1、等腰直角三角形數學模型思路：利用特殊邊特殊角證題（ AC=BC或90, 45%45，）.如圖1;常見輔助線為作高，利用三線合一的性質解決問題.如圖2;補全為正方形.如圖3, 4.圖3圖4【例1】AC已知：如圖所示， RtABC中，AB=AC, /BAC =90 ,。為BC的中點,寫出點。到 ABC的三個頂點A、B、C的距離的關系（不要 求證明）如果點M、N分別在線段AC、AB上移動，且在移動中保持 AN=CM.試判斷 OMN的形狀，并證明你的結論 .如果點 M、N分別在線段 CA、AB的延長線上移動，且在移動中 AN=CM,試判斷中結論是否依然成立，如果是請給出證明.【解析】OA=OB = O

2、C連接OA,. OA=OC , BAO = . C =45 AN = CM.ANOACMO.ON=OMZNOA ZMOC. NOA . BON - . MOC . BON =90. NOM =90. .OMN是等腰直角三角形ONM依然為等腰直角三角形，證明：. / BAC=90 , AB=AC, O 為 BC 中點 ./ BAO=Z OAC = ZABC = Z ACB=45 ,AO=BO = OC,.在 AANO 和 ACMO 中，AN =CMBAO =/C IAO =COANOA CMO (SAS).ON=OM, /AON = /COM, 又 / COM -Z AOM=90 , . .OM

3、N為等腰直角三角形.【例2】 兩個全等的含30，60,角的三角板 ADE和三角板ABC,如 圖所示放置，E,A,C三點在一條直線上，連接 BD,取BD的 中點M ,連接ME , MC .試判斷4EMC的形狀，并說明理由.【解析】4EMC是等腰直角三角形【例3】【解析】證明：連接AM .由題意，得DE =AC,. DAE . BAC =90； DAB =90.，ADAB為等腰直角三角形.DM =MB ,MA =MB =DM ,ZMDA =/MAB =45：l .ZMDE =/MAC =105 ,AEDM 9 ACAM .EM =MC,/DME =/AMC .又 /EMC =/EMA +/AMC

4、=/EMA +/DME =90.CM _LEM ,AEMC是等腰直角三角形.已知：如圖， ABC 中，AB=AC, /BAC =90, D 是 AC 的中 點，AF _LBD于E ,交BC于F ,連接DF .求證：ZADB =/CDF .證法一：如圖，過點 A作AN _LBC于N ,交BD于M .AB =AC , /BAC =90, /3=/DAM =45.ZC =45 ,Z3 =/C .AF _LBD ,/1 +/BAE =90 /BAC =90 ,/2 +ZBAE =90 ./1 =/2 .在 ABM和ACAF中，1-/2AB =AC1/3 =/C ABM ACAF .AM =CF .在

5、ADM和CDF中，AD =CDZDAM = CAM =CF ADM CDF ./ADB =/CDF .證法二：如圖，作 CM _L AC交AF的延長線于 M . AF _LBD ,Z3 +/2 =90 , /BAC =90 ,Z1 +/2=90 ,Z1 =/3.在 ACM和 BAD中，1=/3AC =ABI /ACMBAD =90 ACM BAD . /M =/ADB , AD =CM AD =DC , .1. CM =CD .在ACMF和CDF中，CF =CF4/MCF =NDCF =45CM =CDACMF ACDF ,. /M =NCDF ZADB =/CDF .【例4】 如圖，等腰直角

6、 4ABC中，AC =BC，/ACB =90 , P為 ABC內部一點，滿足 PB =PC , AP =AC , 求證：/BCP =15A【解析】補全正方形ACBD ,連接DP,易證ADP是等邊三角形， ZDAP =60, ZBAD =45，/BAP =15 口，/PAC=30:，/ACP=75, ZBCP =15 .【探究對象】等腰直角三角形添補成正方形的幾種常見題型在解有關等腰直角三角形中的一些問題，若遇到不易解決或解法比較復雜時，可將等腰直角三角形引 輔助線轉化成正方形，再利用正方形的一些性質來解，常?？梢云鸬交y為易的效果，從而順利地求解。 例4為求角度的應用，其他應用探究如下：【探究

