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文檔簡介

1、精選優質文檔-傾情為你奉上2015年湖南省高考數學試卷(理科)一、選擇題,共10小題,每小題5分,共50分1(5分)(2015湖南)已知=1+i(i為虛數單位),則復數z=()A1+iB1iC1+iD1i2(5分)(2015湖南)設A、B是兩個集合,則“AB=A”是“AB”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件3(5分)(2015湖南)執行如圖所示的程序框圖,如果輸入n=3,則輸出的S=()ABCD4(5分)(2015湖南)若變量x、y滿足約束條件,則z=3xy的最小值為()A7B1C1D25(5分)(2015湖南)設函數f(x)=ln(1+x)ln(1x),則

2、f(x)是()A奇函數,且在(0,1)上是增函數B奇函數,且在(0,1)上是減函數C偶函數,且在(0,1)上是增函數D偶函數,且在(0,1)上是減函數6(5分)(2015湖南)已知()5的展開式中含x的項的系數為30,則a=()ABC6D67(5分)(2015湖南)在如圖所示的正方形中隨機投擲10000個點,則落入陰影部分(曲線C為正態分布N(0,1)的密度曲線)的點的個數的估計值為()附“若XN=(,a2),則P(X+)=0.6826p(2X+2)=0.9544A2386B2718C3413D47728(5分)(2015湖南)已知A,B,C在圓x2+y2=1上運動,且ABBC,若點P的坐標為

3、(2,0),則|的最大值為()A6B7C8D99(5分)(2015湖南)將函數f(x)=sin2x的圖象向右平移(0)個單位后得到函數g(x)的圖象若對滿足|f(x1)g(x2)|=2的x1、x2,有|x1x2|min=,則=()ABCD10(5分)(2015湖南) 某工件的三視圖如圖所示現將該工件通過切削,加工成一個體積盡可能大的長方體新工件,并使新工件的一個面落在原工件的一個面內,則原工件材料的利用率為(材料利用率=)()ABCD二、填空題,共5小題,每小題5分,共25分11(5分)(2015湖南)(x1)dx=12(5分)(2015湖南)在一次馬拉松比賽中,35名運動員的成績(單位:分鐘

4、)的莖葉圖如圖所示若將運動員成績由好到差編號為135號,再用系統抽樣方法從中抽取7人,則其中成績在區間139,151上的運動員人數是13(5分)(2015湖南)設F是雙曲線C:=1的一個焦點若C上存在點P,使線段PF的中點恰為其虛軸的一個端點,則C的離心率為14(5分)(2015湖南)設Sn為等比數列an的前n項和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差數列,則an=15(5分)(2015湖南)已知函數f(x)=若存在實數b,使函數g(x)=f(x)b有兩個零點,則a的取值范圍是三、簡答題,共1小題,共75分,16、17、18為選修題,任選兩小題作答,如果全做,則按前兩題計分選修4-1:幾何

5、證明選講16(6分)(2015湖南)如圖,在O中,相交于點E的兩弦AB,CD的中點分別是M,N,直線MO與直線CD相交于點F,證明:(1)MEN+NOM=180°(2)FEFN=FMFO選修4-4:坐標系與方程17(6分)(2015湖南)已知直線l:(t為參數)以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的坐標方程為=2cos(1)將曲線C的極坐標方程化為直坐標方程;(2)設點M的直角坐標為(5,),直線l與曲線C的交點為A,B,求|MA|MB|的值選修4-5:不等式選講18(2015湖南)設a0,b0,且a+b=+證明:()a+b2;()a2+a2與b2+b2不可能同時

6、成立19(2015湖南)設ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c,a=btanA,且B為鈍角()證明:BA=;()求sinA+sinC的取值范圍20(2015湖南)某商場舉行有獎促銷活動,顧客購買一定金額商品后即可抽獎,每次抽獎都從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中,各隨機摸出1個球,在摸出的2個球中,若都是紅球,則獲一等獎,若只有1個紅球,則獲二等獎;若沒有紅球,則不獲獎(1)求顧客抽獎1次能獲獎的概率;(2)若某顧客有3次抽獎機會,記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數為X,求X的分布列和數學期望21(2015湖南)如圖,已知四棱臺ABCDA1B1C1D1的上、

7、下底面分別是邊長為3和6的正方形,AA1=6,且AA1底面ABCD,點P、Q分別在棱DD1、BC上(1)若P是DD1的中點,證明:AB1PQ;(2)若PQ平面ABB1A1,二面角PQDA的余弦值為,求四面體ADPQ的體積22(13分)(2015湖南)已知拋物線C1:x2=4y的焦點F也是橢圓C2:+=1(ab0)的一個焦點C1與C2的公共弦長為2()求C2的方程;()過點F的直線l與C1相交于A、B兩點,與C2相交于C、D兩點,且與同向()若|AC|=|BD|,求直線l的斜率;()設C1在點A處的切線與x軸的交點為M,證明:直線l繞點F旋轉時,MFD總是鈍角三角形23(13分)(2015湖南)

