1、精選優質文檔-傾情為你奉上第七章 橢球面上的基本計算1 地球橢球的基本知識離心力 地心引力 重力G一、地球形狀的概念地球的自然表面不規則；不能在上面進行計算；大地水準面平均海水面延伸得到的封閉曲面，最接近大地自然表面；大地水準面具有性質：大地水準面上任一點處的垂線（重力方向）與該點處切面正交；又：重力是離心力與地心引力的合力（離心力與地心引力之比約1：300），而大地水準面上各點處引力不等，造成各點處垂線方向各異。各點處切面組成的曲面大地水準面亦不規則，有微小起伏，是一個具有物理性質的曲面。實踐和理論均可證明：1）在各水準面（與大地水準面的不平行性不很明顯）上測得的水平角，因歸化到大地水準面上

2、改正極微小，完全可以看成大地水準面上的角值；2）各高程面上測得之邊長也可化算到大地水準面上；3）地面點的高程亦從大地水準面起算。結論：大地水準面是測量外業的基準面；但它是物理曲面而非數學曲面，所以不能作為測量計算的基準面。大地體大地水準面包圍的形體；地球橢球代表地球形體的旋轉橢球體；橢球面上處處法線與該點的切面正交，是一個具有數學性質的曲面；總地球橢球與大地體最接近的地球橢球。應滿足：其中心應與地球質心重合；旋轉軸應與地軸重合，赤道應與地球赤道重合；體積應與大地體體積相等；總橢球面與大地水準面之間的高差平方和最小。參考橢球與某一局部大地水準面密切配合的橢球。二、橢球的幾何元素與參數1.橢球的元

3、素長半徑：a短半徑：b2.橢球的參數 扁率： a(ab)/a 第一偏心率： 第二偏心率： 式中：橢圓的焦距，即橢圓的焦點到橢圓中心的距離3.關系式 (1 e2) (1e2)1 e22a a 2 2 a (a 1/300)我國解放前使用海福特橢球等。解放后，我國的“1954年北京坐標系”采用克拉索夫斯基橢球，“1980國家大地坐標系”采用“IAG75”橢球，而全球定位系統（GPS）采用的是WGS-84橢球參數。這三個橢球的元素和參數參見P2表7-1。練習及作業：1.閱讀控制測量學上冊，1.2 1.2.1、1.2.2控制測量學下冊，7.12.思考如何理解大地水準面是測量外業的基準面？為什么不能作為

4、測量計算的基準面？如何旋轉橢圓得到參考橢球？2 橢球上點的位置的確定一、橢球上點的高程位置的確定大地高H大地面點沿法線方向到參考橢球面的距離。 B H正 H常 似大地水準面 大地水準面 N 橢球面大地高可以由以下兩種方法求得：H大H正N式中：H正B點的正高高程 N大地水準面差距（見大地重力學中斯托克司公式）H大H常式中：H常B點的正常高高程 高程差異或高程異常（見重力測量學）因正常高能精確求得，亦能嚴密解算，故，此方法是嚴密的。（注：大地水準面與似大地水準面很接近，在高山區最大差異不超過4m，在平均海水面上兩面重合，即H0正H0常；B點法線與重力線非常接近，其差異對高程的影響很小，討論高程時可

5、不予考慮）二、橢球面上點的平面位置的確定1.橢球面上的線和圈子午圈包含短軸的平面與橢球面的截線；亦稱經圈，經線，子午線。 N T 平行圈 法 法 線 截 線 赤道 子 午 線 S平行圈垂直于短軸的平面與橢球面的交線；亦稱緯圈、緯線。最大的平行圈，即過橢球中心垂直于短軸的平面與橢球面的交線，稱為赤道。法截面、法截線包含某點法線的平面稱為法截面，法截面與橢球面的交線稱為法截線。卯酉圈與某點子午面正交的法截面在橢球上的截線。2.橢球上的坐標系統和空間直角坐標系統 N L P G 起 W 始 o E 子 B 午 赤道平面 線 S 大地坐標系統（B、L）大地經度L過P點的子午面與起始子午面構成的兩面角；

