1、第七章第七章 離散時(shí)間系統(tǒng)的離散時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析時(shí)域分析離散時(shí)間系統(tǒng)的離散時(shí)間系統(tǒng)的優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn) 精度高精度高 可靠性好可靠性好 功能靈活功能靈活 時(shí)分復(fù)用時(shí)分復(fù)用 保密性好保密性好 便于大規(guī)模集成便于大規(guī)模集成離散時(shí)間系統(tǒng)：離散時(shí)間系統(tǒng)：激勵(lì)與響應(yīng)都是離散時(shí)間信號(hào)的系統(tǒng)。激勵(lì)與響應(yīng)都是離散時(shí)間信號(hào)的系統(tǒng)。 7.1 7.1 引言引言 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)與離散時(shí)間系統(tǒng)分析方法比較連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)與離散時(shí)間系統(tǒng)分析方法比較連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)離散時(shí)間系統(tǒng)離散時(shí)間系統(tǒng)微分方程微分方程差分方程差分方程數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型( )H s系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)H(z)經(jīng)典法經(jīng)典法卷積積分法卷積積分法時(shí)域分析時(shí)域分析經(jīng)典法經(jīng)典

2、法卷積求和法卷積求和法拉普拉斯變換拉普拉斯變換傅里葉變換傅里葉變換變換域分析變換域分析z變換變換離散傅里葉變換離散傅里葉變換()H j頻響特性頻響特性()jH e離散時(shí)間系統(tǒng)基礎(chǔ)理論體系離散時(shí)間系統(tǒng)基礎(chǔ)理論體系離散時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析（第7章 時(shí)域分析）離散時(shí)間系統(tǒng)的變換域分析（第8章 z變換、z域分析) 基礎(chǔ)理論基礎(chǔ)理論數(shù)字信號(hào)處理數(shù)字信號(hào)處理通信雷達(dá)聲吶控制地震生物專業(yè)方向?qū)I(yè)方向7.2 7.2 離散時(shí)間信號(hào)離散時(shí)間信號(hào)序列序列本節(jié)主要內(nèi)容本節(jié)主要內(nèi)容l離散時(shí)間信號(hào)離散時(shí)間信號(hào) l離散信號(hào)的表示方法離散信號(hào)的表示方法 l離散信號(hào)的運(yùn)算離散信號(hào)的運(yùn)算 l常用離散信號(hào)常用離散信號(hào) l重點(diǎn)：離散信

3、號(hào)的表示方法重點(diǎn)：離散信號(hào)的表示方法 l難點(diǎn)：難點(diǎn)：正弦序列周期性正弦序列周期性 一、離散時(shí)間信號(hào)一、離散時(shí)間信號(hào)序列序列 l離散時(shí)間信號(hào)：離散時(shí)間信號(hào)：在時(shí)間上是不連續(xù)的在時(shí)間上是不連續(xù)的序列序列，是離，是離散時(shí)間變量散時(shí)間變量 的函數(shù)。的函數(shù)。l表示離散信號(hào)的時(shí)間函數(shù)，只在一系列分隔的時(shí)表示離散信號(hào)的時(shí)間函數(shù)，只在一系列分隔的時(shí)間點(diǎn)上才有定義，而在其它時(shí)間間點(diǎn)上才有定義，而在其它時(shí)間無定義無定義l間隔可以是均勻的，也可以是非間隔可以是均勻的，也可以是非 均勻的，通常討論假設(shè)為均勻的。均勻的，通常討論假設(shè)為均勻的。ktokt ktf2t1t1t2t2t1. 1. 圖解表示圖解表示()x nT

4、) 0( x)(Tx)2( Tx)3 ( Tx)5 ( TxnTTT2T3T4T50 x n0 x1x2x3x5xn1234504x省略省略T二、離散信號(hào)的表示方法二、離散信號(hào)的表示方法 2. 2. 有序序列表示有序序列表示1120 0.51120nnx nnnn為其它值 1, 2, 0.5,1x n 或：或：0112n x n2115 . 0二、離散信號(hào)的表示方法二、離散信號(hào)的表示方法 表示表示n=0的位置的位置3. 3. 解析式表示解析式表示 0 x nn n x nn x nn12345054321 x nn1 234505432112431234二、離散信號(hào)的表示方法二、離散信號(hào)的表示