8、已知a0,函數f(x)=eaxsinx(x0,+)記xn為f(x)的從小到大的第n(nN*)個極值點證明:()數列f(xn)是等比數列;()若a,則對一切nN*,xn|f(xn)|恒成立2015年湖南省高考數學試卷(理科)參考答案與試題解析一、選擇題,共10小題,每小題5分,共50分1(5分)(2015湖南)已知=1+i(i為虛數單位),則復數z=()A1+iB1iC1+iD1i【考點】復數代數形式的乘除運算菁優網版權所有【專題】數系的擴充和復數【分析】由條件利用兩個復數代數形式的乘除法法則,求得z的值【解答】解:已知=1+i(i為虛數單位),z=1i,故選:D【點評】本題主要考查兩個復數代數

9、形式的乘除法法則的應用,屬于基礎題2(5分)(2015湖南)設A、B是兩個集合,則“AB=A”是“AB”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷菁優網版權所有【專題】集合;簡易邏輯【分析】直接利用兩個集合的交集,判斷兩個集合的關系,判斷充要條件即可【解答】解:A、B是兩個集合,則“AB=A”可得“AB”,“AB”,可得“AB=A”所以A、B是兩個集合,則“AB=A”是“AB”的充要條件故選:C【點評】本題考查充要條件的判斷與應用,集合的交集的求法,基本知識的應用3(5分)(2015湖南)執行如圖所示的程序框圖,如果輸入n=

10、3,則輸出的S=()ABCD【考點】程序框圖菁優網版權所有【分析】列出循環過程中S與i的數值,滿足判斷框的條件即可結束循環【解答】解:判斷前i=1,n=3,s=0,第1次循環,S=,i=2,第2次循環,S=,i=3,第3次循環,S=,i=4,此時,in,滿足判斷框的條件,結束循環,輸出結果:S=故選:B【點評】本題考查循環框圖的應用,注意判斷框的條件的應用,考查計算能力4(5分)(2015湖南)若變量x、y滿足約束條件,則z=3xy的最小值為()A7B1C1D2【考點】簡單線性規劃菁優網版權所有【專題】不等式的解法及應用【分析】由約束條件作出可行域,由圖得到最優解,求出最優解的坐標,數形結合得

11、答案【解答】解:由約束條件作出可行域如圖,由圖可知,最優解為A,聯立,解得C(0,1)由解得A(2,1),由,解得B(1,1)z=3xy的最小值為3×(2)1=7故選:A【點評】本題考查了簡單的線性規劃,考查了數形結合的解題思想方法,是中檔題易錯點是圖形中的B點5(5分)(2015湖南)設函數f(x)=ln(1+x)ln(1x),則f(x)是()A奇函數,且在(0,1)上是增函數B奇函數,且在(0,1)上是減函數C偶函數,且在(0,1)上是增函數D偶函數,且在(0,1)上是減函數【考點】利用導數研究函數的單調性菁優網版權所有【專題】導數的綜合應用【分析】求出好的定義域,判斷函數的奇偶

12、性,以及函數的單調性推出結果即可【解答】解:函數f(x)=ln(1+x)ln(1x),函數的定義域為(1,1),函數f(x)=ln(1x)ln(1+x)=ln(1+x)ln(1x)=f(x),所以函數是奇函數排除C,D,正確結果在A,B,只需判斷特殊值的大小,即可推出選項,x=0時,f(0)=0;x=時,f()=ln(1+)ln(1)=ln31,顯然f(0)f(),函數是增函數,所以B錯誤,A正確故選:A【點評】本題考查函數的奇偶性以及函數的單調性的判斷與應用,考查計算能力6(5分)(2015湖南)已知()5的展開式中含x的項的系數為30,則a=()ABC6D6【考點】二項式定理的應用菁優網版

13、權所有【專題】二項式定理【分析】根據所給的二項式,利用二項展開式的通項公式寫出第r+1項,整理成最簡形式,令x的指數為求得r,再代入系數求出結果【解答】解:根據所給的二項式寫出展開式的通項,Tr+1=;展開式中含x的項的系數為30,r=1,并且,解得a=6故選:D【點評】本題考查二項式定理的應用,本題解題的關鍵是正確寫出二項展開式的通項,在這種題目中通項是解決二項展開式的特定項問題的工具7(5分)(2015湖南)在如圖所示的正方形中隨機投擲10000個點,則落入陰影部分(曲線C為正態分布N(0,1)的密度曲線)的點的個數的估計值為()附“若XN=(,a2),則P(X+)=0.6826p(2X+

