1、代數變形中常用的技巧云南電大省直分校 數學與應用數學專業 毛里安摘要：代數變形是為了達到某種目的或需要而采取的一種手段，是化歸、轉化和聯想的準備階段，它屬于技能性的知識，當然存在著技巧和方法，也就需要人們在學習代數的實踐中反復操練才能把握，乃至靈活應用。代數變形技巧是學習掌握代數的重要基礎，這種變形能力的強弱直接關系到解題能力的發展。本文就初等代數變形中的解題技巧，作一些論述。兩個代數式A、B，如果對于其中所含字母的一切允許值它們對應的值都相等，則稱這兩個代數式恒等，記作AB或A=B，把一個代數式換成另一個和它恒等的代數式，叫做代數式的恒等變形。恒等變形是代數的最基本知識，是學好中學數學的基礎

2、，恒等變形的理論依據是運算律和運算法則，所以，恒等變形必須遵循各運算法則，并按各運算法則在其定義域內進行變形。代數恒等變形技巧是學習與掌握代數的重要基礎,這種變形能力的強弱直接關系到解題能力的發展。代數恒等變形實質上是為了達到某種目的或需要而采取的一種手段，是化歸、轉化和聯想的準備階段，它屬于技能性的知識，當然存在著技巧和方法，也就需要人們在學習代數的實踐中反復操練才能把握，乃至靈活與綜合應用。中學生在平時的學習中不善于積累和總結變形經驗，在稍復雜的問題面前常因變形方向不清，而導致常規的化歸、轉化工作難以實施，甚至失敗，其后果直接影響著應試的能力及效率。代數的恒等變形包括的內容較多，本文著重闡

3、述代數運算和解題中常見的變形技巧及應用。一、整式變形整式變形包括整式的加減、乘除、因式分解等知識。這些知識都是代數中的最基礎的知識。有關整式的運算與化簡求值，常用到整式的變形。例1：化簡(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2-3(y-z)2-3(z-x)2-3(x-y)2分析：此題若按常規方法先去括號，再合并類項來進行恒等變形的話，計算會繁雜。而通過觀察發現此題是一個輪換對稱多項式，就其特點而言，若用換元法會使變形簡單，從而也說明了換元法是變形的一種重要方法。解：設y-z=a, z-x=b, x-y=c,則a+b+c=0，y+z-2x=b-c, x+z-2y=c-a, x+

4、y-2z=a-b。于是原式=(b-c)2+(c-a)2+(a-b)2-3a2-3b2-3c2=b2-2ac+c2+c2-2ac+a2+a2-2ab+b2-3a2-3b2-3c2=-a2 -b2-c2-2ac-2ab-2bc=-(a+b+c)2=0例2：分解因式 (1-x2)(1-y2)-4xy x4+y4+ x2y2分析：本題的兩個小題，若按通則變形，則困難重重，不知從何下手，但從其含平方的項來研究，考慮應用配方法會使變形迎刃而解。題先將括號展開，并把-4xy拆成-2xy和-2xy，再分組就可以配成完全平方式。題用添項、減項法加上x2y2再減去x2y2，即可配方，然后再進行變形分解。解：原式=

5、 1-y2-x2+x2y2-2xy-2xy =(1-2xy+x2y2)-( x2+2xy+ y2) =(1-xy)2-(x+y)2 =(1-xy+x+y)(1-xy-x-y)原式= x4+y4+ x2y2+x2y2-x2y2=(x2+y2)2-x2y2=( x2+y2+xy) ( x2+y2-xy)以上兩例充分說明了，配方法、因式分解法、換元法都是恒等變形的方法與基礎，它們都是學習數學的有力工具，是解決數學問題的武器。因此，這些變形技巧必須熟練掌握。二、分式變形眾所周知，對學生而言，分式的變形較為復雜，也很講究技巧。通分化簡是常規方法，但很多涉及分式的問題僅此而已是不夠的，還需按既定的目標逆向