6、由起始子午面起算，逆轉向東為正（東經0180），順轉向西為負（西經0180）；大地緯度B過P點的法線與赤道平面的夾角；由赤道平面起算，向北為正（北緯090），向南為負（南緯090）。子午面直角坐標系統（L，x，y） y L x P G y o xL大地經度；x，y子午面內的平面直角坐標系統；子午面與赤道平面的交線為x軸，橢球短軸為y軸。空間直角坐標系統（X，Y，Z）o參考橢球的中心X起始子午面與赤道面的交線Y在赤道面內，垂直X（右手系）Z與橢球短半徑重合3.坐標系統間的關系 Z M H大 G P Zm o Y Xm Ym x X大地坐標系與子午面直角坐標系的關系點在兩坐標中大地經度L相同，推導

7、大地緯度B與直角坐標x，y的關系如下：因曲線在P點處的一階導數就是P點處曲線切線的斜率，即： y P x y B+90 B B o x又，對子午橢圓方程式微分，有： 即： 因，故： 即： 也即： yxtanB(1e2) (1)將（1）式代入橢圓方程，得： (2)由（1），（2）兩式可得： 大地坐標系與空間直角坐標系的關系空間M點的大地坐標為L，B，H；其空間直角坐標為X，Y，Z。 Z (y) M G P o Y L X x首先推導空間直角坐標系與子午面直角坐標系關系如下：XmxmcosLYmxmsinL （1）Zmym又，從右圖可知：o Y xm L M x XxmxpHcosB(a/W)co

8、sBHcosB （2）ymypHsinB(a/W)(1e2)sinBHsinB將（2）代入（1）得：XmxmcosL(NH)cosBcosL YmxmsinL(NH)cosBsinL (3)Zmym(NNe2H)sinBZ(y) M H P xp Zmym yp B x 式中：Na/W Ne2ae2/W練習及作業：1.閱讀7.2 瀏覽已知空間直角坐標計算大地坐標的（7-31）、（7-32.）、（7-34）式2.作圖并復習定義大地坐標系子午面直角坐標系空間直角坐標系3.思考大地坐標系與子午面直角坐標系如何建立關系？大地坐標系與空間直角坐標系如何建立關系？3 幾種主要的曲率半徑一、子午曲率半徑M已

9、知，平面曲率半徑公式因： （參見上節式）代入平面曲率半徑公式，得子午曲率半徑公式由上式知：MB0aae2（赤道處子午曲率半徑小于a） （兩極處子午曲率半徑大于a） 二、卯酉曲率半徑N1.麥尼爾第二定律（參見微分幾何北京測繪學院） y r P 子 平行圈B 卯 午 酉 線 N 線 B 通過P點引兩個截弧：法截弧與斜截弧。法截弧的曲率半徑為N，斜截弧的曲率半徑為r，若法截弧與斜截弧在P點有公共切線，則rNcosB（B為兩曲率半徑的夾角）。2.卯酉曲率半徑取法截弧為卯酉圈，斜截弧為平行圈，根據麥尼爾第二定律，有： 式中 xP點在子午面直角坐標系統中的x坐標 BP點的大地緯度將關系式代入上式得由上式知

10、：NB0a （赤道處卯酉曲率半徑等于a） （兩極處卯酉曲率半徑大于a） 3.子午、卯酉兩曲率半徑的關系 A Q P當B90時，即極點處。稱為極半徑。三、任意方向（大地方位角A）法截弧的曲率半徑RA1.大地方位角定義PQ方向的大地方位角APQ為：過P點法線和Q點的平面，與P點子午面之間的夾角（由正北順時針計）。2.大地方位角為A的法截弧曲率半徑歐拉公式： 故： 由上式知： RA0M； RA90N A 2A 3A 0 2-A AAA A PA：090180時，RA：MNM曲率半徑具有對稱性，即對稱位置的法截弧在P點有相同的曲率半徑。四、平均曲率半徑R1.平均曲率半徑定義設過P點可以做2/A個法截線

11、，各法截線的大地方位角為：0，A，2A，2A；過P點的各法截線曲率半徑平均值為：則平均曲率半徑 2.平均曲率半徑計算公式 （顧及曲率半徑的對稱性）將上式改化成的形式，分子、分母除以，有：分母提取公因式 設，積分上下限也變，則所以，平均曲率半徑 練習及作業：1.閱讀7.3 瀏覽7.3.3主曲率半徑的計算；7.3.6及表7-4、7-52.思考子午曲率半徑和卯酉曲率半徑，當B由090時的變化；子午曲率半徑和卯酉曲率半徑的大小關系；什么是大地方位角？4 弧長的計算 子午線 P2 dS B2 dB P1 B1一、子午線長度由圖知： dSMdB即： dSa(1e2)(1e2sin2B)-3/2dB故： 求