14、2)=0.9544A2386B2718C3413D4772【考點】正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義菁優網版權所有【專題】計算題;概率與統計【分析】求出P(0X1)=×0.6826=0.3413,即可得出結論【解答】解:由題意P(0X1)=×0.6826=0.3413,落入陰影部分點的個數的估計值為10000×0.3413=3413,故選:C【點評】本題考查正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義,考查正態分布中兩個量和的應用,考查曲線的對稱性,屬于基礎題8(5分)(2015湖南)已知A,B,C在圓x2+y2=1上運動,且ABBC,若點P的坐標為(2,0),則|的最

15、大值為()A6B7C8D9【考點】圓的切線方程菁優網版權所有【專題】計算題;直線與圓【分析】由題意,AC為直徑,所以|=|2+|B為(1,0)時,|2+|7,即可得出結論【解答】解:由題意,AC為直徑,所以|=|2+|所以B為(1,0)時,|2+|7所以|的最大值為7故選:B【點評】本題考查向量知識的運用,考查學生分析解決問題的能力,比較基礎9(5分)(2015湖南)將函數f(x)=sin2x的圖象向右平移(0)個單位后得到函數g(x)的圖象若對滿足|f(x1)g(x2)|=2的x1、x2,有|x1x2|min=,則=()ABCD【考點】函數y=Asin(x+)的圖象變換菁優網版權所有【專題】

16、三角函數的圖像與性質【分析】利用三角函數的最值,求出自變量x1,x2的值,然后判斷選項即可【解答】解:因為將函數f(x)=sin2x的周期為,函數的圖象向右平移(0)個單位后得到函數g(x)的圖象若對滿足|f(x1)g(x2)|=2的可知,兩個函數的最大值與最小值的差為2,有|x1x2|min=,不妨x1=,x2=,即g(x)在x2=,取得最小值,sin(2×2)=1,此時=,不合題意,x1=,x2=,即g(x)在x2=,取得最大值,sin(2×2)=1,此時=,滿足題意故選:D【點評】本題考查三角函數的圖象平移,函數的最值以及函數的周期的應用,考查分析問題解決問題的能力,

17、是好題,題目新穎有一定難度,選擇題,可以回代驗證的方法快速解答10(5分)(2015湖南) 某工件的三視圖如圖所示現將該工件通過切削,加工成一個體積盡可能大的長方體新工件,并使新工件的一個面落在原工件的一個面內,則原工件材料的利用率為(材料利用率=)()ABCD【考點】簡單空間圖形的三視圖菁優網版權所有【專題】創新題型;空間位置關系與距離;概率與統計【分析】根據三視圖可判斷其為圓錐,底面半徑為1,高為2,求解體積利用幾何體的性質得出此長方體底面邊長為n的正方形,高為x,利用軸截面的圖形可判斷得出n=(1),0x2,求解體積式子,利用導數求解即可,最后利用幾何概率求解即【解答】解:根據三視圖可判

18、斷其為圓錐,底面半徑為1,高為2,V=×2=加工成一個體積盡可能大的長方體新工件,此長方體底面邊長為n的正方形,高為x,根據軸截面圖得出:=,解得;n=(1),0x2,長方體的體積=2(1)2x,=x24x+2,=x24x+2=0,x=,x=2,可判斷(0,)單調遞增,(,2)單調遞減,最大值=2(1)2×=,原工件材料的利用率為=×=,故選:A【點評】本題很是新穎,知識點融合的很好,把立體幾何,導數,概率都相應的考查了,綜合性強,屬于難題二、填空題,共5小題,每小題5分,共25分11(5分)(2015湖南)(x1)dx=0【考點】定積分菁優網版權所有【專題】導數

19、的概念及應用【分析】求出被積函數的原函數,代入上限和下限求值【解答】解:(x1)dx=(x)|=0;故答案為:0【點評】本題考查了定積分的計算;關鍵是求出被積函數的原函數12(5分)(2015湖南)在一次馬拉松比賽中,35名運動員的成績(單位:分鐘)的莖葉圖如圖所示若將運動員成績由好到差編號為135號,再用系統抽樣方法從中抽取7人,則其中成績在區間139,151上的運動員人數是4【考點】莖葉圖菁優網版權所有【專題】概率與統計【分析】根據莖葉圖中的數據,結合系統抽樣方法的特征,即可求出正確的結論【解答】解:根據莖葉圖中的數據,得;成績在區間139,151上的運動員人數是20,用系統抽樣方法從35

20、人中抽取7人,成績在區間139,151上的運動員應抽取7×=4(人)故答案為:4【點評】本題考查了莖葉圖的應用問題,也考查了系統抽樣方法的應用問題,是基礎題目13(5分)(2015湖南)設F是雙曲線C:=1的一個焦點若C上存在點P,使線段PF的中點恰為其虛軸的一個端點,則C的離心率為【考點】雙曲線的簡單性質菁優網版權所有【專題】圓錐曲線的定義、性質與方程【分析】設F(c,0),P(m,n),(m0),設PF的中點為M(0,b),即有m=c,n=2b,將中點M的坐標代入雙曲線方程,結合離心率公式,計算即可得到【解答】解:設F(c,0),P(m,n),(m0),設PF的中點為M(0,b)

