1、第二十一章一元二次方程211一元二次方程1通過類比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax2bxc0(a0)，分清二次項及其系數、一次項及其系數與常數項等概念2了解一元二次方程的解的概念，會檢驗一個數是不是一元二次方程的解重點通過類比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax2bxc0(a0)和一元二次方程的解等概念，并能用這些概念解決簡單問題難點一元二次方程及其二次項系數、一次項系數和常數項的識別活動1復習舊知1什么是方程？你能舉一個方程的例子嗎？2下列哪些方程是一元一次方程？并給出一元一次方程的概念和一般形式(1)2x1(2)mxn0(3)10(4)x213下列哪個實數是方程

2、2x13的解？并給出方程的解的概念A0B1C2D3活動2探究新知根據題意列方程1教材第2頁問題1.提出問題：(1)正方形的大小由什么量決定？本題應該設哪個量為未知數？(2)本題中有什么數量關系？能利用這個數量關系列方程嗎？怎么列方程？(3)這個方程能整理為比較簡單的形式嗎？請說出整理之后的方程2教材第2頁問題2.提出問題：(1)本題中有哪些量？由這些量可以得到什么？(2)比賽隊伍的數量與比賽的場次有什么關系？如果有5個隊參賽，每個隊比賽幾場？一共有20場比賽嗎？如果不是20場比賽，那么究竟比賽多少場？(3)如果有x個隊參賽，一共比賽多少場呢？3一個數比另一個數大3，且兩個數之積為0，求這兩個數

3、提出問題：本題需要設兩個未知數嗎？如果可以設一個未知數，那么方程應該怎么列？4一個正方形的面積的2倍等于25，這個正方形的邊長是多少？活動3歸納概念提出問題：(1)上述方程與一元一次方程有什么相同點和不同點？(2)類比一元一次方程，我們可以給這一類方程取一個什么名字？(3)歸納一元二次方程的概念1一元二次方程：只含有_個未知數，并且未知數的最高次數是_，這樣的_方程，叫做一元二次方程2一元二次方程的一般形式是ax2bxc0(a0)，其中ax2是二次項，a是二次項系數；bx是一次項，b是一次項系數；c是常數項提出問題：(1)一元二次方程的一般形式有什么特點？等號的左、右分別是什么？(2)為什么要

4、限制a0，b，c可以為0嗎？(3)2x2x10的一次項系數是1嗎？為什么？3一元二次方程的解(根)：使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值叫做一元二次方程的解(根)活動4例題與練習例1在下列方程中，屬于一元二次方程的是_(1)4x281；(2)2x213y；(3)2；(4)2x22x(x7)0.總結：判斷一個方程是否是一元二次方程的依據：(1)整式方程；(2)只含有一個未知數；(3)含有未知數的項的最高次數是2.注意有些方程化簡前含有二次項，但是化簡后二次項系數為0，這樣的方程不是一元二次方程例2教材第3頁例題例3以2為根的一元二次方程是()Ax22x10 Bx2x20Cx2x20 Dx2x2

5、0總結：判斷一個數是否為方程的解，可以將這個數代入方程，判斷方程左、右兩邊的值是否相等練習：1若(a1)x23ax10是關于x的一元二次方程，那么a的取值范圍是_2將下列一元二次方程化為一般形式，并分別指出它們的二次項系數、一次項系數和常數項(1)4x281；(2)(3x2)(x1)8x3.3教材第4頁練習第2題4若4是關于x的一元二次方程2x27xk0的一個根，則k的值為_答案：1.a1；2.略；3.略；4.k4.活動5課堂小結與作業布置課堂小結我們學習了一元二次方程的哪些知識？一元二次方程的一般形式是什么？一般形式中有什么限制？你能解一元二次方程嗎？作業布置教材第4頁習題21.1第17題.

6、21.2解一元二次方程212.1配方法(3課時)第1課時直接開平方法理解一元二次方程“降次”轉化的數學思想，并能應用它解決一些具體問題提出問題，列出缺一次項的一元二次方程ax2c0，根據平方根的意義解出這個方程，然后知識遷移到解a(exf)2c0型的一元二次方程重點運用開平方法解形如(xm)2n(n0)的方程，領會降次轉化的數學思想難點通過根據平方根的意義解形如x2n的方程，將知識遷移到根據平方根的意義解形如(xm)2n(n0)的方程一、復習引入學生活動：請同學們完成下列各題問題1：填空(1)x28x_(x_)2；(2)9x212x_(3x_)2；(3)x2px_(x_)2.解：根據完全平方公

