1、三角形綜合例題1：AD，EF，BC相交于O點，且AOOD，BOOC，EOOF求證：AEBDFC例題2：P為正方形ABCD對角線BD上任一點，PFDC，PEBC求證：APEF例題3：ABC的高AD與BE相交于H，且BHAC求證：BCHABC例題4：在正方形ABCD中，P，Q分別為BC，CD邊上的點，PAQ45°求證：PQPBDQ例題5：過ABC的頂點A分別作兩底角B和C的角平分線的垂線，ADBD于D，AECE于E求證：EDBC例題6：如圖，P是等邊三角形ABC內部的一點，PA2，PB，PC4， 求ABC的邊長.例題7：如圖（ l ) ，凸四邊形 ABCD ，如果點P滿足APD APB

2、=。且B P C CPD ，則稱點P為四邊形 ABCD的一個半等角點 ( l ）在圖（ 3 ）正方形 ABCD 內畫一個半等角點P，且滿足。( 2 ）在圖（ 4 ）四邊形 ABCD 中畫出一個半等角點P，保留畫圖痕跡（不需寫出畫法） . ( 3 ）若四邊形 ABCD 有兩個半等角點P1 、P2（如圖（ 2 ) ) ，證明線段P1 P2上任一點也是它的半等角點 。例題8：已知：點O到ABC的兩邊AB、AC所在直線的距離相等，且OBOC。（1）如圖1，若點O在BC上，求證：ABAC；（2）如圖2，若點O在ABC的內部，求證：ABAC；（3）若點O在ABC的外部，ABAC成立嗎？請畫圖表示。練習試題

3、：1如圖，在中，和的平分線相交于點，過點作交于，交于，過點作于下列四個結論：；以為圓心、為半徑的圓與以為圓心、為半徑的圓外切；設則；不能成為的中位線其中正確的結論是_（把你認為正確結論的序號都填上）2如圖1，AB、CD是兩條線段，M是AB的中點，、和分別表示DNC、DAC、DBC的面積。當AB CD時，有 (1)（1）如圖2，若圖1中AB與CD不平行時，(1)式是否成立？請說明理由。（2）如圖3，若圖1中AB與CD相交于點O時，、和有何種相等關系？試證明你的結論。3如圖，設ABC和CDE都是正三角形，且EBD62o，則AEB的度數是【 】（A）124o（B）122o（C）120o（D）118o

4、4如圖，ABC是等邊三角形，BDC是頂角BDC120°的等腰三角形，M是AB延長線上一點，N是CA延長線上一點，且MDN60°.試探究MB、MN、CN之間的數量關系，并給出證明.5如圖，在ABC中，ABC600，點P是ABC內的一點，使得APBBPCCPA，且PA8，PC6，則PB_6如圖所示，在ABC中，ABAC，ADAE，則_7（1）如圖7，點O是線段AD的中點，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD，連結AC和BD，相交于點E，連結BC求AEB的大小；（2）如圖8，OAB固定不動，保持OCD的形狀和大小不變，將OCD繞著點O旋轉（OA

5、B和OCD不能重疊），求AEB的大小.8兩個大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，在同一條直線上，連結（1）請找出圖2中的全等三角形，并給予證明（說明：結論中不得含有未標識的字母）；（2）證明：9如圖，AD是ABC的邊BC上的高，由下列條件中的某一個就能推出ABC是等腰三角形的是_。（把所有正確答案的序號都填寫在橫線上）BADACD BADCAD，ABBDACCD ABBDACCD參考答案例題1、證明：OAEODF，因為：二邊及夾角（對等角）相等，得：AE=DF。同理證得：OBEOCF，OABOCD，得：EB=CF，AB=CD。因為：AE=DF，EB=CF，

6、AB=CD三邊相等。所以：AEBDFC例2 F于點G 延長EP交AB于M,延長FP交AD于NP為正方形ABCD對角線BD上任一點PM=PF,PN=PE又AMPN為矩形. AN=PM=PFEPF=BAC=90°PEFANPNAP = PFE又NPA=FPG(對頂角) NAP +NPA=90°PFE+FPG=90°PGF=180°-(PFE+FPG)=90°APEF例3 BHAC，BDHADC90°，HBDCAD（這個知道的吧）BDHADCHDCD，BD=ADHDC與ABD是等腰直角三角形BCHABD=45°例4：在CB的延長線