6、變通，這時將分式分解成部分分式、分離常數、分子變位等便成了特殊的技巧，靈活應用這些變形技巧便會使問題迎刃而解。有關分式的計算、化簡、求值、證明，常常采用分式的變形技巧。（一）將已知條件變形，再直接代入例：已知=a, =b, =c, 且x+y+z0, 試求+的值。分析：此題若按常規方法，把已知條件直接代入所求進行計算，計算會很復雜，也不容易求得正確答案。通過觀察已知和未知的式子，考慮將已知條件進行變形，再整改代入未知中去，計算起來比較簡單。因此，對已知條件進行變形也是非常必要的。解：由已知得1+a=1+=所以=，同理=，=所以原式=+=1（二）應用比例的基本性質進行恒等變形例：已知=，求的值。解

7、：由已知條件知a0，b0，把已知條件中的等式變形并利用等比性質消去b，得=1 a=3b原式=（三）利用倒數知識進行恒等變形例：已知a、b、c為實數，且=，=，=，求的值。解：顯然a、b、c均不為零，故將三個條件分式兩邊分別取倒數，得：=3，=4，=5再逆用分式加法法則變形得：+=3，+=4，+=5三式相加，得+=6，再通分變形得=6，兩邊取倒數得=， 原式=本題多次應用了通分，逆用通分，取倒數等恒等變形，使問題得到了解決，說明這些方法都是代數變形的重要方法，這些技巧應理解掌握。（四）利用常值代換進行恒等變形例：已知abc=1,求+的值。解： abc=1原式=+=1本題的解法很巧，若將所求通分化

8、簡，再代入已知或將已知變形再代入所求都不易求出結果。習慣上是將字母代換成數，而此題是將數代換成字母，反而收效較好。因此，常值代換也是恒等變形的重要技巧。（五）利用設比例系數進行恒等變形例：已知=，求的值。解：設=k(k0),則x=(a-b)k，y=(b-c)k，z=(c-a)k原式=0此變形是解有關等比問題的重要技巧。（六）利用添項拆項進行恒等變形例：已知abc0，a+b+c=0，求a(+)+b(+)+c(+)的值。解：由abc0，知+=3，故原式=a(+)+b(+)+c(+)-3=(a+b+c)(+)-3=-3（七）利用運算定律進行恒等變形例：求值(+)+(+)+(+)+(+)= 解：原式=

9、+(+)+(+)+(+) =+=（1+2+3+59） =×=885（八）利用整體代換思想進行變形例：已知x2-3x+1=0，求x3+1/x3 =3的值。分析：此題若用常規方法先求出x的值，再代入x3+1/x3 =3中進行計算是很繁的，如果注意到運用立方和公式及整體代換進行變形，問題就很簡單了。解：由x2-3x+1=0，可知x+=3，故原式=(x+)( x+)2-3=3(32-3)=18本題還運用了配方，等式兩邊除以同一個不為零的數的變形技巧，這樣做的目的是使已知條件與所求式之間的關系更加明朗化，便于代入，使運算更簡便。（九）利用逆用通分進行恒等變形例：化簡+分析：這類問題在通常情況下

10、是整體通分，但本題這樣做顯然很繁，若在每個分式中逆用通分進行“裂項”的恒等變形，則十分簡捷。解：原式=-+-+- =-=（十）利用分離常數的方法進行恒等變形例：解方程+=+分析：如果按照常規思路整體去分母，顯然運算很繁雜，若采用分段化簡，分離常數，可化繁為簡。解：原方程可化為1+1+=1+1+即+=+再進行變形得-=- = = x=8（十一）利用換元再約簡的方法進行恒等變形約分是分式化簡的重要手段之一。這種變形技巧貫穿整個分式的學習過程中。例：化簡解：設=x，則原式=（十二）利用主元代入及消元思想進行恒等變形例：若4x-3y-6z=0, x+2y-7z=0,則等于（ ）（A） （B） （C）-

11、15 （D）-134x-3y=6zx+2y=7z解：以x、y為主元，由已知得 利用消元變形求得x=3z，y=2z 原式=13 故選（D）由以上的論述可知：分式的變形一般有三種思路，先變形條件，以便運用；先化簡待求式，這是為了利用條件；將條件和待求式同時變形，容易看出二者的關系。也就更容易找到變形技巧，使變形簡單明了，更具可操作性。三、根式變形有關根式的計算、比較大小、化簡、求值等，經常應用到根式的變形技巧，特別是二次根式的運算，它是中學代數中的一個難點，不少題目用常規方法去解比較繁瑣，所以解題中要根據題目的特點，巧用一些運算技巧，才能達到事半功倍的效果。（一）巧用運算性質進行恒等變形例：計算(