7、式可得：(1)164；(2)42；(3)()2.問題2：目前我們都學過哪些方程？二元怎樣轉化成一元？一元二次方程與一元一次方程有什么不同？二次如何轉化成一次？怎樣降次？以前學過哪些降次的方法？二、探索新知上面我們已經講了x29，根據平方根的意義，直接開平方得x3，如果x換元為2t1，即(2t1)29，能否也用直接開平方的方法求解呢？(學生分組討論)老師點評：回答是肯定的，把2t1變為上面的x，那么2t13即2t13，2t13方程的兩根為t11，t22例1解方程：(1)x24x41(2)x26x92分析：(1)x24x4是一個完全平方公式，那么原方程就轉化為(x2)21.(2)由已知，得：(x3

8、)22直接開平方，得：x3即x3，x3所以，方程的兩根x13，x23解：略例2市政府計劃2年內將人均住房面積由現在的10 m2提高到14.4 m2，求每年人均住房面積增長率分析：設每年人均住房面積增長率為x，一年后人均住房面積就應該是1010x10(1x)；二年后人均住房面積就應該是10(1x)10(1x)x10(1x)2解：設每年人均住房面積增長率為x，則：10(1x)214.4(1x)21.44直接開平方，得1x1.2即1x1.2，1x1.2所以，方程的兩根是x10.220%，x22.2因為每年人均住房面積的增長率應為正的，因此，x22.2應舍去所以，每年人均住房面積增長率應為20%.(學

9、生小結)老師引導提問：解一元二次方程，它們的共同特點是什么？共同特點：把一個一元二次方程“降次”，轉化為兩個一元一次方程我們把這種思想稱為“降次轉化思想”三、鞏固練習教材第6頁練習四、課堂小結本節課應掌握：由應用直接開平方法解形如x2p(p0)的方程，那么x轉化為應用直接開平方法解形如(mxn)2p(p0)的方程，那么mxn，達到降次轉化之目的若p0則方程無解五、作業布置教材第16頁復習鞏固1.第2課時配方法的基本形式理解間接即通過變形運用開平方法降次解方程，并能熟練應用它解決一些具體問題通過復習可直接化成x2p(p0)或(mxn)2p(p0)的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面兩種形式

10、的一元二次方程的解題步驟重點講清直接降次有困難，如x26x160的一元二次方程的解題步驟難點將不可直接降次解方程化為可直接降次解方程的“化為”的轉化方法與技巧一、復習引入(學生活動)請同學們解下列方程：(1)3x215(2)4(x1)290(3)4x216x169(4)4x216x7老師點評：上面的方程都能化成x2p或(mxn)2p(p0)的形式，那么可得x或mxn(p0)如：4x216x16(2x4)2，你能把4x216x7化成(2x4)29嗎？二、探索新知列出下面問題的方程并回答：(1)列出的經化簡為一般形式的方程與剛才解題的方程有什么不同呢？(2)能否直接用上面前三個方程的解法呢？問題：

11、要使一塊矩形場地的長比寬多6 m，并且面積為16 m2，求場地的長和寬各是多少？(1)列出的經化簡為一般形式的方程與前面講的三道題不同之處是：前三個左邊是含有x的完全平方式而后二個不具有此特征(2)不能既然不能直接降次解方程，那么，我們就應該設法把它轉化為可直接降次解方程的方程，下面，我們就來講如何轉化：x26x160移項x26x16兩邊加(6/2)2使左邊配成x22bxb2的形式x26x32169左邊寫成平方形式(x3)225降次x35即x35或x35解一次方程x12，x28可以驗證：x12，x28都是方程的根，但場地的寬不能是負值，所以場地的寬為2 m，長為8 m.像上面的解題方法，通過配

12、成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫配方法可以看出，配方法是為了降次，把一個一元二次方程轉化為兩個一元一次方程來解例1用配方法解下列關于x的方程：(1)x28x10(2)x22x0分析：(1)顯然方程的左邊不是一個完全平方式，因此，要按前面的方法化為完全平方式；(2)同上解：略三、鞏固練習教材第9頁練習1，2.(1)(2)四、課堂小結本節課應掌握：左邊不含有x的完全平方形式的一元二次方程化為左邊是含有x的完全平方形式，右邊是非負數，可以直接降次解方程的方程五、作業布置教材第17頁復習鞏固2，3.(1)(2)第3課時配方法的靈活運用了解配方法的概念，掌握運用配方法解一元二次方程的步驟通過復習