7、上取點G，使BGDQ，連接AG正方形ABCDABAD，BADABGD90BGDQABGADQ （SAS）AQAG，BAGDAQPAQ45BAP+DAQBAD-PAQ45PAGBAP+BAGBAP+DAQ45PAGPAQAPAPAPQAPG （SAS）PQPGPGPB+BGPB+DQPB+DQPQ例5、例6 例7（1） 根據題意可知，所畫的點P在AC上且不是AC的中點和AC的端點因為在圖形內部，所以不能是AC的端點，又由于，所以不是AC的中點（2）畫點B關于AC的對稱點B，延長DB交AC于點P，點P為所求（因為對稱的兩個圖形完全重合）（3）先連P1A、P1D、P1B、P1C和P2D、P2B，根據

8、題意AP1D=AP1B，DP1C=BP1CAP1B+BP1C=180度P1在AC上，同理，P2也在AC上，再利用ASA證明DP1P2BP1P2而，那么P1DP2和P1BP2關于P1P2對稱，P是對稱軸上的點，所以DPA=BPA，DPC=BPC即點P是四邊形的半等角點解答：解：（1）所畫的點P在AC上且不是AC的中點和AC的端點，即給（4分）（2）畫點B關于AC的對稱點B，延長DB交AC于點P，點P為所求（不寫文字說明不扣分）給（3分）（說明：畫出的點P大約是四邊形ABCD的半等角點，而無對稱的畫圖痕跡，給1分）（3）連P1A、P1D、P1B、P1C和P2D、P2B，根據題意，AP1D=AP1B

9、，DP1C=BP1C，AP1B+BP1C=180度P1在AC上，同理，P2也在AC上（9分）在DP1P2和BP1P2中，DP2P1=BP2P1，DP1P2=BP1P2，P1P2公共，DP1P2BP1P2（11分）所以DP1=BP1，DP2=BP1，DP2=BP2，于是B、D關于AC對稱設P是P1P2上任一點，連接PD、PB，由對稱性，得DPA=BPA，DPC=BPC，所以點P是四邊形的半等角點例8證明：（1）過點O分別作OEAB，OFAC，E、F分別是垂足，由題意知，OE=OF，OB=OC，RtOEBRtOFCB=C，從而AB=AC。（2）過點O分別作OEAB，OFAC，EF分別是垂足，由題意

10、知，OE=OF。在RtOEB和RtOFC中，OE=OF，OB=OC，RtOEBRtOFE。 OBE=OCF， B=OC知OBC=OCB，ABC=ACD， AB=AC。（3）解：不一定成立。注：當A的平分線所在直線與邊BC的垂直平分線重合時，有AB=AC；否則，ABAC，如示例圖練習13解：等邊ABC、等邊CDE AC=BC，CE=CD，BACABCACB=ECD=60ACE=ACB-BCE，BCD=ECD-BCEBCD=ACEACEBCD （SAS）CBD=CAEEBD62CBDEBD-CBD62-CBECAE62-CBEBAEBAC-CAE60-62+CBE-2+CBEABE+BAE60-C

11、BE-2+CBE58AEB180-（ABE+BAE）1224 CNBM MN證明：延長AC至M1，使CM1BM，連結DM1 由已知條件知：ABCACB60°，DBCDCB30°ABDACD90° BDCD RtBDMRtCDM1 MDBM1DC，而 DMDM1 MDM1（120°MDB）M1DC120° 又MDN60M1DNMDN60°MDNM1DN MNNM1NCCM1CNBM即CNBM MN5（1）證明：APB=BPC=CPA，三角之和是360ºAPB=BPC=120ºPAB+PBA=180º-120

12、º=60º ABC=PBC+PBA=60ºPAB=PBCPABPBC【APB=BPC，PAB=PBC】（2）解：PABPBCPA/PB =PB/PC推出PB²=PA·PC=6×8=48PB=48=436設EDC=x, B=C=yAED=EDC+C=x+y又因為AD=AE, 所以ADE=AED=x+y則ADC=ADE+EDC=2x+y又因為ADC=B+BAD所以 2x+y=y+30解得x=15所以EDC的度數是15度71）如圖3，OCD和ABO都是等邊三角形，且點O是線段AD的中點，OD=OC=OB=OA，1=2=60°，4=5又4+5=2=60°，4=30°同理6=30°AEB=4+6，AEB=60°（2）如圖4，OCD和ABO都是等邊三角形，OD=OC，OB=OA，1=2=60°又OD=OA，OD=OB，OA=OC，4=5，6=7DOB=1+3，AOC=2+3，DOB=AOC4+5+DOB=180°，6+7+AOC=180°，25=26，5=6又AEB=8-5，8=2+6，AEB=2+5-5=2，AEB=60°8可以找出BAECAD，條件是AB=AC，DA=EA，BAE=DAC=9