21、,即有m=c,n=2b,將點(c,2b)代入雙曲線方程可得,=1,可得e2=5,解得e=故答案為:【點評】本題考查雙曲線的方程和性質,主要考查雙曲線的離心率的求法,同時考查中點坐標公式的運用,屬于中檔題14(5分)(2015湖南)設Sn為等比數列an的前n項和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差數列,則an=3n1【考點】等差數列與等比數列的綜合菁優網版權所有【專題】等差數列與等比數列【分析】利用已知條件列出方程求出公比,然后求解等比數列的通項公式【解答】解:設等比數列的公比為q,Sn為等比數列an的前n項和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差數列,可得4S2=S3+3S1,a1=

22、1,即4(1+q)=1+q+q2+3,q=3an=3n1故答案為:3n1【點評】本題考查等差數列以及等比數列的應用,基本知識的考查15(5分)(2015湖南)已知函數f(x)=若存在實數b,使函數g(x)=f(x)b有兩個零點,則a的取值范圍是a|a0或a1【考點】函數的零點菁優網版權所有【專題】計算題;創新題型;函數的性質及應用【分析】由g(x)=f(x)b有兩個零點可得f(x)=b有兩個零點,即y=f(x)與y=b的圖象有兩個交點,則函數在定義域內不能是單調函數,結合函數圖象可求a的范圍【解答】解:g(x)=f(x)b有兩個零點,f(x)=b有兩個零點,即y=f(x)與y=b的圖象有兩個交

23、點,由x3=x2可得,x=0或x=1當a1時,函數f(x)的圖象如圖所示,此時存在b,滿足題意,故a1滿足題意當a=1時,由于函數f(x)在定義域R上單調遞增,故不符合題意當0a1時,函數f(x)單調遞增,故不符合題意a=0時,f(x)單調遞增,故不符合題意當a0時,函數y=f(x)的圖象如圖所示,此時存在b使得,y=f(x)與y=b有兩個交點綜上可得,a0或a1故答案為:a|a0或a1【點評】本題考察了函數的零點問題,滲透了轉化思想,數形結合、分類討論的數學思想三、簡答題,共1小題,共75分,16、17、18為選修題,任選兩小題作答,如果全做,則按前兩題計分選修4-1:幾何證明選講16(6分

24、)(2015湖南)如圖,在O中,相交于點E的兩弦AB,CD的中點分別是M,N,直線MO與直線CD相交于點F,證明:(1)MEN+NOM=180°(2)FEFN=FMFO【考點】相似三角形的判定菁優網版權所有【專題】選作題;推理和證明【分析】(1)證明O,M,E,N四點共圓,即可證明MEN+NOM=180°(2)證明FEMFON,即可證明FEFN=FMFO【解答】證明:(1)N為CD的中點,ONCD,M為AB的中點,OMAB,在四邊形OMEN中,OME+ONE=90°+90°=180°,O,M,E,N四點共圓,MEN+NOM=180°(

25、2)在FEM與FON中,F=F,FME=FNO=90°,FEMFON,=FEFN=FMFO【點評】本題考查垂徑定理,考查三角形相似的判定與應用,考查學生分析解決問題的能力,比較基礎選修4-4:坐標系與方程17(6分)(2015湖南)已知直線l:(t為參數)以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的坐標方程為=2cos(1)將曲線C的極坐標方程化為直坐標方程;(2)設點M的直角坐標為(5,),直線l與曲線C的交點為A,B,求|MA|MB|的值【考點】參數方程化成普通方程;簡單曲線的極坐標方程菁優網版權所有【專題】選作題;坐標系和參數方程【分析】(1)曲線的極坐標方程即2

26、=2cos,根據極坐標和直角坐標的互化公式得x2+y2=2x,即得它的直角坐標方程;(2)直線l的方程化為普通方程,利用切割線定理可得結論【解答】解:(1)=2cos,2=2cos,x2+y2=2x,故它的直角坐標方程為(x1)2+y2=1;(2)直線l:(t為參數),普通方程為,(5,)在直線l上,過點M作圓的切線,切點為T,則|MT|2=(51)2+31=18,由切割線定理,可得|MT|2=|MA|MB|=18【點評】本題主要考查把極坐標方程化為直角坐標方程的方法,屬于基礎題選修4-5:不等式選講18(2015湖南)設a0,b0,且a+b=+證明:()a+b2;()a2+a2與b2+b2不