5、方法 序列的三種形式序列的三種形式0)(nxnn 0)(nxn12nnn0)(nxn1n2n2.雙邊雙邊序列：無始無終序列：無始無終3.有限長有限長序列：有始有終序列：有始有終0nn1.單邊單邊序列：有始無終，序列：有始無終， 或無始有終或無始有終 0nn 三、序列的運(yùn)算三、序列的運(yùn)算 z nx ny n1、序列相加（減）：、序列相加（減）：兩序列兩序列同序號(hào)同序號(hào)的數(shù)值的數(shù)值逐項(xiàng)對(duì)應(yīng)逐項(xiàng)對(duì)應(yīng)相加（減）相加（減） f nxn yn2、序列相乘：、序列相乘：兩序列同序號(hào)的數(shù)值逐項(xiàng)兩序列同序號(hào)的數(shù)值逐項(xiàng)對(duì)應(yīng)相乘對(duì)應(yīng)相乘 5 . 0, 1, 5 . 101nnx 1 , 2,302nnx 5 . 1

6、, 3, 5 . 4)()()(021nnxnxnx1)5.0(,21,35.1)()()(021nnxnxny 三、序列的運(yùn)算三、序列的運(yùn)算 wnxn m3、序列移位：、序列移位：原序列逐項(xiàng)依次移動(dòng)原序列逐項(xiàng)依次移動(dòng)m位位0m當(dāng) 時(shí)：:xn m 左移（前移）左移（前移）m 位位右移（后移）m 位:xn m右移（后移）右移（后移）m 位位on 1 nx1 23 1 x 0 x 1x 3x 2x41 on nx123 1 x 0 x 1x 3x 2x1 右移1位 三、序列的運(yùn)算三、序列的運(yùn)算4、序列反褶（倒置）、序列反褶（倒置） x nx n 將將 xn 以縱軸為中心作以縱軸為中心作180翻轉(zhuǎn)翻

7、轉(zhuǎn)如果如果y(n)=x(-n-m)，倒置后左移，倒置后左移m個(gè)單位。個(gè)單位。 0132nxn211230132nxn21122 只能取整數(shù)。橫坐標(biāo)或nanxnxanxnx , 則為波形擴(kuò)展為波形壓縮為正整數(shù)若anxanxa 注意：有時(shí)需注意：有時(shí)需去去除某些除某些點(diǎn)點(diǎn)或或補(bǔ)補(bǔ)足相應(yīng)的足相應(yīng)的零零值值。 三、序列的運(yùn)算三、序列的運(yùn)算5.尺度變換：尺度變換：波形壓縮（抽取）或波形壓縮（抽取）或擴(kuò)展（內(nèi)插）擴(kuò)展（內(nèi)插） M以以縱軸為基準(zhǔn)縱軸為基準(zhǔn)在原序列中在原序列中點(diǎn)點(diǎn)一點(diǎn)一點(diǎn)xnxMn M為正整數(shù)為正整數(shù)x0 x1x2x3x4x0 x2x4 三、序列的運(yùn)算三、序列的運(yùn)算0132nxn2123430

8、13nx2n122 L在序列在序列插入插入個(gè)點(diǎn)個(gè)點(diǎn)x0 x1x2x0 x1x2xnxILn L為正整數(shù)為正整數(shù) 三、序列的運(yùn)算三、序列的運(yùn)算其它的整數(shù)倍是0/ILLnLnxnx013nxn122013n21234xI2n6、序列的差分運(yùn)算：、序列的差分運(yùn)算：一個(gè)序列與一個(gè)移位序列之差一個(gè)序列與一個(gè)移位序列之差 1 x nx nx n一階一階前向前向差分：差分：一階一階后向后向差分：差分： 1x nx nx n二階二階前向前向差分：差分：二階二階后向后向差分：差分：2 2 12x nx nx nx nx n 三、序列的運(yùn)算三、序列的運(yùn)算 N階階后向后向差分差分1nxnxNN結(jié)果依然是一結(jié)果依然是

9、一個(gè)序列個(gè)序列2nx)(nx) 1(nxnx 122nxnxnx) 1()12(nxnxnxnxnkkxny 三、序列的運(yùn)算三、序列的運(yùn)算0n11nx0n132nkkx1nnxE21.單位樣值單位樣值信號(hào)信號(hào) 四、典型離散信號(hào)（序列）四、典型離散信號(hào)（序列）)(0)(1)(000nnnnnn -2 -1 0 1 2 3 n1)1(n)0(0)0(1)(nnn -2 -1 0 1 2 3 n1)(n)()0()()(nfnnf抽樣性。，幅度為表示，強(qiáng)度用面積 0 )(tt不是面積時(shí)的瞬時(shí)值的值就是0)(nn的的作用作用表示任意離散時(shí)間信號(hào)表示任意離散時(shí)間信號(hào)( )( ) ()mx nx mn m