13、上一節課的解題方法，給出配方法的概念，然后運用配方法解決一些具體題目重點講清配方法的解題步驟難點對于用配方法解二次項系數為1的一元二次方程，通常把常數項移到方程右邊后，兩邊加上的常數是一次項系數一半的平方；對于二次項系數不為1的一元二次方程，要先化二次項系數為1，再用配方法求解一、復習引入(學生活動)解下列方程：(1)x24x70(2)2x28x10老師點評：我們上一節課，已經學習了如何解左邊不含有x的完全平方形式的一元二次方程以及不可以直接開方降次解方程的轉化問題，那么這兩道題也可以用上面的方法進行解題解：略(2)與(1)有何關聯？二、探索新知討論：配方法解一元二次方程的一般步驟：(1)先將

14、已知方程化為一般形式；(2)化二次項系數為1；(3)常數項移到右邊；(4)方程兩邊都加上一次項系數的一半的平方，使左邊配成一個完全平方式；(5)變形為(xp)2q的形式，如果q0，方程的根是xp；如果q0，方程無實根例1解下列方程：(1)2x213x(2)3x26x40(3)(1x)22(1x)40分析：我們已經介紹了配方法，因此，我們解這些方程就可以用配方法來完成，即配一個含有x的完全平方式解：略三、鞏固練習教材第9頁練習2.(3)(4)(5)(6)四、課堂小結本節課應掌握：1配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步驟2配方法是解一元二次方程的通法，它的重要性，不僅僅表現在一元二次方程的解法

15、中，也可通過配方，利用非負數的性質判斷代數式的正負性在今后學習二次函數，到高中學習二次曲線時，還將經常用到五、作業布置教材第17頁復習鞏固3.(3)(4)補充：(1)已知x2y2z22x4y6z140，求xyz的值(2)求證：無論x，y取任何實數，多項式x2y22x4y16的值總是正數.公式法理解一元二次方程求根公式的推導過程，了解公式法的概念，會熟練應用公式法解一元二次方程復習具體數字的一元二次方程配方法的解題過程，引入ax2bxc0(a0)的求根公式的推導，并應用公式法解一元二次方程重點求根公式的推導和公式法的應用難點一元二次方程求根公式的推導一、復習引入1前面我們學習過解一元二次方程的“

16、直接開平方法”，比如，方程(1)x24(2)(x2)27提問1這種解法的(理論)依據是什么？提問2這種解法的局限性是什么？(只對那種“平方式等于非負數”的特殊二次方程有效，不能實施于一般形式的二次方程)2面對這種局限性，怎么辦？(使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能夠“直接開平方”的形式)(學生活動)用配方法解方程2x237x(老師點評)略總結用配方法解一元二次方程的步驟(學生總結，老師點評)(1)先將已知方程化為一般形式；(2)化二次項系數為1；(3)常數項移到右邊；(4)方程兩邊都加上一次項系數的一半的平方，使左邊配成一個完全平方式；(5)變形為(xp)2q的形式，如果q0，方程的根是

17、xp；如果q0，方程無實根二、探索新知用配方法解方程：(1)ax27x30(2)ax2bx30如果這個一元二次方程是一般形式ax2bxc0(a0)，你能否用上面配方法的步驟求出它們的兩根，請同學獨立完成下面這個問題問題：已知ax2bxc0(a0)，試推導它的兩個根x1，x2(這個方程一定有解嗎？什么情況下有解？)分析：因為前面具體數字已做得很多，我們現在不妨把a，b，c也當成一個具體數字，根據上面的解題步驟就可以一直推下去解：移項，得：ax2bxc二次項系數化為1，得x2x配方，得：x2x()2()2即(x)24a20，當b24ac0時，0(x)2()2直接開平方，得：x即xx1，x2由上可知

18、，一元二次方程ax2bxc0(a0)的根由方程的系數a，b，c而定，因此：(1)解一元二次方程時，可以先將方程化為一般形式ax2bxc0，當b24ac0時，將a，b，c代入式子x就得到方程的根(2)這個式子叫做一元二次方程的求根公式(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法公式的理解(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有兩個實數根例1用公式法解下列方程：(1)2x2x10(2)x21.53x(3)x2x0(4)4x23x20分析：用公式法解一元二次方程，首先應把它化為一般形式，然后代入公式即可補：(5)(x2)(3x5)0三、鞏固練習教材第12頁練習1.(1)(3)(5)或(2)(4)(

