1、區課雙曲線及其標準方程課堂實錄T:第一次來到劍橋三中和咱們八班的同學合作，我很高興。希望能和同學們度過一個開心而難忘的四十分鐘。咱們劍橋三中高二有多少個班級啊？S:十九個。T:在這么多班級中能和咱們八班的同學合作這叫什么呀？S:緣分啊。T:對！這就是緣分啊！希望我們能共同珍惜這個緣分。將八班的昂揚向上精神展現給在座的每一位老師好不好？S:好。T:同學們的回答非常令人振奮。今天老師給大家帶來一個更令人振奮的新聞。請看視頻。(播放中南大學劉嘉憶攻克“西塔潘猜想”，與他的導師對他的評價，對教育的期待)T:通過這段視頻我們不僅為學霸哥所取得的成就而感到高興與自豪。同時也感悟到老教授對我們的諄諄教導。我

2、們的博導對我們說了些什么？S:有獨立思考能力，敢想，有創新。T:對！要創新就要敢于質疑，敢于提出問題。因此，我們這節課的主旋律就是“提問題”。大家以前看沒看過神探狄仁杰呀！狄仁杰每次斷案之前都要提出幾個問題，然后會說出那句經典話。S:元芳你怎么看？T:對！這就是狄仁杰斷案的一種手段。提出問題，集思廣益。因此，今天只要你有不懂的地方，你就勇敢地提出來。好不好？S:好！T: 老師看誰提的問題多！剛才，視頻接觸了一個猜想。是什么？S:西塔潘猜想。T:其實我們數學界里還有很多猜想。你們還知道哪些？S:哥德巴赫猜想。費馬大定理。T:很好！我們的數學界中有很多猜想。同學們想不想知道這些猜想是怎么得到的呢？

3、S:想。T:今天，老師教給大家一個方法。類比猜想。我形容它是站在巨人肩膀上的一種猜想。首先誰來回憶一下橢圓的定義？S: 平面內與兩個定點的和等于常數(大于 )的點的軌跡叫做橢圓。T:很好！今天，咱們就在橢圓的定義的基礎上大膽地進行猜想。我先來拋一個磚頭，比如把“平面內”改成“空間內”。會產生什么軌跡呢？S:一個像橄欖球一樣的橢球。T:非常好！看來只要我們改變定義中的某幾個字或某些條件就會產生新的軌跡。該引玉了，誰來試一試？提出一個猜想。S: 與兩個定點的“和”等于常數改為“差”，則動點的軌跡。T:不錯！將“和”改成“差”。改得好，你叫什么名字？S:郭新。T: 同學們勇敢一點兒，在數學的世界里是

4、“自由、平等、公正”的。你不要擔心你的猜想會不會產生軌跡。比如“西塔潘猜想”提出了近200多年才得以解決。雖然你今天的猜想，可能暫時得不到解決，但我相信，隨著你的不斷學習和努力總有一天會得到解決的。S:將“和”改成“積或商”。T:非常好！不過大家思維始終局限于四則運算。有沒有點兒新鮮的？S:將平面內兩個定點改成動點。T:哦！那動點到兩個動點間的距離和是一個常數，那范圍可大了去了。S:那改成三個定點，四個定點。T:同學們改得都非常好。只是由于時間關系啊！今天我們只研究第一種猜想，由于是郭新提出來的，老師把它起名為“郭新猜想”。看電腦屏幕。郭新猜想的內容：平面內與兩個定點的距離差是一個常數的軌跡是

5、什么？T:我們先來做一個小實驗，來驗證一下“郭新猜想”，是否存在軌跡，軌跡又是什么？T:我們取一條生活中常見的拉鏈。如圖把它固定在板上的兩點F1、F2；拉動拉鏈，看看拉鏈的軌跡是什么？電腦動畫演示。T:觀察這個實驗有什么不明白的地方嗎？我認為此處應有問題啊。S:為什么要留出一段拉鏈呢？T:這位同學觀察得非常仔細，提得非常好。誰來幫他解決一下這個問題。S:因為拉鏈兩頭一樣長，留出一段就能保證兩個拉鏈差一段。T:非常好！這正好符合郭新定理的條件。同學們觀察。拉鏈兒的頭產生了什么樣的曲線？S:雙曲線。T:看來我們的“郭新猜想”是存在曲線，而且是雙曲線。真偉大啊！老師再用幾何畫板給大家動態生成一遍。大

6、家仔細觀察屏幕上的數據。哪些量在變？哪些量沒變？S:在曲線的生成過程中，到兩個定點的距離差是一個定值。但為什么該定值一會兒正，一會兒負呢？T:問的很棒，誰來幫他解決這個問題。S:因為動點在右邊的曲線上時，大于的距離。所以差是一個正數。而到左邊時，小于的距離，距離是一個負數。T:解釋的非常好。這兩種情況能不能合二為一呢？S:可以。將兩個式子平方。T:行，不夠簡潔。S:加絕對值。T:那同學們你們看好哪個？S:加絕對值。T:我也是，看來只有加上絕對值這個法制條件才能形成兩條完美的曲線。那誰根據以上的分析來給雙曲線下個定義呢。S:平面內到兩個定點的距離之差的絕對值是一個常數，點的軌跡就是雙曲線。T:不