10、 加權(quán)表示加權(quán)表示)(txmmn)()(nx 四、典型離散信號(hào)（序列）四、典型離散信號(hào)（序列）任意序列可以分解為加權(quán)、延遲的任意序列可以分解為加權(quán)、延遲的之和之和3 232 4nnn 2 23 34 4x nxnxnxn mmnmxnx)()()(12341on nf5 . 13 x nn12340123舉例舉例 30511,.,)(nf1 1.5 3 2nnn 2.單位階躍序列單位階躍序列 u n 10(0)n (0)n . -2 -1 0 1 2 3 nun1 四、典型離散信號(hào)（序列）四、典型離散信號(hào)（序列）, n與與un的的關(guān)系關(guān)系: :un可以看作是無數(shù)個(gè)單位樣值之和。可以看作是無數(shù)個(gè)

11、單位樣值之和。0 12mu nnnnn m - 求和關(guān)系求和關(guān)系nkknu)(tut10) 1 (0t)(tdttdut)()( - 微分關(guān)系微分關(guān)系dtut)()(- 積分關(guān)系積分關(guān)系- 差分關(guān)系差分關(guān)系- 求和關(guān)系求和關(guān)系. -2 -1 0 1 2 3 nun -2 -1 0 1 2 3 n n11 1nunun nkknu NR n 10(01)nN(0,)nnN3.矩形序列矩形序列. -2 -1 0 1 2 N-1 N nRNn1 四、典型離散信號(hào)（序列）四、典型離散信號(hào)（序列）10mnNnununRNmN4. 斜變序列斜變序列 x nnu n 0 1 2 3 n nun123 四、典

12、型離散信號(hào)（序列）四、典型離散信號(hào)（序列）nr0 00 1)(tttu000 1nnnuttutd)(d)(d )()(ttunkknu 1nununttrtud)(d)(d )()(tutrnkkunr 1 1nrnrnu nx na u n當(dāng)當(dāng) 時(shí)序列是發(fā)散的，時(shí)序列是發(fā)散的， 時(shí)是收斂的時(shí)是收斂的 a0序列都取正值序列都取正值 a 02 02 若若 不是有理數(shù)，不具周期性不是有理數(shù)，不具周期性 02 0 sinx nn 說明：說明： 四、典型離散信號(hào)（序列）四、典型離散信號(hào)（序列）7. 復(fù)指數(shù)序列復(fù)指數(shù)序列000 cossinjnx nenjn復(fù)數(shù)序列用復(fù)數(shù)序列用極坐標(biāo)極坐標(biāo)表示：表示：

13、 argjx nx nx n e 1x n 0arg x nn 四、典型離散信號(hào)（序列）四、典型離散信號(hào)（序列）7.3 離散時(shí)間系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型離散時(shí)間系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型l離散線性時(shí)不變系統(tǒng)離散線性時(shí)不變系統(tǒng)l離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型l從常系數(shù)微分方程得到差分方程從常系數(shù)微分方程得到差分方程l已知網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)建立離散系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型已知網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)建立離散系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型離散系統(tǒng)離散系統(tǒng)x2ny2n離散系統(tǒng)離散系統(tǒng)x1ny1n線性（均勻性和疊加性）線性（均勻性和疊加性）離散系統(tǒng)離散系統(tǒng)時(shí)不變性時(shí)不變性離散系統(tǒng)離散系統(tǒng)1122 c x nc xn1122 c y nc yn)(mnx)(mnyxn n系統(tǒng)系統(tǒng)

14、ynn系統(tǒng)系統(tǒng)時(shí)不變性xn-NnNyn-NnN差分特性差分特性yn - - yn-1-1 求和特性求和特性 kny n 離散系統(tǒng)離散系統(tǒng)xn - -xn-1-1 離散系統(tǒng)離散系統(tǒng) knx n ( )x n1E(1)x n 延時(shí)延時(shí)加法器加法器( )x n(1)y n ( )( )(1)y nx ny n 離散時(shí)間系統(tǒng)用離散時(shí)間系統(tǒng)用表示表示乘法器乘法器( )x n( )( )y nax n a 離散時(shí)間系統(tǒng)用離散時(shí)間系統(tǒng)用基本單元符號(hào)基本單元符號(hào)表示表示axn axnaxn axn二、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型l輸入是離散序列及其時(shí)移函數(shù)輸入是離散序列及其時(shí)移函數(shù)l輸出是離散序列及其時(shí)移函數(shù)輸出是離散

15、序列及其時(shí)移函數(shù)l系統(tǒng)模型是輸入輸出的線性組合系統(tǒng)模型是輸入輸出的線性組合00rnxbknyarMrkNk),.2(),1(),(nxnxnx),.2(),1(),(nynyny 離散離散LTI系統(tǒng)系統(tǒng)用用N階常系數(shù)線性差分方程階常系數(shù)線性差分方程描述描述（ak 、 br為常數(shù)）為常數(shù)）)() 1()()() 1()(1010MnxbnxbnxbNnyanyanyaMN二階前向差分方程二階前向差分方程01201221 21 a y na y na y nb x nb x nb x n 二階后向差分方程二階后向差分方程012012 12 12a y na y na y nb x nb x nb