27、可能同時成立【考點】不等式的證明菁優網版權所有【專題】不等式的解法及應用【分析】()由a0,b0,結合條件可得ab=1,再由基本不等式,即可得證;()運用反證法證明假設a2+a2與b2+b2可能同時成立結合條件a0,b0,以及二次不等式的解法,可得0a1,且0b1,這與ab=1矛盾,即可得證【解答】證明:()由a0,b0,則a+b=+=,由于a+b0,則ab=1,即有a+b2=2,當且僅當a=b取得等號則a+b2;()假設a2+a2與b2+b2可能同時成立由a2+a2及a0,可得0a1,由b2+b2及b0,可得0b1,這與ab=1矛盾a2+a2與b2+b2不可能同時成立【點評】本題考查不等式的

28、證明,主要考查基本不等式的運用和反證法證明不等式的方法,屬于中檔題19(2015湖南)設ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c,a=btanA,且B為鈍角()證明:BA=;()求sinA+sinC的取值范圍【考點】正弦定理菁優網版權所有【專題】解三角形【分析】()由題意和正弦定理可得sinB=cosA,由角的范圍和誘導公式可得;()由題意可得A(0,),可得0sinA,化簡可得sinA+sinC=2(sinA)2+,由二次函數區間的最值可得【解答】解:()由a=btanA和正弦定理可得=,sinB=cosA,即sinB=sin(+A)又B為鈍角,+A(,),B=+A,BA=;()由()知

29、C=(A+B)=(A+A)=2A0,A(0,),sinA+sinC=sinA+sin(2A)=sinA+cos2A=sinA+12sin2A=2(sinA)2+,A(0,),0sinA,由二次函數可知2(sinA)2+sinA+sinC的取值范圍為(,【點評】本題考查正弦定理和三角函數公式的應用,涉及二次函數區間的最值,屬基礎題20(2015湖南)某商場舉行有獎促銷活動,顧客購買一定金額商品后即可抽獎,每次抽獎都從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中,各隨機摸出1個球,在摸出的2個球中,若都是紅球,則獲一等獎,若只有1個紅球,則獲二等獎;若沒有紅球,則不獲獎(1)求顧客

30、抽獎1次能獲獎的概率;(2)若某顧客有3次抽獎機會,記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數為X,求X的分布列和數學期望【考點】離散型隨機變量的期望與方差;離散型隨機變量及其分布列菁優網版權所有【專題】概率與統計【分析】(1)記事件A1=從甲箱中摸出一個球是紅球,事件A2=從乙箱中摸出一個球是紅球,事件B1=顧客抽獎1次獲一等獎,事件A2=顧客抽獎1次獲二等獎,事件C=顧客抽獎1次能獲獎,利用A1,A2相互獨立,互斥,B1,B2互斥,然后求出所求概率即可(2)顧客抽獎1次可視為3次獨立重復試驗,判斷XB求出概率,得到X的分布列,然后求解期望【解答】解:(1)記事件A1=從甲箱中摸出一個球是紅球,事件

31、A2=從乙箱中摸出一個球是紅球,事件B1=顧客抽獎1次獲一等獎,事件B2=顧客抽獎1次獲二等獎,事件C=顧客抽獎1次能獲獎,由題意A1,A2相互獨立,互斥,B1,B2互斥,且B1=A1A2,B2=+,C=B1+B2,因為P(A1)=,P(A2)=,所以,P(B1)=P(A1)P(A2)=,P(B2)=P()+P()=+=,故所求概率為:P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)=(2)顧客抽獎1次可視為3次獨立重復試驗,由(1)可知,顧客抽獎1次獲一等獎的概率為:所以XB于是,P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=故X的分布列為: X 0 1 2 3 PE(X)

32、=3×=【點評】期望是概率論和數理統計的重要概念之一,是反映隨機變量取值分布的特征數,學習期望將為今后學習概率統計知識做鋪墊,它在市場預測,經濟統計,風險與決策等領域有著廣泛的應用,為今后學習數學及相關學科產生深遠的影響21(2015湖南)如圖,已知四棱臺ABCDA1B1C1D1的上、下底面分別是邊長為3和6的正方形,AA1=6,且AA1底面ABCD,點P、Q分別在棱DD1、BC上(1)若P是DD1的中點,證明:AB1PQ;(2)若PQ平面ABB1A1,二面角PQDA的余弦值為,求四面體ADPQ的體積【考點】二面角的平面角及求法;直線與平面垂直的性質菁優網版權所有【專題】空間位置關系

33、與距離;空間角;空間向量及應用【分析】(1)首先以A為原點,AB,AD,AA1所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,求出一些點的坐標,Q在棱BC上,從而可設Q(6,y1,0),只需求即可;(2)設P(0,y2,z2),根據P在棱DD1上,從而由即可得到z2=122y2,從而表示點P坐標為P(0,y2,122y2)由PQ平面ABB1A1便知道與平面ABB1A1的法向量垂直,從而得出y1=y2,從而Q點坐標變成Q(6,y2,0),設平面PQD的法向量為,根據即可表示,平面AQD的一個法向量為,從而由即可求出y2,從而得出P點坐標,從而求出三棱錐PAQD的高,而四面體ADPQ的體積等于三棱

