1、離散型隨機變量的分布列、期望與方差考項預覽1. 理解取有限個體的離散型隨機變量及其分布列的概念，會求簡單的離散型隨機變量的分布列.2. 理解取有限個值的離散型隨機變量的均值、方差的概念，能計算簡單的離散型隨機變量的均值、方差，并能解決一些實際問題.3. 能識別兩點分布、二項分布和超幾何分布，并能應用其相關理解解決簡單問題.考點盤清1. 隨機變量的概念如果隨機試驗的結果可以用一個變量表示，那么這樣的變量叫做 ,隨機變量常用字母X, Y, 7/等表示.(1) 叫做離散型隨機變量(2) 如果隨機變量可以取某一區間內的一切值，這樣的隨機變量叫做 .(3) 若£是隨機變量，q = ag + b

2、,其中a、b是常數，則“也是隨機變量.2. 離散型隨機變量的概率分布列(1) 概率分布列(分布列)：設離散型隨機變量纟可能取(2) 二項分布：如果一次試驗中某事件發生的概率是p,那么在"次獨立重復試驗中這個事件恰好發生念次的概率 是戸點“匕。"""",其中一0丄2,., n, q = l-p,我們稱這樣的隨機變量f服從 ，記作f? p),其中"，P為參數，并稱P為成功概率.(3) 兩點分布：若隨機變量X的分布列是下表像這樣的分布列稱為兩點分布列.如果隨機變量的分布列為 ，就稱歹服從兩點分布，且稱P = P (x =1)為成功概率.0C

3、D(4) 0何0：在含有M件次品的N件產品中，任取"件，其中恰有歹件次品 則事件垃=k發生的概率為=k) = 52嚴,其中 m =,且 <N, M <N, n, M, v e N*.稱下面的分布列為 .如果隨機變量纟的分布列為超幾何分布列,則稱隨機變量歹服從超幾何分布.D1? ? ?mzrO xAn-D廠 1 zr?-l? ? ?C；3. 離散型隨機變量的分布列的性質4. 離散型隨機變量的均值若離散型隨機變量纟的分布列為下表：則稱Ef = XPi +X2P2+. + XiPi + . + X nPn為離散型隨機變量的均值反映了離散型隨機變量取值的平均水平.gX1X2?Xi

4、?Xnpp1P2?pi?pn5. 離散型隨機變量的方差稱 Df = (X -.p + (*2 - p +. + (Xn -EA) 2 p +.為隨機變量 f 的方差，其算術平方根為隨機變量黑勺 記作毋.離散型隨機變量的方差反映了離散型隨機變量取值相對于均值的平均波動大小(即F取值的穩定性).6. 性質 E ( c) = c, E ( af + b) =? (a、b、c 為常數)；(2)設a、b為常數，則D (ag + b ) =? _ (a、b為常數)；耐=? ;(4) 若f服從二項分布，即§ ?B （n, p）側磚二？ D”？ _.（5）若纟服從兩點分布，則磚二？ _,磚=? _.

5、課前演練：1?某運動員投籃命中率為0.8,則該運動員1次投籃時命中次數X的期望為（）A. 0.2B. 0.8C. 0.16D. 0.42. 已知隨機變量X? B （n, p）,若EX = 8, DX = 1.6,貝U n與p的值分別為（）4 100 和 0.08 B. 20 和 0.4 C. 10 和 0.2D. 10 和 0.83?某口袋里裝有大小相同的卡片4張，這4張卡片上分別標有數字1,2,3,4,從中 任抽 2張卡片，則抽到卡片上的數字為偶數數字的張數為隨機變量X,則X的期 望為 ，方差為_ 4.已知隨機變量X和Y滿足Y=12X+7,且EY = 34,若X的分布列如下表：X1234P1