16、x n 差分方程的階數(shù)：差分方程的階數(shù)：響應(yīng)響應(yīng)yn的最大移位與最小移位之差。的最大移位與最小移位之差。如何建立數(shù)學(xué)模型如何建立數(shù)學(xué)模型?二、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 1 y nay nx n 1 y nay nx n常系數(shù)一階后向差分方程常系數(shù)一階后向差分方程圍繞加法器建立差分方程：圍繞加法器建立差分方程：例例7-27-2：建立下圖所示系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。：建立下圖所示系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。xn aE1ynayn-1后向差分方程多用于因果系統(tǒng)1.已知網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)建立離散系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型1 y nay nx n1 y nay nx n常系數(shù)一階前向差分方程常系數(shù)一階前向差分方程圍繞加法器建立差分方程：圍繞加法器建立差

17、分方程：例例7-37-3：建立下圖所示系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。：建立下圖所示系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。xn aE1ynaynyn+1前向差分方程多用于狀態(tài)方程1.已知網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)建立離散系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型1.已知網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)建立離散系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型)(nx1aE1E1) 1( nx0b1b) 1( ny) 1()() 1()(101nxbnxbnyany)(ny2.從常系數(shù)微分方程得到差分方程l在連續(xù)和離散之間作某種近似在連續(xù)和離散之間作某種近似)()(nyty)() 1(1)(nynyTdttdys)(tx)(ty)()()(txtydttdyRC取近似：)()(nyty)() 1()(nynyTRCdttdyRCs)()()

18、() 1(nxnynynyTRCs)()()1 () 1(nxRCTnyRCTny1 121vnvnvnvnvnRRR 3 120v nv nv n常系數(shù)二階差分方程常系數(shù)二階差分方程例例7-4：電阻梯形網(wǎng)絡(luò)電阻梯形網(wǎng)絡(luò)Ev0v1v2vNvN-1v0=E,vN=0,試寫出節(jié)點(diǎn)電壓的差分方程。試寫出節(jié)點(diǎn)電壓的差分方程。RRRRvN-2RRRRl例例7-5 假定每對(duì)兔子每月可以生育一對(duì)小兔，新生的小兔假定每對(duì)兔子每月可以生育一對(duì)小兔，新生的小兔子要隔一個(gè)月才具有生育能力，若第一個(gè)月只有一對(duì)新生子要隔一個(gè)月才具有生育能力，若第一個(gè)月只有一對(duì)新生小兔，求第小兔，求第n 個(gè)月兔子對(duì)的數(shù)目是多少？個(gè)月兔子

19、對(duì)的數(shù)目是多少？l解：解：令令y(n) 表示在第表示在第n 個(gè)月兔子對(duì)的數(shù)目。個(gè)月兔子對(duì)的數(shù)目。已知已知y(0)=0,y(1)=1,推得：推得：y(2)=1,y(3)=2,y(4)=3,y(5)=5, 于是有：于是有： y(n)=2y(n-2)+y(n-1)-y(n-2) 整理得：整理得： y(n)-y(n-1)-y(n-2)=0 -二階差分方程式二階差分方程式 或或 y(n)=y(n-1)+y(n-2) -費(fèi)班納西（費(fèi)班納西（Fibonacci) 數(shù)列數(shù)列 0，1，1，2，3，5，8，13， 7.4 7.4 常系數(shù)線性差分方程的求解l迭代法求系統(tǒng)響應(yīng)迭代法求系統(tǒng)響應(yīng)l時(shí)域經(jīng)典法時(shí)域經(jīng)典法l離

20、散卷積法：離散卷積法：l零輸入響應(yīng)：利用齊次解得零輸入解零輸入響應(yīng)：利用齊次解得零輸入解l零狀態(tài)響應(yīng)：利用卷積和求零狀態(tài)解零狀態(tài)響應(yīng)：利用卷積和求零狀態(tài)解l變換域法（變換域法（Z變換法，第變換法，第8章）章）l狀態(tài)變量分析法（第狀態(tài)變量分析法（第12章）章）zizs y kykyk zi * ykx kh k 一、迭代法一、迭代法 一階線性常系數(shù)差分方程一階線性常系數(shù)差分方程yn 0.5yn 1=un, y 1 = 1，用迭代法求解差分方程。，用迭代法求解差分方程。將差分方程寫成將差分方程寫成代入初始狀態(tài)，可求得代入初始狀態(tài)，可求得000.5 110.5 11.5yuy 110.5 010.5