19、6)四、課堂小結本節課應掌握：(1)求根公式的概念及其推導過程；(2)公式法的概念；(3)應用公式法解一元二次方程的步驟：1)將所給的方程變成一般形式，注意移項要變號，盡量讓a0；2)找出系數a，b，c，注意各項的系數包括符號；3)計算b24ac，若結果為負數，方程無解；4)若結果為非負數，代入求根公式，算出結果(4)初步了解一元二次方程根的情況五、作業布置教材第17頁習題4，5.因式分解法掌握用因式分解法解一元二次方程通過復習用配方法、公式法解一元二次方程，體會和探尋用更簡單的方法因式分解法解一元二次方程，并應用因式分解法解決一些具體問題重點用因式分解法解一元二次方程難點讓學生通過比較解一元

20、二次方程的多種方法感悟用因式分解法使解題更簡便一、復習引入(學生活動)解下列方程：(1)2x2x0(用配方法)(2)3x26x0(用公式法)老師點評：(1)配方法將方程兩邊同除以2后，x前面的系數應為，的一半應為，因此，應加上()2，同時減去()2.(2)直接用公式求解二、探索新知(學生活動)請同學們口答下面各題(老師提問)(1)上面兩個方程中有沒有常數項？(2)等式左邊的各項有沒有共同因式？(學生先答，老師解答)上面兩個方程中都沒有常數項；左邊都可以因式分解因此，上面兩個方程都可以寫成：(1)x(2x1)0(2)3x(x2)0因為兩個因式乘積要等于0，至少其中一個因式要等于0，也就是(1)x

21、0或2x10，所以x10，x2.(2)3x0或x20，所以x10，x22.(以上解法是如何實現降次的？)因此，我們可以發現，上述兩個方程中，其解法都不是用開平方降次，而是先因式分解使方程化為兩個一次式的乘積等于0的形式，再使這兩個一次式分別等于0，從而實現降次，這種解法叫做因式分解法例1解方程：(1)10x4.9x20(2)x(x2)x20(3)5x22xx22x(4)(x1)2(32x)2思考：使用因式分解法解一元二次方程的條件是什么？解：略(方程一邊為0，另一邊可分解為兩個一次因式乘積)練習：下面一元二次方程解法中，正確的是()A(x3)(x5)102，x310，x52，x113，x27B

22、(25x)(5x2)20，(5x2)(5x3)0，x1，x2C(x2)24x0，x12，x22Dx2x，兩邊同除以x，得x1三、鞏固練習教材第14頁練習1，2.四、課堂小結本節課要掌握：(1)用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其應用(2)因式分解法要使方程一邊為兩個一次因式相乘，另一邊為0，再分別使各一次因式等于0.五、作業布置教材第17頁習題6，8，10，11.一元二次方程的根與系數的關系1掌握一元二次方程的根與系數的關系并會初步應用2培養學生分析、觀察、歸納的能力和推理論證的能力3滲透由特殊到一般，再由一般到特殊的認識事物的規律4培養學生去發現規律的積極性及勇于探

23、索的精神重點根與系數的關系及其推導難點正確理解根與系數的關系一元二次方程根與系數的關系是指一元二次方程兩根的和、兩根的積與系數的關系一、復習引入1已知方程x2ax3a0的一個根是6，則求a及另一個根的值2由上題可知一元二次方程的系數與根有著密切的關系其實我們已學過的求根公式也反映了根與系數的關系，這種關系比較復雜，是否有更簡潔的關系？3由求根公式可知，一元二次方程ax2bxc0(a0)的兩根為x1，x2.觀察兩式右邊，分母相同，分子是b與b.兩根之間通過什么計算才能得到更簡潔的關系？二、探索新知解下列方程，并填寫表格：方程x1x2x1x2x1x2x22x0x23x40x25x60觀察上面的表格

24、，你能得到什么結論？(1)關于x的方程x2pxq0(p，q為常數，p24q0)的兩根x1，x2與系數p，q之間有什么關系？(2)關于x的方程ax2bxc0(a0)的兩根x1，x2與系數a，b，c之間又有何關系呢？你能證明你的猜想嗎？解下列方程，并填寫表格：方程x1x2x1x2x1x22x27x403x22x505x217x60小結：根與系數關系：(1)關于x的方程x2pxq0(p，q為常數，p24q0)的兩根x1，x2與系數p，q的關系是：x1x2p，x1x2q(注意：根與系數關系的前提條件是根的判別式必須大于或等于零)(2)形如ax2bxc0(a0)的方程，可以先將二次項系數化為1，再利用上

