1、第三章 多維隨機變量及其分布教學目的：（1）使學生掌握多維隨機變量的概念及其聯合分布，理解并掌握邊際分布和隨機變量的獨立性概念； （2）使學生掌握多維隨機變量函數的分布，理解并掌握多維隨機變量的特征數；（3）使學生理解和掌握條件分布與條件期望.重 點：本章的重點是多維隨機變量的聯合分布和邊際分布、多維隨機變量函數的分布及條件分布、多維隨機變量的特征數.難 點：難點是多維隨機變量函數的分布及條件分布的求法學 時：18引入：在有些隨機現象中，對每個樣本點只用一個隨機變量去描述是不夠的，比如研究兒童的生長發育情況，僅研究兒童的身高或僅研究其體重都是片面的，有必要把和作為一個整體來考慮，討論它們總體變

2、化的統計規律性，進一步討論和之間的關系.在有些隨機現象中，甚至要同時研究二個以上隨機變量.如何來研究多維隨機變量的統計規律性呢？仿照一維隨機變量，我們先研究聯合分布函數，然后研究離散隨機變量的聯合分布列、連續隨機變量的密度函數.3.1 多維隨機變量及其聯合分布 多維隨機變量定義：如果是定義在同一個樣本空間上的個隨機變量，則稱為維（或元）隨機變量或隨機向量.在實際問題中，多維隨機變量的情況是經常會遇到的.譬如·在研究家庭的支出情況時，我們感興趣的假定是每個家庭（樣本點）的衣食住行四個方面，若用分別表示衣食住行的花費占其家庭總收入的百分比，則就是一個四維隨機變量. 聯合分布函數定義3.1

3、.2：對任意個實數，個事件同時發生的概率 被稱為維隨機變量的聯合分布函數.本章主要研究二維隨機變量，二維以上的情況可以類似進行.在二維隨機變量場合，聯合分布函數是事件與同時發生（交）的概率.如果將二維隨機變量看成是平面隨機點的坐標，那么聯合分布函數在處的函數值就是隨機點落在以為右上角的無窮矩形內的概率（見右圖）. 定理3.1.1：任何一個二維聯合分布函數必具有如下四條基本性質（1） 單調性：分別對或是單調不減的，即·當時，有.·當時，有.（2） 有界性：對任意的和，有，且·；·；·；·.（3） 右連續性：對每個變量都是右連續的，即&#

4、183;；·.（4） 非負性：對任意的有證明(4): 注：任何一個二維聯合分布函數必具有以上四條基本性質，還可證明具有以上四條性質的二元函數一定是某個二維隨機變量的分布函數.即這四條性質是判定一個二元函數是否為某個隨機變量的分布函數的充要條件，比一維情形下多了一個條件.例3.1.1：判定二元函數 是否為某個二維隨機變量的分布函數.解: 二元函數的圖形如右圖 由圖顯然可知二元函數滿足性質（1）（2）（3）， 但是 所以，性質（4）不滿足.故不是某個二維隨機變量的分布函數.分析：證明某個二元函數是二維分布函數需驗證滿足二維分布函數的四條性質（1）（2）（3）（4），若證明不是二維分布函數

5、只需驗證其中一條性質不滿足即可. 聯合分布列定義3.1.3：若二維隨機變量只取有限個或可列個數對，則稱其為二維離散隨機變量，稱為二維隨機變量的聯合分布列.還可以用表格表示成如下形式 聯合分布列的性質：（1） 非負性：；（2） 正則性：.分析：求二維離散隨機變量的聯合分布列，關鍵是寫出二維離散隨機變量可能取的數對及其發生的概率.例3.1.2：從中任取一個數記為，再從中任取一數記為，求的聯合分布列及.解: 為二維隨機變量,其中的分布列為： 的可能值也是，若記為的取值，則（1）當時，；（2）當時，由此可以算得事件的概率為： 聯合密度函數定義：如果存在二元非負函數，使得二維隨機變量的分布函數可表示為則

6、稱為二維連續隨機變量，稱為的聯合密度函數.注：在偏導數存在的點上，有.聯合密度函數的基本性質（1）非負性（2）正則性 注：給出聯合密度函數，就可以求有關事件的概率了.若為平面上的一個可積區域，則事件的概率可表示為在上對密度函數的二重積分在具體使用上式運算時時，要注意代入后的新積分范圍是的非零區域與的交集部分，然后設法化二重積分為二次累次積分，最后計算出結果.例3.1.3：設的聯合密度函數為 試求：（1）； （2）.解：（1） （2） 常用多維分布一、多項分布（多項分布是重要的多維離散分布，它是二項分布的推廣）進行次獨立重復的試驗，如果每次試驗有個可能結果：且每次試驗中事件發生的概率均為，設為次

7、獨立重復的試驗中事件出現的次數，則維隨機變量取值為時的概率，即出現次，出現次，出現次的概率為.這個聯合分布列稱為項分布，又稱為多項分布，記為這個概率是多項式的展開式中的一項，故其和為1特別低，當時，為二項分布.例3.1.4：一批產品共有100件，其中一等品60件，二等品30件，三等品10件.從這批產品中有放回地任取3件，以和分別表示取出的3件產品中一等品、二等品的件數，求二維隨機變量的聯合分布列.解：和的可能取值都是，令 （1）時，有，即 ； （2）時，事件表示：取出的3件產品中有件一等品、件二等品、件三等品的件數，所以有放回地抽取時，對，有此例中的分布又叫三項分布，它是一種特殊的多項分布.二

8、、多維超幾何分布多維超幾何分布的描述：袋中有只球，其中有只號球，.記，從中任意取出只，若記為取出的只球中號球的個數，則 .例3.1.5：一批產品共有100件，其中一等品60件，二等品30件，三等品10件.從這批產品中不放回地任取3件，以和分別表示取出的3件產品中一等品、二等品的件數，求二維隨機變量的聯合分布列.解：令（1）時，有，即 ；（2）時，事件表示：取出的3件產品中有件一等品、件二等品、件三等品的件數，所以有放回地抽取時，對，有此例是超幾何分布的推廣，稱為三維超幾何分布，它是一種特殊的多維超幾何分布.三、多維均勻分布設為中的一個有界區域，其度量（平面上為面積，空間上為體積）為，如果多維隨機變量的聯合密度函數為則稱服從上的多維均勻分布，記為.二維均勻分布所描述的隨機現象就是向平面區域中隨機投點，如果該點坐標落在的子區域上的概率只與的面積有關，而與的位置無關，則例3.1.6：設為平面上以原點為圓心，以為半徑的圓，服從上的二維均勻分布，其密度函數為試求概率.解法一 注：解法二 （求幾何概率）因為服從上的二維均勻分布，所以 四、二元正態分布 如果二維隨機變量的聯合