21、 1.51.75yuy 220.5 110.5 1.751.875yuy 依此類推依此類推缺點(diǎn)：很難得到閉合形式的解。缺點(diǎn)：很難得到閉合形式的解。當(dāng)差分方程階次較低時(shí)常用此法當(dāng)差分方程階次較低時(shí)常用此法 15 . 0nynuny二、經(jīng)典時(shí)域分析方法MrrNkkrnxbknya00)()( 差分方程的全解即系統(tǒng)的完全響應(yīng)差分方程的全解即系統(tǒng)的完全響應(yīng), 由由齊次解齊次解yhn和和特解特解ypn組成組成:phnynyny齊次解齊次解yhn的形式由齊次方程的的形式由齊次方程的特征根特征根確定確定特解特解ypn的形式由方程右邊的形式由方程右邊激勵(lì)信號(hào)激勵(lì)信號(hào)的形式確定的形式確定差分方程差分方程齊次方程

22、齊次方程0)(0knyaNkk特征方程：特征方程：0.1110NNNNaaaa特征方程有特征方程有N個(gè)特征根個(gè)特征根二、經(jīng)典時(shí)域分析方法(1) (1) 特征根是不等實(shí)根特征根是不等實(shí)根 1 1, 2, , N(2) (2) 特征根是等實(shí)根特征根是等實(shí)根 1 1 2 2= k(3) (3) 特征根是成對(duì)共軛復(fù)根特征根是成對(duì)共軛復(fù)根nNNnnCCCny2211hnkknnnCnCCny121h0j2, 1ejbarnnnnjbaDjbaDnCnCny)()( sincos210201h 1、將激勵(lì)函數(shù)代入差分方程右端、將激勵(lì)函數(shù)代入差分方程右端自由項(xiàng)自由項(xiàng)方法：方法： 2、根據(jù)自由項(xiàng)形式、根據(jù)自由

23、項(xiàng)形式確定特解函數(shù)確定特解函數(shù) 3、將特解代入左端、將特解代入左端求出待定系數(shù)求出待定系數(shù) 求特解求特解二、經(jīng)典時(shí)域分析方法l完全解完全解=齊次解齊次解+特解特解邊界條件邊界條件代入代入完全解完全解求出齊次解中的待定系數(shù)求出齊次解中的待定系數(shù) ，即得完全解的閉式即得完全解的閉式iCnknC(常數(shù))特解形式自由項(xiàng)B （常數(shù)）210121.kkkkCCn C nC nC nnCe()jnAeA為 復(fù) 數(shù)01CCnjne()ne為實(shí)數(shù) an (a不是特征根)nC210121()rrnrrCC nC nCnC naan(a是r重特征根)sin(cos)nn或12co ssinCnCn常用激勵(lì)信號(hào)對(duì)應(yīng)的

24、特解形式常用激勵(lì)信號(hào)對(duì)應(yīng)的特解形式二、經(jīng)典時(shí)域分析方法例例7-7：求差分方程求差分方程 yn+6yn-1 +12yn-2+8yn-3=xn 的齊次解的齊次解0)2(081263232123 ()( 2)ny nC nC nC解：解：特征方程為：特征方程為：解：解：02 nhCny)2()(1例例7-9：求下示差分方程完全解：求下示差分方程完全解 ) 1()() 1(2)(nxnxnyny1) 1(,)(2ynnx激勵(lì)激勵(lì)（1）求齊次方程）求齊次方程y(n)+2y(n-1)=0的的齊次解齊次解特征方程：特征方程：特征根特征根2齊次解齊次解例例7-9：求下示差分方程完全解：求下示差分方程完全解 )

25、 1()() 1(2)(nxnxnyny1) 1(,)(2ynnx激勵(lì)激勵(lì)10)(DnDnyp 91321223310010DDnDDnD解：解：（2）求非齊次方程）求非齊次方程y(n)+2y(n-1)=x(n)-x(n-1)的的特解特解12) 1( 右邊22nnn將激勵(lì)代入方程右端，得將激勵(lì)代入方程右端，得設(shè)方程的設(shè)方程的特解特解為為122) 1(21010nDnDDnD代入差分方程代入差分方程9132)( nnyp特解特解（3）求完全解）求完全解=齊次解齊次解+特解特解9132)2()(1nCnyn代入邊界條件求待定系數(shù)代入邊界條件求待定系數(shù) ，1C98191) 1(32)2() 1(11

26、1CCy得到完全解的閉式得到完全解的閉式9132)2(98)(nnyn例例7-9：求下示差分方程完全解：求下示差分方程完全解 ) 1()() 1(2)(nxnxnyny1) 1(,)(2ynnx激勵(lì)激勵(lì)解：解：1) ) 若若初始條件初始條件不變，不變，輸入信號(hào)輸入信號(hào) xn = sinn0 un，則系統(tǒng)的完全響應(yīng)則系統(tǒng)的完全響應(yīng)yn=？2) ) 若若輸入信號(hào)輸入信號(hào)不變，不變，初始條件初始條件y-1=1, 則系統(tǒng)的完全則系統(tǒng)的完全響應(yīng)響應(yīng)yn=？l 若差分方程右邊激勵(lì)項(xiàng)較復(fù)雜，則難以處理。若差分方程右邊激勵(lì)項(xiàng)較復(fù)雜，則難以處理。l 若激勵(lì)信號(hào)發(fā)生變化，則須全部重新求解。若激勵(lì)信號(hào)發(fā)生變化，則須