25、面的結論即：對于方程ax2bxc0(a0)a0，x2x0x1x2，x1x2(可以利用求根公式給出證明)例1不解方程，寫出下列方程的兩根和與兩根積：(1)x23x10(2)2x23x50(3)x22x0 (4)x2x(5)x210 (6)x22x10例2不解方程，檢驗下列方程的解是否正確？(1)x22x10 (x11，x21)(2)2x23x80 (x1，x2)例3已知一元二次方程的兩個根是1和2，請你寫出一個符合條件的方程(你有幾種方法？)例4已知方程2x2kx90的一個根是3，求另一根及k的值變式一：已知方程x22kx90的兩根互為相反數，求k；變式二：已知方程2x25xk0的兩根互為倒數，

26、求k.三、課堂小結1根與系數的關系2根與系數關系使用的前提是：(1)是一元二次方程；(2)判別式大于等于零四、作業布置1不解方程，寫出下列方程的兩根和與兩根積(1)x25x30(2)9x2x2(3)6x23x20(4)3x2x102已知方程x23xm0的一個根為1，求另一根及m的值3已知方程x2bx60的一個根為2，求另一根及b的值.21.3實際問題與一元二次方程(2課時)第1課時解決代數問題1經歷用一元二次方程解決實際問題的過程，總結列一元二次方程解決實際問題的一般步驟2通過學生自主探究，會根據傳播問題、百分率問題中的數量關系列一元二次方程并求解，熟悉解題的具體步驟3通過實際問題的解答，讓學

27、生認識到對方程的解必須要進行檢驗，方程的解是否舍去要以是否符合問題的實際意義為標準重點利用一元二次方程解決傳播問題、百分率問題難點如果理解傳播問題的傳播過程和百分率問題中的增長(降低)過程，找到傳播問題和百分率問題中的數量關系一、引入新課1列方程解應用題的基本步驟有哪些？應注意什么？2科學家在細胞研究過程中發現：(1)一個細胞一次可分裂成2個，經過3次分裂后共有多少個細胞？(2)一個細胞一次可分裂成x個，經過3次分裂后共有多少個細胞？(3)如是一個細胞一次可分裂成2個，分裂后原有細胞仍然存在并能再次分裂，試問經過3次分裂后共有多少個細胞？二、教學活動活動1：自學教材第19頁探究1，思考教師所提

28、問題有一人患了流感，經過兩輪傳染后，有121人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？(1)如何理解“兩輪傳染”？如果設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，第一輪傳染后共有_人患流感第二輪傳染后共有_人患流感(2)本題中有哪些數量關系？(3)如何利用已知的數量關系選取未知數并列出方程？解答：設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，則依題意第一輪傳染后有(x1)人患了流感，第二輪有x(1x)人被傳染上了流感于是可列方程：1xx(1x)121解方程得x110，x212(不合題意舍去)因此每輪傳染中平均一個人傳染了10個人變式練習：如果按這樣的傳播速度，三輪傳染后有多少人患了流感？活動2：自學教材第1

29、9頁第20頁探究2，思考老師所提問題兩年前生產1噸甲種藥品的成本是5000元，生產1噸乙種藥品的成本是6000元，隨著生產技術的進步，現在生產1噸甲種藥品的成本是3000元，生產1噸乙種藥品的成本是3600元，哪種藥品成本的年平均下降率較大？(1)如何理解年平均下降額與年平均下降率？它們相等嗎？(2)若設甲種藥品年平均下降率為x，則一年后，甲種藥品的成本下降了_元，此時成本為_元；兩年后，甲種藥品下降了_元，此時成本為_元(3)增長率(下降率)公式的歸納：設基準數為a，增長率為x，則一月(或一年)后產量為a(1x)；二月(或二年)后產量為a(1x)2；n月(或n年)后產量為a(1x)n；如果已知n月(n年)后總產量為M，則有下面等式：Ma(1x)n.(4)對甲種藥品而言根據等量關系列方程為：_.三、課堂小結與作業布置課堂小結1列一元二次方程解應用題的步驟：審、設、找、列、解、答最后要檢驗根是否符合實際2傳播問題解決的關鍵是傳播源的確定和等量關系的建立3若平均增長(降低)率為x，增長(或降低)前的基準數是a，增長(或降低)n次后的量是b，則有：a(1x)nb(常見n2)4成本下降額較大的藥品，它的下降率不一定也較大，成本下降額較小的藥品，它的下降率不一定也較小作業布置教材第2122頁習題21.3第27題第