12、積分過程：1）將積分項用二項式定理（形如下式）展開： (1x)n1nx(1/2!)n(n1)x2(1/3!)n(n1)(n2)x32）應用三角函數積分遞推公式逐項積分（先將正弦指數函數化為余弦的倍角函數，形如下式）：sin2B1/2(cos2B)/23）整理合并同類項，得子午線上弧長P16，7-97式。該式B10（即從赤道起算的子午弧長公式）。（注：當弧長S40km，可把子午圈視為圓弧，圓的半徑為其中緯度Bm(B1B2)/2處的子午曲率半徑Mm，則子午弧長公式為：SMm(B2B1) /。該式精度當S40km時，可達1mm。） r S l B二、平行圈長度由圖知： Slr rNcosB （麥尼爾

13、第二定律） 式中：N卯酉曲率半徑 B平行圈所處的大地緯度 l弧長S所對應的經度差由上式知，相同經差l的平行圈長度S，因所處緯度B不同而不同。練習及作業：閱讀 瀏覽7.4.4 觀察表7-6數值5 相對法截弧與大地線一、相對法截弧圖中：N1，N2A，B點的曲面法線 b B a A N1 A1 B1 B2 N2 o Ka KbKa，KbA，B點曲面法線與旋轉軸交點OKaA1KaA1O A1KayA N1sinB1a(1e2)sinB1(1e2sin2B1)-1/2 ae2sinB1(1e2sin2B1)-1/2OKbae2sinB2(1e2sin2B2)-1/2由上可知，橢球面上點的法線與旋轉軸的交

14、點：1）交點位置僅與點的緯度B有關；2）若兩點B2B1，則有OKbOKa；3）B相等（平行圈上）的所有點，其法線交短軸于一點；4）L相同，B不等的所有點的法線，與旋轉軸相交不在一點，但在一個平面內；5）B0（赤道上）所有點的法線交于橢球O點；6）L不同，B不同的兩點，其法線將在空間交錯，而互不相交。設在橢球上（忽略垂線偏差的影響）A點和B點分別安置經緯儀，儀器縱軸分別與Aka，BKb重合，則：由A照準BAaBKa法截面AaB截線；由B照準ABbAKb法截面BbA截線。由上述6）可知，兩法截線N1，N2空間交錯，故兩法截面AaBKa與BbAKb不重合。所以，兩法截線AaB與BbA不重合，稱： C

15、A BAaB與BbA為A、B兩點間的相對法截弧。AaB為A的正法截弧，B的反法截弧；BbA為B的正法截弧，A的反法截弧； CA B相對法截弧通常不重合，造成在橢球面上A，B，C三個點測得的角度（各點的正法截弧之夾角），不能構成閉合三角形。故，有必要在兩點間選一條單一的方向線大地線，得出由大地線組成的單一閉合三角形。二、大地線定義及其性質1.幾個概念（微分幾何概念）1）密切平面：“包含曲線上一點處的切線和曲線上無限趨近該點的另一點”的平面；2）法線：曲線上“正交于切線的一切直線”；3）主法線：曲線上“位于密切平面內的法線”；4）曲面法線：曲面上“與一點處切平面正交的線段”。 AD AD D D

16、2.大地線定義及其性質1）定義微分幾何定義：大地線上每點的密切平面包含該點的曲面法線；或：大地線上各點的主法線與該點的曲面法線重合；或：曲面上兩點間的最短線叫大地線。2）性質橢球面上的大地線是一條空間雙曲率曲線（子午圈和赤道是特例）；大地線是兩點間距離最短的曲線。3）旋轉曲面上大地線的克萊勞定理 rsinAC式中：r大地線上某點所在的平行圈半徑 A大地線在該點的大地方位角 C常數定理的幾何意義：就旋轉橢球面而言，大地線上各點的平行圈半徑r與大地方位角的正弦的乘積為一常數。由克萊勞方程可知橢球面上大地線所經歷的路線。圖中為大地線從赤道上D點處，以方位角AD出發所經歷的路線，一般不再返回到D，而是