27、全部重新求解。l 若初始條件發(fā)生變化，則須全部重新求解。若初始條件發(fā)生變化，則須全部重新求解。l 這種方法是一種純數(shù)學(xué)方法，無法突出系統(tǒng)響這種方法是一種純數(shù)學(xué)方法，無法突出系統(tǒng)響 應(yīng)的物理概念。應(yīng)的物理概念。 零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng) 零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)雙零法雙零法 zizsy ny ny n :ziyn當(dāng)激勵(lì)xn=0時(shí)，由系統(tǒng)的起始狀態(tài)y-1, y-2, y-N產(chǎn)生的響應(yīng)。同齊次解形式，即它是自由響應(yīng)的一部分。 :zsyn當(dāng)起始狀態(tài)y-1=y-2= =y-N =0時(shí)，由系統(tǒng)的激勵(lì)xn產(chǎn)生的響應(yīng)。它是自由響應(yīng)的另外部分加上強(qiáng)迫響應(yīng)。1 Nnkkpky nCyn 強(qiáng) 迫 響 應(yīng)自 由 響 應(yīng)11

28、NNnnzikkzskkpkkCCyn 零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)()kzikzskCCC 三三 零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)例例7-10: 已知描述系統(tǒng)的一階差分方程為已知描述系統(tǒng)的一階差分方程為（1）邊界條件）邊界條件 ，求，求（2）邊界條件）邊界條件 ，求，求 , ;zizsynyny n和11 1 23y ny nu n 11y 10y , zizsynyny n和。解解:（1）3121DD,32D12 ( )23nzsy nynC齊次解為齊次解為1( )2nC 由由y-1=0可求出可求出,31C所以，所以，1 12 ()(0)3 23nzsy nynn 0ziy n y-1

29、=0設(shè)特解為設(shè)特解為D例例7-10: 已知描述系統(tǒng)的一階差分方程為已知描述系統(tǒng)的一階差分方程為（1）邊界條件）邊界條件 ，求，求（2）邊界條件）邊界條件 ，求，求 , ;zizsynyny n和11 1 23y ny nu n 11y 10y , zizsynyny n和。解解:（2）y-1=11 ( )2nziziynC 由y-1=1可求出12ziC所以，所以，1 1 ()2 2nziyn 零狀態(tài)響應(yīng)不變，即為（零狀態(tài)響應(yīng)不變，即為（1）的結(jié)果）的結(jié)果1 12 ( )(0)3 23nzsy nn 1 11 12( )( )2 23 231 12( )(0)6 23zizsnnny nynyn

30、n506y則由原差分方程可迭代出則由原差分方程可迭代出y-1, 即即 如果在求如果在求 時(shí)給出的邊界條件是時(shí)給出的邊界條件是y0, 則需要用則需要用迭代法求出迭代法求出y-1。在本例（。在本例（2）中，若已知）中，若已知 ziyn11 1 23y ny nu n110 123yy151 12021363yy注意注意 比較比較解差分方程的方法有：解差分方程的方法有：1優(yōu)點(diǎn)：簡單、迭代法缺點(diǎn)：不易得到閉式解2、經(jīng)典法：自由響應(yīng)（齊次解）完全響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)（特解）根據(jù)邊界條件確定齊次解系數(shù)3零輸入響應(yīng)、雙零法:完全響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)l 單位樣值響應(yīng)單位樣值響應(yīng)h h n n 定義定義l h h n n 的

31、求解的求解l 迭代法迭代法l等效初始條件法等效初始條件法l 階躍響應(yīng)階躍響應(yīng)g g n n 的求解的求解l系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性7.5 7.5 離散系統(tǒng)單位樣值響應(yīng)離散系統(tǒng)單位樣值響應(yīng))()(ttx系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)：連續(xù)系統(tǒng)：( )( )zsyth t x nn系統(tǒng)離散系統(tǒng)：離散系統(tǒng)： zsynh nhn 單位脈沖序列單位脈沖序列 n作用于作用于離散時(shí)間離散時(shí)間LTI系統(tǒng)系統(tǒng)所所產(chǎn)生的產(chǎn)生的零狀態(tài)零狀態(tài)響應(yīng)稱為響應(yīng)稱為單位脈沖響應(yīng)單位脈沖響應(yīng), 用符號(hào)用符號(hào)hn表示。表示。hn hn210 100 113111013311212( )3311 1 ( )33nhhhhhhh nh