7、一】證角等【備選1】如圖，RtAABC中，/BAC=90, AB=AC, M為AC中點，連結BM ,作ADXBM交BC于點D, 連結 DM ,求證:ZAMB = Z CMD .AA【解析】 作等腰RtABC關于BC對稱的等腰 RtABFC,延長AD交CF于點N, .AN IBM,由正方形的性質，可得 AN=BM ,易證 RtAABM RtA CAN , . / AMB = /CND , CN=AM , M 為 AC 中點，CM=CN,1=/2,可證得CMDCND, ./ CND = Z CMD , ./ AMB = Z CMD .【探究二】判定三角形形狀【備選2】如圖，RtAABC中, 線于點

8、F ,試判定/ BAC= 90 , DEF的形狀.AB=AC, AD=CE, ANBD 于點M,延長BD交NE的延長【解析】 作等腰RtABC關于BC對稱的等腰 RtABHC, 可知四邊形 ABHC為正方形，延長 AN交HC于點K, AKXBD,可知 AK=BD,易證：RtABD RtA CAK, ./ ADB=Z CKN , CK=AD, AD=EC, .1. CK=CE,易證CKNCEN, ./ CKN=/CEN, 易證/EDF=/DEF,. DEF為等腰三角形.【探究三】利用等積變形求面積【備選 3】如圖，RtAABC 中，ZA=90 , AB=AC, D 為 BC 上一點，DE / A

9、C, DF / AB,且 BE=4, CF=3,求S 矩形DFAE【解析】 作等腰RtABC關于BC的對稱的等腰 RtAGCB,可知四邊形 ABGC為正方形，分別延長 FD、ED交BG、CG于點N、M,可知 DN=EB=4, DM = FC=3,由正方形對稱性質，可知 S矩形 dfae=S 矩形 dmgn=DM DN=3M4=12.【探究四】求線段長【備選4】如圖， ABC中，ADXBC于點D, / BAC=45 , BD=3 , CD=2,求AD的長.【分析】此題若用面積公式結合勾股定理再列方程組求解是可以的，但解法太繁瑣，本題盡管已知條件不是等腰直角三角形，但BAC=45 ,若分別以AB、

10、AC為對稱軸作 Rk ADB的對稱直角三角形和Rt ADC的對稱直角三角形，這樣就出現兩邊相等且夾角為90。的圖形，滿足等腰直角三角形的條件，然后再引輔助線使之轉化為正方形.【解析】 以AB為軸作RtAADB的對稱的RtAAEB,再以AC為軸作RtAADC的對稱的RtAAFC .可知 BE=BD=3, FC=CD=2,延長 EB、FC 交點 G,/ BAC=45,由對稱性，可得 ZEAF=90 ,且 AE=AD=AF,易證四邊形AFGE為正方形，且邊長等于 AD,設 AD=x,貝U BG=x3, CG=x-2,在RtBCG中，由勾股定理，得 (x2 2 +(x3；2=52,解得x=6,即AD=

11、6.【探究五】求最小值【備選5】如圖，RtABC中，/ ACB=90, AC=BC=4, M為AC的中點，P為斜邊 AB上的動點，求PM + PC 的最小值.BCD【解析】 將原圖形通過引輔助線化歸為正方形，即作RtACB關于AB對稱的RtADB,可知四邊形ACBD為正方形,連接CD,可知點C關于AB的對稱點D,連接MD交AB于點P,連接CP,則PM + PC 的值為最小，最小值為 :PM + PC=DM =吊42 +22 =2而.題型二：三垂直模型2【弓 I例】已知 ABBD, EDXBD, AB=CD , BC=DE,求證：ACXCE;若將 CDE沿CB方向平移得到等不同情形，AB =C1