34、錐PAQD的體積,從而求出四面體的體積【解答】解:根據已知條件知AB,AD,AA1三直線兩兩垂直,所以分別以這三直線為x,y,z軸,建立如圖所示空間直角坐標系,則:A(0,0,0),B(6,0,0),D(0,6,0),A1(0,0,6),B1(3,0,6),D1(0,3,6);Q在棱BC上,設Q(6,y1,0),0y16;(1)證明:若P是DD1的中點,則P;,;AB1PQ;(2)設P(0,y2,z2),y2,z20,6,P在棱DD1上;,01;(0,y26,z2)=(0,3,6);z2=122y2;P(0,y2,122y2);平面ABB1A1的一個法向量為;PQ平面ABB1A1;=6(y1y

35、2)=0;y1=y2;Q(6,y2,0);設平面PQD的法向量為,則:;,取z=1,則;又平面AQD的一個法向量為;又二面角PQDA的余弦值為;解得y2=4,或y2=8(舍去);P(0,4,4);三棱錐PADQ的高為4,且;V四面體ADPQ=V三棱錐PADQ=【點評】考查建立空間直角坐標系,利用空間向量解決異面直線垂直及線面角問題的方法,共線向量基本定理,直線和平面平行時,直線和平面法向量的關系,平面法向量的概念,以及兩平面法向量的夾角和平面二面角大小的關系,三棱錐的體積公式22(13分)(2015湖南)已知拋物線C1:x2=4y的焦點F也是橢圓C2:+=1(ab0)的一個焦點C1與C2的公共

36、弦長為2()求C2的方程;()過點F的直線l與C1相交于A、B兩點,與C2相交于C、D兩點,且與同向()若|AC|=|BD|,求直線l的斜率;()設C1在點A處的切線與x軸的交點為M,證明:直線l繞點F旋轉時,MFD總是鈍角三角形【考點】直線與圓錐曲線的關系;橢圓的標準方程菁優網版權所有【專題】創新題型;圓錐曲線中的最值與范圍問題【分析】()根據兩個曲線的焦點相同,得到a2b2=1,再根據C1與C2的公共弦長為2,得到=1,解得即可求出;()設出點的坐標,()根據向量的關系,得到(x1+x2)24x1x2=(x3+x4)24x3x4,設直線l的方程,分別與C1,C2構成方程組,利用韋達定理,分

37、別代入得到關于k的方程,解得即可;()根據導數的幾何意義得到C1在點A處的切線方程,求出點M的坐標,利用向量的乘積AFM是銳角,問題得以證明【解答】解:()拋物線C1:x2=4y的焦點F的坐標為(0,1),因為F也是橢圓C2的一個焦點,a2b2=1,又C1與C2的公共弦長為2,C1與C2的都關于y軸對稱,且C1的方程為x2=4y,由此易知C1與C2的公共點的坐標為(±,),所以=1,聯立得a2=9,b2=8,故C2的方程為+=1()設A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),()因為與同向,且|AC|=|BD|,所以=,從而x3x1=x4x2,即x1x2

38、=x3x4,于是(x1+x2)24x1x2=(x3+x4)24x3x4,設直線的斜率為k,則l的方程為y=kx+1,由,得x24kx4=0,而x1,x2是這個方程的兩根,所以x1+x2=4k,x1x2=4,由,得(9+8k2)x2+16kx64=0,而x3,x4是這個方程的兩根,所以x3+x4=,x3x4=,將代入,得16(k2+1)=+,即16(k2+1)=,所以(9+8k2)2=16×9,解得k=±()由x2=4y得y=x,所以C1在點A處的切線方程為yy1=x1(xx1),即y=x1xx12,令y=0,得x=x1,M(x1,0),所以=(x1,1),而=(x1,y11

39、),于是=x12y1+1=x12+10,因此AFM是銳角,從而MFD=180°AFM是鈍角,故直線l繞點F旋轉時,MFD總是鈍角三角形【點評】本題考查了圓錐曲線的和直線的位置與關系,關鍵是聯立方程,構造方程,利用韋達定理,以及向量的關系,得到關于k的方程,計算量大,屬于難題23(13分)(2015湖南)已知a0,函數f(x)=eaxsinx(x0,+)記xn為f(x)的從小到大的第n(nN*)個極值點證明:()數列f(xn)是等比數列;()若a,則對一切nN*,xn|f(xn)|恒成立【考點】利用導數研究函數的極值;導數在最大值、最小值問題中的應用菁優網版權所有【專題】創新題型;導數