32、 nn 例例7-12：已知已知yn-1/3yn-1= xn, 試求其單位樣值響應(yīng)試求其單位樣值響應(yīng) hn。hn - 1/3hn-1 =n對(duì)于因果系統(tǒng)，對(duì)于因果系統(tǒng)，x-1=-1=0, h-1=0 , 1,01 330,0nnnh nu nn- 齊次解的形式齊次解的形式解：解：hn滿足方程滿足方程hn 將將 n , n j對(duì)系統(tǒng)的瞬時(shí)作用轉(zhuǎn)化為系對(duì)系統(tǒng)的瞬時(shí)作用轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的統(tǒng)的等效初始條件等效初始條件,則原方程轉(zhuǎn)為則原方程轉(zhuǎn)為齊次方程齊次方程求解求解 等效初始條件由差分方程和等效初始條件由差分方程和h 1 = h 2 = = h k = 0 遞推求出。遞推求出。hn例7-13)()3()2(3)

33、 1(3)(nxnynynyny解：解：hn滿足方程滿足方程)() 3()2(3) 1(3)(nnhnhnhnh1特征方程為特征方程為：013323三重根特征根特征根為：為：齊次解齊次解的表達(dá)式為的表達(dá)式為nCnCnCnh) 1)()(3221確定初始條件解：解：hn滿足方程滿足方程)() 3()2(3) 1(3)(nnhnhnhnh等效初始等效初始條件條件0)3(, 0)2(, 0) 1(1)0(hhh1)0(h迭代出迭代出0)2(, 0) 1(, 1)0(hhh12321321CCC)()23(21)(2nunnnh代入齊次解代入齊次解求系數(shù)求系數(shù)nCnCnCnh) 1)()(3221 注

34、意：選擇初始條件的基本原則是必須將注意：選擇初始條件的基本原則是必須將 n的作用體現(xiàn)在初始條件中的作用體現(xiàn)在初始條件中選選3個(gè)邊界條件個(gè)邊界條件例例7-14 系統(tǒng)差分方程式為系統(tǒng)差分方程式為 5 1 6 2 3 2y ny ny nx nx n 求系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)。求系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)。利用線性時(shí)不變特性，利用線性時(shí)不變特性，解：解： 5 1 6 2 3 2hnhnhnnn 1 2 0hh n1 h n3 2n13 2h n11 3 2h nh nh n這樣，這樣，利用LTI例例7-14 系統(tǒng)差分方程式為系統(tǒng)差分方程式為 5 1 6 2 3 2y ny ny nx nx n 求系統(tǒng)的單位樣值

35、響應(yīng)。求系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)。 求齊次解求齊次解，寫出特征方程，寫出特征方程0652111 5 1 6 2 h nh nh nn 2, 321（1）先求）先求1 h n解：解：齊次解為齊次解為1232nnCC求等效初始條件求等效初始條件，由，由 迭代出迭代出11 1 2 0hh 10 1h111 (32) nnh nu n將將 作為邊界條件，可求出作為邊界條件，可求出11 1 0,0 1hh 2, 321CC（2）求系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)）求系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)11 3 2hnh nh n111 (32) nnh nu n1111(32) 3(32) 2nnnnu nu n1111(32) 123(3

36、2) 2nnnnnnu nu n1 5 1(2 32) 2nnnnu n例例7-14 系統(tǒng)差分方程式為系統(tǒng)差分方程式為 5 1 6 2 3 2y ny ny nx nx n 求系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)。求系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)。解：解：解法二：直接求解法二：直接求 hn 5 1 6 2 3 2hnhnhnnn 1 2 0hh 12 32nnh nCC0 5 1 6 20 3 2 1hhh 1 5 0 6 11 3 1 5hhh 2 5 1 6 02 3 0 16hhh將將 作為邊界條件，可求出作為邊界條件，可求出1 5, 2 16hh21, 221CC1 0 1 1 (2 32 ) 22nnhnhnhn

37、u n 1 5 1 (2 32) 2nnnnu n 求等效初始條件求等效初始條件gn 單位階躍序列單位階躍序列un作用在作用在離散時(shí)間離散時(shí)間LTI系統(tǒng)系統(tǒng)上產(chǎn)生的上產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)稱為零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng)單位階躍響應(yīng)，用符號(hào)，用符號(hào)gn表示。表示。1) ) 迭代法迭代法2) ) 經(jīng)典法經(jīng)典法3) ) 利用利用與與單位脈沖響應(yīng)單位脈沖響應(yīng)的關(guān)系的關(guān)系:hn=gn gn 1hnnunxnkkhng三、系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性三、系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性l因果性：輸出變化不領(lǐng)先于輸入變化因果性：輸出變化不領(lǐng)先于輸入變化充要條件：充要條件：l穩(wěn)定性：輸入有界則輸出必定有界穩(wěn)定性：輸入有界則輸出必定有界

