1、23 雙曲線2.3.1雙曲線及其標準方程雙曲線的定義我海軍“馬鞍山”艦和“千島湖”艦組成第四批護航編隊遠赴亞丁灣，在索馬里海域執(zhí)行護航任務(wù)某日“馬鞍山”艦哨兵監(jiān)聽到附近海域有快艇的馬達聲，與“馬鞍山”艦相距1 600 m的“千島湖”艦，3 s后也監(jiān)聽到了該馬達聲(聲速為340 m/s)問題1：“千島湖”艦比“馬鞍山”艦距離快艇遠多少米？提示：34031 020(米)問題2：若把“馬鞍山”艦和“千島湖”艦看成兩個定點A，B，快艇看成動點M，M滿足什么條件？提示：|MB|MA|1 020.雙曲線的定義把平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線這兩

2、個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距.雙曲線的標準方程在平面直角坐標系中，已知A(3,0)，B(3,0)，C(0，3)，D(0，3)問題1：若動點M滿足|MA|MB|4，則M的軌跡方程是什么？提示：1.問題2：若動點M滿足|MC|MD|4，則點M的軌跡方程呢？提示：1.雙曲線的標準方程焦點在x軸上焦點在y軸上標準方程1(a0，b0)1(a0，b0)焦點坐標F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)a，b，c的關(guān)系c2a2b21雙曲線定義的理解(1)定義中的常數(shù)是“差的絕對值”，“絕對值”這一條件不可忽略若沒有絕對值，表示的只是雙曲線的一支若|PF1|PF2|

3、2a(a0)，曲線只表示雙曲線靠近F2的一支若|PF1|PF2|2a(a0)，曲線只表示雙曲線靠近F1的一支(2)若|F1F2|2a，動點的軌跡不再是雙曲線，而是兩條射線(3)若|F1F2|0，b0)可以看出：如果x2項的系數(shù)是正的，那么焦點在x軸上；如果y2項的系數(shù)是正的，那么焦點在y軸上對于雙曲線，a不一定大于b，但是無論雙曲線的焦點在哪個軸上，方程中的三個量都滿足c2a2b2.求雙曲線的標準方程例1已知雙曲線過P1(2，)和P2(，4)兩點，求雙曲線的標準方程思路點撥解答本題可分情況設(shè)出雙曲線的標準方程，再構(gòu)造關(guān)于a，b，c的方程組，求得a，b，c，從而得雙曲線標準方程；也可以設(shè)成mx2

4、ny21(mn0，b0)P1，P2在雙曲線上，解得(不合題意，舍去)當雙曲線的焦點在y軸上時，設(shè)雙曲線的方程為1(a0，b0)P1，P2在雙曲線上，解得即a29，b216.所求雙曲線的標準方程為1.法二：雙曲線的焦點位置不確定，設(shè)雙曲線方程為mx2ny21(mn0，b0)，則有解得故雙曲線的標準方程為y21.答案：A2求與雙曲線1有公共焦點，且過點(3，2)的雙曲線方程解：法一：設(shè)雙曲線方程為1(a0，b0)由題意易求得c2.又雙曲線過點(3，2)，1.又a2b2(2)2，a212，b28.故所求雙曲線的方程為1.法二：設(shè)雙曲線方程為1(4k4，所以點M的軌跡是以C1，C2為焦點的雙曲線的右支

5、，且有a2，c3.所以b25，所求的軌跡方程為1(x2)答案：1(x2)曲線類型的討論例3已知方程kx2y24，其中k為實數(shù)，對于不同范圍的k值分別指出方程所表示的曲線類型思路點撥解答本題可依據(jù)所學(xué)的各種曲線的標準形式的系數(shù)應(yīng)滿足的條件進行分類討論精解詳析(1)當k0時，y2，表示兩條與x軸平行的直線；(2)當k1時，方程為x2y24，表示圓心在原點，半徑為2的圓；(3)當k0時，方程為1，表示焦點在y軸上的雙曲線；(4)當0k1時，方程為1，表示焦點在y軸上的橢圓一點通解決這類題的基本方法是分類討論，在分類討論的過程中應(yīng)做到不重不漏，選擇適當?shù)姆纸琰c在討論過程中應(yīng)說出該方程表示的是哪種曲線及

6、其特征5若方程3表示焦點在y軸上的雙曲線，則m的取值范圍是()A(1,2) B(2，)C(，2) D(2,2)解析：由題意，方程可化為3，解得m2.答案：C6當0180時，方程x2cos y2sin 1表示的曲線如何變化？解：(1)當0時，方程為x21，它表示兩條平行直線x1.(2)當090時，方程為1.當045時，0，它表示焦點在y軸上的橢圓當45時，它表示圓x2y2.當450，它表示焦點在x軸上的橢圓(3)當90時，方程為y21，它表示兩條平行直線y1.(4)當900，b0)或1(a0，b0)或mx2ny21(mn|F1F2|)|PF1|PF2|2a(2ab0)1(ab0)1(a0，b0)

7、1(a0，b0)焦點F(c,0)F(0，c)F(c,0)F(0，c) a，b，c的關(guān)系a2b2c2c2a2b21已知雙曲線的a5，c7，則該雙曲線的標準方程為()A.1B.1C.1或1D.0或0解析：因為b2c2a2492524，且焦點位置不確定，所以雙曲線的標準方程為1或1.答案：C2已知方程(1k)x2(1k)y21表示焦點在x軸上的雙曲線，則k的取值范圍為()A(1,1)B(1，)C(，1) D(，1)(1，)解析：由題意得解得即1k0，b0)由0，得PF1PF2.根據(jù)勾股定理得|PF1|2|PF2|2(2c)2，即|PF1|2|PF2|220.根據(jù)雙曲線定義有|PF1|PF2|2a.兩邊平方并代入|PF1|PF2|2得20224a2，解得a24，從而b2541，所以雙曲線方程為y21.答案：y217設(shè)圓C與兩圓(x)2y24，(x)2y24中的一個內(nèi)切，另一個外切，求圓C的圓心軌跡L的方程解：依題意得兩圓的圓心分別為F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，從而可得|CF1|2|CF2|2或|CF2|2|CF1|2，所以|CF2|CF1|4|F1F2|2.所以圓心C的軌跡是雙曲線，其中2a4,2c|F1F2|2，即a2，c，所以b2c2a21.故L的方程為y21.8已知ABC的兩個頂點A，B分別為橢圓x25y25的左焦點和右焦點，且三個內(nèi)角A，B，C滿足關(guān)系式sin Bsin A