P'2S P12是實正定對稱矩陣 即P -

23、1； A P12是實正定矩陣且A實正定.5實對稱矩陣為正定的充分性的判別法.我們知道，當實對稱矩陣A的階數很高時，要完成上述五種方法中的任何 一種的計算都不是容易的，下面介紹一種比較簡單的關于實對稱矩陣為正定的充分性幾的判別法21.b11b12(I先討論正元素對稱矩陣：B =b 21b22b2nbn11 a bbn2bnnbj二bj Oi,j =1,2,n的正定性的判別法15#yij = 10 ：: yj : 1minij：1,0<maxYij i = j<1#我們有下列定理定理1若矩陣B的階數n 3 ,且有不等式：n P -2<an - 2則矩陣B是正定的。證明：因為當n

24、一3且有不等式2時，正元素對稱矩陣1yi2yinA = |y21yi2y2n是正定的。所以A的i階順序主子式: > >niyn21一1 y12y1i#17y211Ai =yyi2y2i>0i =12,n#所以B的階順序主子式:b11b12b1 ib11pb11b12b1 iBi =b21b22b2 i cB<>=b21弋 b 22" J匕22八b2 ibi1bi 2biibi 1bi 2 Y* 6 屮 bii從第i行提取公因從第一行提取公因式. bn ,從第二行提取公因式.b22 ,式.bii 得:b21Bi = , bn. b22 ,ii,b22bi1

25、bii再從第一列提取公因式.b11b12. b11r.，b22b1i.b11b2ib22從第二列提取公因式“2；，從第i列提取公#因式.bii 得:#Bi = b11 b 22b iiy21y121y1iy2i _=b 11 b 22bii A i#yi1#所以 B i >0 i 1,2, n ，故B是正定的。#例判別正元素對稱矩陣:_222 254是正定的。4#51解:由上述定理可得：A=J2詬2、.545119#5由此可知：A的非對角線元素均滿足：0<yij <1 i = j,i, j =1,2,3n =3(4=3 一2所以A是正定的。故B也是正定的.6實對稱矩陣半正定判

26、定的一個新依據一般我們認為，A為正定（半正定）的充分必要條件是其所有主子式>0_0. 但是由于一個n階矩陣的主要主子式只有n個,由以上定理，正定矩陣的判據放 寬了，簡化了，但是生正定矩陣的判據仍然較繁。然而，由于誤解，某些控制理 論及數學書籍中，常把“主要主子式”非負作為半正定矩陣的判據。但是，這 種認識是錯誤的。1 0 0例 A = 0 00 其所有順序主子式均3。，但是不定的。0 0 -1那么，是否有別的辦法能簡化半正定矩陣的判據呢？有。以下我們給出一個較寬 的半正定矩陣的封據。為證明這個新判據，先給如下引理：引理1如果A之階數最高的非奇異主子矩陣4】為r階，則rankA =r,1乞

27、i乞n。這里，A的主子矩陣即為A的主子式所對應的矩陣：2< <-證明：設h A=f 則其系數a,二A的所有i階主子式之和-0，所以#rankA _ r.3又所有r 1 , r 2 ,n階主子式皆為0，所以aj = 0,i = r 1,，n.(2式可以寫為：|7Jajjr(_1 g ,即A至少有(n_r)重零根。又實對稱矩陣皆可對角化，即有 Q -AQ工對角陣，1rankA = rankQ _AQ 二 r.3、4式，必有rankA = r ,1 _ r _ n。引理1證畢。引理2 A為半正定矩陣的充分必要條件是A=；r 0I0 0 一，即有 P, ptap0 021rankA _ r

28、.3#rankA _ r.3定理3 A為半正定的充分必要條件是其任意一個階數最高的非奇異主子矩陣為正定矩陣。證明:設A之某一階數最高的非奇異主子矩A二Ar r有合同變換,即有卩!使叮AP!Ar r_bT：.再令P2七TP2Ir|- bt a有 P2TPTAP1PP2T'|:P2Ar r0#rankA _ r.3#rankA _ r.3這里D二C_BTA：rB.由引理1及合同變換不改變A之秩，必有D = 0 .如若不然，即D -0 ,則至少有D中某一元dii -0，于是有det P2t Pj AP1P21,2，r ,r iAr0dijAr r#rankA _ r.3#rankA _ r.

29、3rankA = rankP 1T P2T AP1P2 - r - 1，矛盾。若Ar r為正定矩陣，則Ar r ：“ I r，A -0 0由引理2，A為半正定矩陣#同理可證必要性.定理3證畢.推論1 A為半正定的充分必要條件是其任意一個最高階非奇異主子矩陣的 主要主子式0.顯然，當該非奇異主子矩陣的階數就是 n時，則A為正定的。我們看到，定 理3包含了定理2的前一部分，發展了其后一部分。推論2 A為半負定的充分必要條件是一 A的任意一個最高階非奇異主子矩 陣的主要主子式0.由以上推論，在判定A之定性時，并不需要計算所有2n _1個主子式，因此在計算機運算或手算中，均可減少運算程序A?241=1

30、12123J 2 4J237有A =0而-0I 24以下只需計算A I的主要主I I2 4一-11121223A =1222-2337例, 亠 1 1子式。有D! =1 A0,D2 =0 .二A為半正定矩陣1 27實對稱矩陣的一個簡單應用在實際問題中，經常會遇到求三元以上函數的極值問題 7I對此可有二次型 的正定性加以解決。定義1設n元函數f（X ）= f（X-,Xn 在 X =（X1,，Xn ）丁 Rn的某個領域內有 一階、二階連續偏導數。記 W（x,蟲,，型），I玫1比&n丿W（X稱為函數f（X ）在點X =（X1,X2，,Xn T處的梯度。定義2 滿足I f X。=0的點X。稱為

31、函數f X的駐點.#八（X ）hf(x )定義3 H X =:：2f Xx jnn22：f X：嘆2%1：XX22r f X譏Xn2r f XXn2：f X|_&nX12r f x .jXn X22$ f(X )2:Xn稱為函數f X在點X = x1 ,x2 , xn在點X二.Rn處得黑塞矩陣。顯然H X是由f X的n2個二階偏導數構成的階實對稱矩陣。定理1 （極值存在的必要條件）設函數f （X ）在點x0 =（0 0Xi , X2 ,x：）T處存23#在一階偏導數，且X 0為該函數的極值點，貝U If X。= 0定理2極值的充分條件設函數設n兀函數f X = f Xt，xX0. Rn的某個領域內有一階、二階連續偏導數。且則：1當H X。為正定矩陣時,f Xo為f X的極小值;2當H X。為負定矩陣時,f Xo為f X的極大值;3當H X。為不定矩陣時,f X 0不為f X的極值。務(X 0 )& (X° )fX0）、&155cx2,矢丿if X。二二 0#應注意的問題:利用二次型的正定性來判斷多元函數的極值雖然是一個很好的方法，但也有一定的局限，因為充分條件對正定和負定的要求是很嚴格的， 若條件不滿足，結 論就不一定成立。例求三元函數f X, y, z = X2 2y2 3z2 2x，4y_6z的極值.得 X-1 ， y=_1 ，