40、的綜合應用;等差數列與等比數列;不等式的解法及應用【分析】()求出導數,運用兩角和的正弦公式化簡,求出導數為0的根,討論根附近的導數的符號相反,即可得到極值點,求得極值,運用等比數列的定義即可得證;()由sin=,可得對一切nN*,xn|f(xn)|恒成立即為nea(n)恒成立,設g(t)=(t0),求出導數,求得最小值,由恒成立思想即可得證【解答】證明:()f(x)=eax(asinx+cosx)=eaxsin(x+),tan=,0,令f(x)=0,由x0,x+=m,即x=m,mN*,對kN,若(2k+1)x+(2k+2),即(2k+1)x(2k+2),則f(x)0,因此在(m1),m)和(

41、m,(m+1)上f(x)符號總相反于是當x=n,nN*,f(x)取得極值,所以xn=n,nN*,此時f(xn)=ea(n)sin(n)=(1)n+1ea(n)sin,易知f(xn)0,而=ea是常數,故數列f(xn)是首項為f(x1)=ea()sin,公比為ea的等比數列;()由sin=,可得對一切nN*,xn|f(xn)|恒成立即為nea(n)恒成立,設g(t)=(t0),g(t)=,當0t1時,g(t)0,g(t)遞減,當t1時,g(t)0,g(t)遞增t=1時,g(t)取得最小值,且為e因此要使恒成立,只需g(1)=e,只需a,當a=,tan=,且0,可得,于是,且當n2時,n2,因此對

42、nN*,axn=1,即有g(axn)g(1)=e=,故亦恒成立綜上可得,若a,則對一切nN*,xn|f(xn)|恒成立【點評】本題考查導數的運用:求極值和單調區間,主要考查三角函數的導數和求值,同時考查等比數列的定義和通項公式的運用,考查不等式恒成立問題的證明,屬于難題參與本試卷答題和審題的老師有:caoqz;qiss;呂靜;劉長柏;sdpyqzh;changq;雙曲線;lincy;wkl;whgcn(排名不分先后)菁優網2016年6月8日考點卡片1必要條件、充分條件與充要條件的判斷【知識點的認識】 正確理解和判斷充分條件、必要條件、充要條件和非充分非必要以及原命題、逆命題否命題、逆否命題的概

43、念是本節的重點;掌握邏輯推理能力和語言互譯能力,對充要條件概念本質的把握是本節的難點1充分條件:對于命題“若p則q”為真時,即如果p成立,那么q一定成立,記作“pq”,稱p為q的充分條件意義是說條件p充分保證了結論q的成立,換句話說要使結論q成立,具備條件p就夠了當然q成立還有其他充分條件如p:x6,q:x2,p是q成立的充分條件,而r:x3,也是q成立的充分條件必要條件:如果q成立,那么p成立,即“qp”,或者如果p不成立,那么q一定不成立,也就是“若非p則非q”,記作“pq”,這是就說條件p是q的必要條件,意思是說條件p是q成立的必須具備的條件充要條件:如果既有“pq”,又有“qp”,則稱

44、條件p是q成立的充要條件,或稱條件q是p成立的充要條件,記作“pq”2從集合角度看概念:如果條件p和結論q的結果分別可用集合P、Q 表示,那么“pq”,相當于“PQ”即:要使xQ成立,只要xP就足夠了有它就行“qp”,相當于“PQ”,即:為使xQ成立,必須要使xP缺它不行“pq”,相當于“P=Q”,即:互為充要的兩個條件刻畫的是同一事物3當命題“若p則q”為真時,可表示為,則我們稱p為q的充分條件,q是p的必要條件這里由,得出p為q的充分條件是容易理解的但為什么說q是p的必要條件呢?事實上,與“”等價的逆否命題是“”它的意義是:若q不成立,則p一定不成立這就是說,q對于p是必不可少的,所以說q

45、是p的必要條件4“充要條件”的含義,實際上與初中所學的“等價于”的含義完全相同也就是說,如果命題p等價于命題q,那么我們說命題p成立的充要條件是命題q成立;同時有命題q成立的充要條件是命題p成立【解題方法點撥】1借助于集合知識加以判斷,若PQ,則P是Q的充分條件,Q是的P的必要條件;若P=Q,則P與Q互為充要條件2等價法:“PQ”“QP”,即原命題和逆否命題是等價的;原命題的逆命題和原命題的否命題是等價的3對于充要條件的證明,一般有兩種方法:其一,是用分類思想從充分性、必要性兩種情況分別加以證明;其二,是逐步找出其成立的充要條件用“”連接【命題方向】充要條件主要是研究命題的條件與結論之間的邏輯