6、 Tm72112貝 U m= _ , n= .5?交5元錢，可以參加一次摸獎.一袋中有同樣大小的球10個，其中有8個標 有1 元錢，2個標有5元錢，摸獎者只能從中任取2個球，他所得獎勵是所抽2球的錢數 之和（設為8,求抽獎人獲利的數學期望.咼頻考點：一兩點分布及應用【例1】（2011?湖南卷）某商店試銷某種商品20無 獲得如下數據：日銷售量（件）0123r rr）頻數1595試銷結束后（假設該商品的日銷售量的分布規律不變），設某天開始營業時有 該商品3件，當天營業結束后檢查存貨，若發現存貨少于2件，則當天進貨補充 至3件，否則不進貨？將頻率視為概率.（1）求當天商店不進貨的概率；（2）記X為第

7、二天開始營業時該商品的件數，求 X的分布列和數學期望.素材1某運動員投籃的命中率為p = 0.6.（1）求一次投籃時命中次數§的均值，方差；求重復5次投籃時，命中次數n的均值與方差.二超幾何分布及應用【例2】(2011?遼寧卷)某農場計劃種植某種新作物，為此對這種作物的兩個品種(分別稱為品種甲和品種乙)進行田間試驗，選取兩大塊地，每大塊地分成n小塊地，在總共2n小塊地中，隨機選n小塊地種植品種甲，另外n小塊地種植品種 乙 假設n = 4,在第一大塊地中，種植品種甲的小塊地的數目記為 X,求X的分 布列和數 學期望素材2一批零件有9個合格品，3個不合格品，安裝機器時，從中任取一個，若取

8、出不合格品不再放回去，設在取得合格品以前已取出的不合格品數為隨機變量&求§的分布列；(2)若工人取得合格品以前取出1個不合格品獲得勞務費50元，求工人所得 勞 務費n的期望.三二項分布及應用【例3】(2011?全國大綱卷)根據以往統計資料，某地車主購買甲種保險的概率為0.5，購買乙種保險但不購買甲種保險的概率為0.3，設各車主購買保險相互獨立.(1) 求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種的概率；(2) X表示該地的100位車主中，甲、乙兩種保險都不購買的車主數.求X的期望素材3某社會機構為更好地宣傳"低碳"生活觀念，對某市A、B兩個大型社區進行 了

9、 一次生活習慣是否符合低碳觀念的調查，若生活習慣符合低碳觀念的稱為"低 碳族"，否則稱為"非低碳族"，這兩族的人數占各自小區總人數的比例 P統計如A區低碳族非低碳族比例P丄2丄B區低碳族非低碳族比例P_£丄(1) 如果甲、乙兩人來自A區，丙、丁兩人來自B區，求這4人中恰有2人是 低碳族的概率；(2) A區經過大力宣傳后，每周非低碳族中有 20%的人加入到低碳族的行列， 如果2周后隨機從A區中任選25人，記§表示這25人中低碳族人數，求氏.四隨機變量的分布列與期望的實際應用【例4紙箱中裝著標有數字123,4的小球各2個，從紙箱中任取3個

10、小球，按3 個小球上最大數字的8倍計分，每個小球被取出的可能性都相等，用§表示取 出的 3個小球上的最大數字，求：(1)取出的3個小球上的數字互不相同的概率；隨機變量§的概率分布和數學期望； 計分介于17分到35分之間的概率.素材4隨機抽取某嬰幼兒奶粉生產企業的某種產品200件，經國家質檢部門檢測，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生產1件一、二、 三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元，而1件次品虧損2萬元.設1件 產品的利潤為E(單位：萬元).求§的分布列；求1件產品的平均利潤(即§的數學期望)；(3) 為了提高乳

11、制品的質量，經技術革新后，雖仍有四個等級的產品，但次 品率降為1%,等品率提高為70%.如果此時要求1件產品的平均利潤不小于4.73 萬元，則三等品率最多是多少？備選例題袋中有20個大小相同的球，其中記上 0號的有10個，記上n號的有n個(n = 1,2,3,4).現從袋中任取一球，§表示所取球的標號.(1) 求§的分布列、期望和方差；(2) 若 r| = aA+b, Er| = l, Dr| = II,試求 a, b 的值.方法提煉：1. 求離散型隨機變量的概率分布列的步驟：(1)求出隨機變量E的所有可能取值；求出各取值的概率； 列成表格 .(4) 用分布列的性質 P1+P2+-+P i+-Pn=I 進行驗證.2. 期望和方差是離散型隨機變量的兩個最重要的特征數