38、充要條件：充要條件：0)(0nhnnnh)(例：已知某系統(tǒng)的例：已知某系統(tǒng)的問：它是否是因果系統(tǒng)？是否是穩(wěn)定系統(tǒng)？問：它是否是因果系統(tǒng)？是否是穩(wěn)定系統(tǒng)？ )()(nuanhn是因果系統(tǒng)aaaaanuanhnnnn111111)()(1有界穩(wěn)定發(fā)散不穩(wěn)定0)()( 0)( 0nuanhnunn卷積法卷積法求解系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)求解系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)yzs n的思路的思路1) ) 將任意信號(hào)分解為將任意信號(hào)分解為單位脈沖序列單位脈沖序列的線性組合的線性組合;2) ) 求出求出單位脈沖序列單位脈沖序列作用在系統(tǒng)上的響應(yīng)作用在系統(tǒng)上的響應(yīng) 單位樣值響應(yīng)單位樣值響應(yīng);3) ) 利用利用線性時(shí)不變系統(tǒng)線性時(shí)不變系

39、統(tǒng)的特性，即可求出任意的特性，即可求出任意序列序列xn激勵(lì)下系統(tǒng)的激勵(lì)下系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)yzsn 。7.6 7.6 卷積和卷積和已知單位樣值響已知單位樣值響 應(yīng)求系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)應(yīng)求系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)卷積法求解卷積法求解系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)yzs n推導(dǎo)推導(dǎo)由由時(shí)不變特性時(shí)不變特性由由均勻特性均勻特性由由疊加特性疊加特性nhn mnhmnmnhmxmnmxmnhmxmnmxmm*zsnhnxmnhmxnym mx nx mnm1、交換律、結(jié)合律和分配律、交換律、結(jié)合律和分配律12122121 mmx nx nx m x nmx m x nmx nx n1）交換律）交換律 一、離散線

40、性卷積的性質(zhì)一、離散線性卷積的性質(zhì)2）結(jié)合律）結(jié)合律 123123 x nx n x nx n x nx n3）分配律）分配律 1231213 x nx nx nx n x nx n x n2、移位性質(zhì)、移位性質(zhì)12112212 y nx nx nx n nx n ny n nn若則3、其它性質(zhì)、其它性質(zhì)00 xnn nxn n xnnxn nmmxn unxmun mxm 一、離散線性卷積的性質(zhì)一、離散線性卷積的性質(zhì) x n級(jí)聯(lián)：級(jí)聯(lián)：1 h n2 h n y n x n y n12 h nh n 二、系統(tǒng)單位樣值響應(yīng)二、系統(tǒng)單位樣值響應(yīng)級(jí)聯(lián)系統(tǒng)級(jí)聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于兩個(gè)子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積

41、。的沖激響應(yīng)等于兩個(gè)子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積。并聯(lián)：并聯(lián)： x n y n1 h n2 h n x n y n12 h nh n 二、系統(tǒng)單位樣值響應(yīng)二、系統(tǒng)單位樣值響應(yīng)并聯(lián)系統(tǒng)并聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于兩個(gè)子系統(tǒng)沖激響應(yīng)之和。的沖激響應(yīng)等于兩個(gè)子系統(tǒng)沖激響應(yīng)之和。 三、離散線性卷積的計(jì)算三、離散線性卷積的計(jì)算1、圖解法、圖解法2、對(duì)位相乘求和法、對(duì)位相乘求和法3、解析式法、解析式法4、利用性質(zhì)求解、利用性質(zhì)求解mnhmxnhnxm 將將xn、hn中的自變量由中的自變量由n改為改為m； 把其中一個(gè)信號(hào)把其中一個(gè)信號(hào)翻轉(zhuǎn)翻轉(zhuǎn)，如將，如將hm翻轉(zhuǎn)得翻轉(zhuǎn)得 h m ； 把把h m平移平移n，n是參變量。是參變量。n0圖形右移圖形右移，n0圖圖形左移。形左移。 將將xm與與 hn m 相乘相乘； 對(duì)乘積后的圖形對(duì)乘積后的圖形求和求和。解解 n mmmy nx m h nmu mu mNau nmhn或hmxn或xmn或mn或m)()()()(, 10)()(NnununGnxanuanhn?)(ny例例7-15：已知：已知求零狀態(tài)響應(yīng)求零狀態(tài)響應(yīng)1)當(dāng)當(dāng)n0時(shí)，時(shí)，hn-m和和xm相乘為零。相乘為零。yn=02)當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)01n