7、愧為文科生，歸納的非常不錯。同學們看該定義完美嗎？你認為還有哪些地方需要修改。S:我認為，差值2a應該小于2c， T:為什么呢？S:因為三角形的兩邊之差要小于第三邊。T:非常好。那同學們誰還有疑問呢？S:那2a等于2c。那是什么樣子？T:同學們誰來幫忙，解決一下他的問題。S:我想應是兩條射線。T:老師用電腦演示一下當2a等于2c時的軌跡！看來當2a接近2c的時候雙曲線的開口是逐漸變小的，這也是下節課要解決的關于離心率的內容。最后，形成兩條射線！S: 那2a大于2c。，還會有曲線呢？T:好！誰來說說自己的想法？S:沒有，兩邊之差不可能大于第三邊。T:很好！現在，我們把雙曲線的定義以及注意事項，都

8、解決了。那同學們在現實生活中見過雙曲線嗎？S:見過。可樂瓶子的剖面圖T:老師搜集了一些關于雙曲線的圖片咱們欣賞一下。圖2，工業上的冷卻塔，是物理學中的流體力學與雙曲線的完美結合。圖3，北京采用雙曲線交通結構來緩解道路擁擠。圖4，天體中某些彗星的運行軌跡也是雙曲線。圖5，建筑學中雙曲線的應用更廣泛了。比如，法國巴黎的埃菲爾鐵塔。還有各國的標志性建筑，都是雙曲線形結構。T:看來雙曲線被廣泛地應用在我們現實生活中。那你想不想更深入的了解雙曲線呢！說說你還想知道有關雙曲線的哪方面知識呢？S:方程和性質。T:同學們想法非常多。今天，老師先和大家一起探討一下雙曲線的方程。那怎樣去求雙曲線的方程呢！S:建系

9、，設點，列式，化簡，檢驗。T:非常棒！同學們看看這么優美的曲線，這么好對稱的結構，你想怎么建系啊？S:以F1,F2所在的直線為x軸，線段F1F2的中點為原點建立直角坐標系，T:非常好，建完坐標系，自然，點的坐標就出來了。那誰來列限制條件呢！S: ，但我不會去掉絕對值。T:看來，絕對值是一個攔路虎。那如何去掉絕對值呢？S:平方。T:理想很好，道路崎嶇。還有捷徑了？S:利用定義去掉絕對值。改為正負即可。T:說的很精彩！解決了攔路虎，剩下的就自己去做吧！類似于橢圓方程的化簡，去化簡一下這個式子。T:教師巡視學生化簡情況。T:哪位同學上來把自己化簡結果寫在黑板上。好數學課代表來吧！S: 板書：T:我們

10、橢圓的標準方程中等號的右邊等于幾啊？S:等于1。T:我們也把這個式子等號右邊變成1。出現了一個熟悉的式子， S: 令，得出：得到了焦點在x軸上， 標準方程為，T:很好！類似橢圓的標準方程誰能給出焦點在y軸上的雙曲線的標準方程呢！S: 類比橢圓：只需交換方程中的，得到焦點在y軸上標準方程為（其中，）.T:同學們看電腦屏幕。填一下學案中的表格。T:首先我們來解決第一個問題，通過方程如何來判斷與。S:不好確定T:我們要區別兩件事物。首先要重點觀察。他們的相同點和不同點是什么。舉個例子，你們在座的五十多個人，如果有一個人長了三只眼，我會第一眼就記住他。我們看這兩個方程，看看有什么異同 ？S:結構相同，

11、但x與y的位置不同。T:誰來總結？S:這兩個方程都是，焦點在x軸上，就將x填前面，否則填后面。T:很棒，誰來總結一下，通過方程如何來判斷焦點的位置呢？S: 看與的系數誰正，焦點就在那個軸上！T:總結的非常好。橢圓看大小，雙曲線看正負。我們對郭新猜想取得了階段性的勝利，現在我們來小試一下牛刀。S:學生完成例題T:（總結）咱們到目前為止學了兩種曲線，橢圓和雙曲線。有人稱他們為孿生曲線。因為他們有許多相同點。但也有很多不同點，今天老師就和同學們一起總結一下雙曲線和橢圓的異同點。我們一起來完成這個表格。S:學生完成T:橢圓和雙曲線，是一對孿生的姐妹。他們除了外形不像以外。他們的性格也迥然相反。特別在，追求男朋友的觀點上，更是不同，姐姐橢圓焦點放在高大帥上。而妹妹雙曲線則把焦點放在交往具有正能量的男朋友上。也就是說“橢圓焦點看大小雙曲線焦點看正負”。T:今天，我們這節課的最重要的思想有三個。兩個三星級的思想：一是，數學發現的方法，“大膽猜想，小心求證”。這個思想非常重要，你要想在學術上標新立異，你要想有創新，你就得大膽的去猜想。但在求證的道路上，要謹慎。而且漫長，