17、到達D點（大地線沿子午圈：A0、赤道：A90才能返回原點）。練習及作業：1.閱讀7.5 7.5.1；7.5.22.思考作圖并理解相對法截弧不重合；從幾何意義上理解大地線；理解大地線在測量計算上的意義。6 地面觀測值歸算到參考橢球面上一、建立大地坐標系1.基本原理建立大地坐標系，就是確定代表地球形體的橢球的形狀與大小（橢球參數）、中心的位置（定位）以及橢球旋轉軸的方向（定向）。橢球參數的確定橢球參數是通過弧度測量求得的。在前空間大地測量時代，（近代）弧度測量利用天文、大地、重力測量資料，求得適合于局部范圍的橢球幾何參數。進入空間大地測量時代以來，測量精度不斷提高，在全球尺度上已達到幾個厘米的量級

18、。在這種精度的基礎上，以前無需考慮的地球動力學因素現在必須加以考慮。同時，空間大地測量極大發展，促進現代弧度測量整體利用地面、空間的幾何、物理大地測量數據，求得適合全球范圍的幾何和物理兩個方面的橢球參數。橢球定位局部定位：在一定范圍內橢球面與大地水準面有最佳符合，橢球中心與地球質心不必重合。地心定位：在全球范圍內橢球面與大地水準面有最佳符合，橢球中心與地球質心重合。橢球定向規定應滿足雙平行條件橢球短軸平行地球自轉軸大地起始子午面平行于天文起始子午面綜上：滿足雙平行條件，經局部定位的橢球，叫參考橢球。參考橢球上的坐標系叫參心坐標系。滿足雙平行條件，經地心定位的橢球，叫總地球橢球。橢球上的坐標系叫

19、地心坐標系。2.參考橢球定位與定向天文坐標系天文坐標系的概念參考面重力等位面（大地水準面）；P點的天文子午面過P點的鉛垂線，且平行地球旋轉軸的平面；本初子午面1884年：格林威治天文臺艾里中星儀所在的子午面；1968年：平均天文臺子午面；P點的天文經度P點的天文子午面與本初子午面之間的兩面角（）P點的天文緯度P點的鉛垂線與地球赤道的夾角（j）天文方位角aPQ過P點垂線和Q點的平面，與P點的天文子午面之間的夾角。天文、大地坐標的比較天 文 坐 標大 地 坐 標參考面大地水準面橢球面投影依據重力線的切線方向（鉛垂方向）法線方向確定點位及方向，j，H常，a PQ（實測得到）L，B，H大，APQ（計算

20、需要）測量中作用外業測量的基準內業計算的基準參考橢球定位與定向一點定位選一個定位標準點P，用天文的方法，精確測定該點的天文坐標0，j 0，該點至另一點Q的天文方位角a 0PQ，以及該點至大地水準面的高程H正。人為地假定參考橢球面上點P0的大地坐標、方位角、高程為：L00；B0j 0；A0a 0；H大H正 從而通過P點，使選定的參考橢球體與大地體的相互位置關系確定下來，P0點處大地水準面與參考橢球面重合。P0點稱為大地基準點，其定位數據稱為大地基準數據。除P0點外的其它點：1）有垂線偏差（地面點對大地水準面的垂線，與對參考橢球面的法線不重合，二者夾角u為垂線偏差）2）有大地水準面差距N。（注：垂

21、線偏差的大小、方向，與參考橢球的大小、形狀、定位有關，故也稱為相對垂線偏差）多點定位多點定位是以多個點（如我國1980國家大地坐標系橢球定位，是在全國均勻地選了922個點），按2min（高程異常）解算。這樣，使局部（如我國境內）橢球面與大地水準面達到最佳密合，但對于坐標原點，大地水準面不再與橢球面相切，鉛垂線與法線不重合而存在垂線偏差u。大地原點和大地起算數據依據大地原點的天文觀測值，通過橢球定位計算出大地原點在大地坐標系中的數據LK，BK，HK及至某一相鄰點的大地方位角AK。這些數據用來推算控制網中其它點的坐標。LK，BK，AK叫做大地測量基準，也叫做大地測量起算數據，大地原點叫做大地基準點

22、，也叫做大地起算點。二、地面觀測值化算到橢球面上化算內容：地 面 觀 測 值橢 球 面 元 素天文經緯度，j大地經緯度L、B（天文測量學）天文方位角a大地方位角A通過標石中心的方向值大地線方向平均高程面上的長度S0橢球面上大地線長度S1.天文方位角a歸算為大地方位角A在地面上進行天文觀測時，經緯儀的縱軸與垂線重合，因垂線與法線之間存在垂線偏差，故地面上測定的天文方位角a與大地方位角A不同。（不加推導），給出天文方位角歸算為大地方位角的公式如下：Aa(L)sin j或： Aatan j式中：a點到另一點的天文方位角（天文觀測得到） ，j點的天文經緯度（天文觀測得到） L點的大地經度（推算得到）