12、+)2004(-)2004 (-)分析：逆用運算性質，再用平方差公式解：原式=(+)2004(-)2004 (-)=(+)(-)2004 (-)=(6-5)2004(-)=-（二）巧用因式分解進行恒等變形例：計算(+)(+-)解：原式=(+)·· (+-)=·(+)2-8=·=30（三）利用分母有理化進行恒等變形例：計算解：原式=（四）巧用平方進行恒等變形例：化簡解： ()2=2又 >0 =（五）利用拆項技巧進行恒等變形例：計算解：原式=（六）利用換元技巧進行恒等變形例：化簡解：設，則原式=3（七）利用配方法進行恒等變形例：化簡分析：本題若采用分母

13、有理化，計算會很復雜，若采用將分子配方，再分解因式后，與分母約分的方法會很簡單。解：原式= =（八）利用分子有理化進行恒等變形例：不求根式的值，比較與的大小。解： = =>>0<<以上所述的這些二次根式的變形技巧，在解決二次根式的問題時，有很大的用處，因此，它作為一種代數變形技巧應被很好的掌握。四、指數變形有關指數的變形，一般都是利用冪運算法則進行較簡便，而對一些比較大小的題目，就更講究變形的技巧，主要是將底數變了相同，或將指數變了相同。（一）放縮變形例：設a=19,b=(999991),則a-b是（ ）（A）不大于-1的數 （B）不小于1的數（C）絕對值大于0且小于1

14、的數 （D）0解：b=(999991)<(19×8)=192a=1991=1976·1915 a-b>1976(1915-257)> 1976(1615-257)= 1976(260-257)=1976·260(8-1)>1故選（B）（二）利用開方進行變形例：350，440，530的大小關系為（ ）（A）350<440<530 （B）530<350<440（C）530<440< 350 （D）440<530<350解： =35=243，=44=256，=53=125 << 530&

15、lt;350<440故選（B）（三）利用乘方進行變形例：設m=()，n=()，p=()，則m、n、p的大小關系是（ ）（A）m<n<p （B）m<p<n （C）n<p<m （D）p<n<m解： m20=()= p20=()= m20> p20 m>p又 p12=()= n12=()= p12> n12 p>n m>p>n（四）利用求商進行變形例：已知a=2255，b=3344，c=5533，d=6622，則a、b、c、d的大小關系是（ ）（A）a>b>c>d （B）a>b>d

16、>c （C）b>a>c>d （D）a>d>b>c解：=()=()>1=()=()>1=()=()>1故選（A）上述四例充分說明了，指數變形技巧在解題中的作用和地位，離開了這些變形技巧，解題思路就會受阻，解題無從下手，因此變形技巧在解題中起著無足輕重的作用。五、對數變形在對數式的恒等變形中，應注意真數與底數間的相互關系，靈活利用運算法則進行化簡和計算。對數的變形主要考慮換底和底數的選擇。例：討論函數f(x)=log ax(bx)(b>a>0)在定義域內的單調性，并證明你的結論。分析：直接利用單調性的定義進行探索，變形極易受阻

17、，所以，利用對數換底公式進行變形，可供選擇的底數有a、b和10，但a、b未完全具備對數底數的資格，故選擇以10為底進行變形。解： f(x)=1+據lgb-lga>0及復合函數的“同增異減”法則知，原函數在區間(0，)和區間(，+)上均為減函數。由此便可知本例的答案。六、復數變形復數的變形技巧對解題的繁簡有著決定的作用，比較典型的有三角變形，代數變形，運用模與共軛的性質進行變形，運用±i虛根進行變形。例：已知Z1，Z2是兩個不相等的非零復數，設= Z1+Z2，= Z1-Z2。（1）若是純虛數，求證：|Z1|=|Z2|（2）若|+()=0，試判斷|與|的大小關系。證明：（1）是純虛數，即將= Z1+Z2，= Z1-Z2代入便可變形出|Z1|=|Z2|。（2）由|+()=0得，+=0 Z1，Z2非零，所以=0，從而|2=同理可得|2=，故|=|代數恒等變形必須根據運算法則和運算律進行，必須遵循運算法則，并按運算法則在其定義域內進行。變形要保證正確合