46、關系,它是中學數學最重要的數學概念之一,它是今后的高中乃至大學數學推理學習的基礎在每年的高考中,都會考查此類問題2函數的零點【函數的零點】 一般地,對于函數y=f(x)(xR),我們把方程f(x)=0的實數根x叫作函數y=f(x)(xD)的零點即函數的零點就是使函數值為0的自變量的值函數的零點不是一個點,而是一個實數【解法二分法】確定區間a,b,驗證f(a)*f(b)0,給定精確度; 求區間(a,b)的中點x1;計算f(x1);若f(x1)=0,則x1就是函數的零點; 若f(a)f(x1)0,則令b=x1(此時零點x0(a,x1);若f(x1)f(b)0,則令a=x1(此時零點x0(x1,b)

47、 判斷是否滿足條件,否則重復(2)(4)【總結】 零點其實并沒有多高深,簡單的說,就是某個函數的零點其實就是這個函數與x軸的交點,另外如果在(a,b)連續的函數滿足f(a)f(b)0,則(a,b)至少有一個零點這個考點屬于了解性的,知道它的概念就行了3定積分【定積分】 定積分就是求函數f(X)在區間a,b中圖線下包圍的面積即由 y=0,x=a,x=b,y=f(X)所圍成圖形的面積這個圖形稱為曲邊梯形,特例是曲邊三角形,表示的是一個面積,是一個數【定積分的求法】 求定積分首先要確定定義域的范圍,其次確定積分函數,最后找出積分的原函數然后求解,這里以例題為例例1:定積分= 解:12|32x|dx=

48、+=(3xx2)|+(x23x)|= 通過這個習題我們發現,第一的,定積分的表示方法,后面一定要有dx;第二,每一段對應的被積分函數的表達式要與定義域相對應;第三,求出原函數代入求解例2:用定積分的幾何意義,則 解:根據定積分的幾何意義,則表示圓心在原點,半徑為3的圓的上半圓的面積,故= 這里面用到的就是定積分表示的一個面積,通過對被積分函數的分析,我們發現它是個半圓,所以可以直接求他的面積【考查】 定積分相對來說比較容易,一般以選擇、填空題的形式出現,這里要熟悉定積分的求法,知道定積分的含義,上面兩個題代表了兩種解題思路,也是一般思路,希望同學們掌握4利用導數研究函數的單調性【知識點的知識】

49、1、導數和函數的單調性的關系:(1)若f(x)0在(a,b)上恒成立,則f(x)在(a,b)上是增函數,f(x)0的解集與定義域的交集的對應區間為增區間; (2)若f(x)0在(a,b)上恒成立,則f(x)在(a,b)上是減函數,f(x)0的解集與定義域的交集的對應區間為減區間2、利用導數求解多項式函數單調性的一般步驟:(1)確定f(x)的定義域; (2)計算導數f(x); (3)求出f(x)=0的根; (4)用f(x)=0的根將f(x)的定義域分成若干個區間,列表考察這若干個區間內f(x)的符號,進而確定f(x)的單調區間:f(x)0,則f(x)在對應區間上是增函數,對應區間為增區間;f(x

50、)0,則f(x)在對應區間上是減函數,對應區間為減區間【典型例題分析】題型一:導數和函數單調性的關系典例1:已知函數f(x)的定義域為R,f(1)=2,對任意xR,f(x)2,則f(x)2x+4的解集為()A(1,1)B(1,+) C(,1)D(,+)解:設g(x)=f(x)2x4,則g(x)=f(x)2,對任意xR,f(x)2,對任意xR,g(x)0,即函數g(x)單調遞增,f(1)=2,g(1)=f(1)+24=44=0,則由g(x)g(1)=0得x1,即f(x)2x+4的解集為(1,+),故選:B題型二:導數很函數單調性的綜合應用典例2:已知函數f(x)=alnxax3(aR)()求函數

51、f(x)的單調區間;()若函數y=f(x)的圖象在點(2,f(2)處的切線的傾斜角為45°,對于任意的t1,2,函數在區間(t,3)上總不是單調函數,求m的取值范圍;()求證:解:()(2分)當a0時,f(x)的單調增區間為(0,1,減區間為1,+);當a0時,f(x)的單調增區間為1,+),減區間為(0,1;當a=0時,f(x)不是單調函數(4分)()得a=2,f(x)=2lnx+2x3,g'(x)=3x2+(m+4)x2(6分)g(x)在區間(t,3)上總不是單調函數,且g(0)=2由題意知:對于任意的t1,2,g(t)0恒成立,所以有:,(10分)()令a=1此時f(x)=lnx+x3,所以f(1)=2,由()知f(x)=lnx+x3在(1,+)上單調遞增,當x(1,+)時f(x)f(1),即lnx+x10,lnxx1對一切x(1,+)成立,(12分)n2,nN*,則有0lnnn1,【解題方法點撥】 若在某區間上有有限個點使f(x)=0,在其余的點恒有f(x)0,則f(x)仍為增函數(減函數的情形完全類似)即在區間內f(

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