23、垂線偏差的卯酉分量（查垂線偏差圖或物理大地測量得到） Z u Z1 N M a1 P u R1 R2上式稱拉普拉斯方程式，由它算得的方位角稱拉普拉斯方位角。國家一二等大地網中，規定每隔一定間隔測定天文經緯度和天文方位角（控制測量學上冊P15、P16）。其目的：1）利用天文方位角和天文經緯度計算拉普拉斯方位角，控制整個大地網的定向；2）根據天文經緯度和大地經緯度，計算這些點的垂線偏差（垂線偏差的子午分量jB；卯酉分量(L)cos j），其余點的垂線偏差由物理大地測量得到。2.方向值歸算到橢球面上（三差改正）垂線偏差改正數u圖為以測站P為中心的單位圓。圖中：P測站 M照準點 PZ法線方向 PZ1垂

24、線方向 u垂線偏差 、垂線偏差的子午分量和卯酉分量 a 1觀測方向的垂直角 N北方向由于u存在，觀測方向M時，引起方向值的改正數為uu(sinAcosA)tan a 1式中：、可從垂線偏差圖內插得到 APM邊的大地方位角R2R1u式中 R2以法線為準的方向值 R1以垂線為準的方向值通常，因、很小，a0，故u很小，只有在一二等網才規定計算此項。但在山區或垂線偏差變化較大地區，三四等網亦應計算此項。下面給出u的數值概念： 、 /APM /a PM /u /500 300.051000 300.1010315（sinA，cosA反號）3 000.74 N B P2 hA P2 P1 ka kb 照準

25、點高程引起的改正標高差改正h如圖：A已做過垂線偏差改正，即A點處經緯儀縱軸與橢球面法線一致；A、B兩點沿各自的法線在橢球面上的投影為P1、P2。按歸算要求，地面點應沿各自的法線投影到橢球面上，所以AB在橢球面上的方向應是P1P2的方向。實測由A照準B點時，法截面ABKa在橢球面上得到的法截弧是P1P2，P1P2與P1P2的夾角h是由B點的高程引起，故應進行改正數h的計算，并將實測的P1P2方向歸算到P1P2方向。h2/mh/2000.0210000.0840000.32式中：M2照準點的子午曲率半徑 H2照準點的大地高，H2= H常v A1測站點至照準點的大地方位角 B2照準點的大地緯度表中給

26、出h的數值概念。若：B230；A1245正法截弧方向歸算到大地線方向的改正數截面差改正g經過u，h改正后，已經將地面觀測之水平方向值，化算為橢球面上的相應法截線方向。因相對法截線一般不重合，所以應將橢球面上法截線方向加截面差改正g，化為大地線方向。 2 g1式中：N11點處的卯酉曲率半徑，以公里為單位 S1、2點間的距離，以公里為單位 B11點的緯度 A11至2點的大地方位角（注：相對法截弧之間的角差 ）g是一項很微小的改正，僅在國家一等網方向計算時顧及。 基線平均水準面 S 2 1 S0 平行橢球面的高程面 Su u1 u2 法 垂 法 垂線 線 線 線至此，歸算到參考橢球面上的方向值：Ll

27、cruhg式中：l測站平差值 c、r歸心改正數 u、h、g三差改正3.將地面測量的長度歸算到參考橢球面上基線尺量距的歸算1）垂線偏差對長度歸算的影響由于垂線偏差的存在，使得垂線和法線不一致，水準面不平行于橢球面；基線尺測得的長度值經傾斜改正后，可認為是基線平均水準面上的長度值S，首先應將其改成平行于橢球面的該高程面的長度S0。假設垂線偏差沿基線是線性變化的，則垂線偏差u對長度歸算影響為：式中：u1，u21，2點處，垂線偏差在基線方向上的分量 H1，H21、2點的大地高 S01 2 Hm S R R 此項改正較小，且與垂線偏差分量u1，u2及兩端點大地高差H2H1有關，是否需要改正，需結合測區情況及精度要求具體分析。2）高程對長度歸算的影響經過垂線偏差改正后，得到平行于橢球面的基線高程面上的基線長度S0，其在橢球面上的