12、D ,其余條件不變，試判斷 ACCiE這一結論是否成立？若成立，給予證明；若不成立，請說明理由 【解析】 ABBD, EDXBD. B =/D =90在 ABC與4CDE中AB =CDIZB =/DBC =DE ABC ACDE (SAS). 1 = . E, 2 . E =90/ACE =90 月即 ACXCE ABCAC1DE圖四種情形中，結論永遠成立，證明方法與完全類似，只要證明 . . ACBC1ED/C1ED +/DC1E =90ZDC1E +/ACB =90口ACXCiE【例5】 正方形ABCD中，點A、B的坐標分別為（0,10）, （8,4）,點C在第一象限.求正方形邊長及頂點C

13、的坐標.（計算應用：在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.）G【解析】 過點C作CG，x軸于G,過B作BE，y軸于 巳 并反向延長交 CG于F 點A、B的坐標分別為（0,10卜（8,4），BE=8, AE=6,AB=10.四邊形 ABCD是正方形，AB=BC ,/1 . 3 =90. 2 . 3 =9 0.1 =/2 /AEB /BFC =90 AEBA BFCAB=BC ,.CF=BE=8, BF=AE=6 .CG=12 EF=14 C（14, 12）,正方形的邊長為 10 一產一； 【點評】此題中三垂直模型：/例6如圖所示，在直角梯形 ABCD中，/ABC =90, AD /

14、BC ,AB 的中點，CE _LBD .求證：BE =AD ； 求證：AC是線段ED的垂直平分線; 4DBC是等腰三角形嗎？請說明理由.【解析】 /ABC =90。BD_LEC,ZECB +/DBC =90s, /ABD +/DBC =90：，/ECB =/ABD , /ABC =/DAB =90 , AB =BC , BAD CBE , AD =BE . E 是 AB 中點，EB = EA由得：AD=BE,AE=AD AD / BC , . /CAD =/ACB =45 ) NBAC =45%ZBAC =/DAC由等腰三角形的性質，得：EM =MD , AM _LDE即AC是線段ED的垂直平

15、分線. DBC是等腰三角形， CD = BD由得：CD=CE,由得：CE=BD，CD =BD ,.DBC是等腰三角形.【例7】 如圖1, ABC是等邊三角形,D、E分別是 AB、BC上的點，且 BD=CE,連接AE、CD相交于點P.請你補全圖形，并直接寫出/如圖 2, RtAABC 中，/B=90, M、APD的度數=BM = CN,連接 AN、CM相交于點P.請你猜想/APM =（2013平谷一模）【解析】圖略,45證明：作60圖2N分別是 AB、BC上的點，且AM = BC、,并寫出你的推理過程.AEXAB 且 AE =CN =BM .CNM可證EAMAMBCME =MC , ZAME =

16、/BCM .ZCMB +/MCB=90：， ZCMB +.ZAME =90s ZEMC =90 .EMC是等腰直角三角形，/MCE =45白又AEC ACAN (SAS).ECA =. NAC.EC / AN.APM =. ECM =45 .訓練1.已知：如圖，4ABC中，AC=BC, /ACB=90 口，D是AC上一點，AEBD的延長線于E,并且 1AE =- BD ,求證：BD 平分 /ABC .【解析】延長AE交BC的延長線于F . BEXAF , ZACB =90 ZFAC ZDBC 在 4AFC 和 BDC 中，千 FAC - - DBCAC =BCIl/ACF =. BCD .AF

17、C ABDC (ASA ) .AF =BD一1又 AE BD21 AE AF 二EF2，BE是AF的中垂線，BA = BFBD 平分 /ABC訓練2. 已知，在正方形 ABCD中，E在BD上，DG，CE于G , DG交AC于F.求證：OE = OF【解析】ABCD是正方形 .OD=OC . DOC =90 . DG CENDGC =90。 . NDOC =/DGCZOFD =/GFC.ODF = . ECO在 ADOF 和 ACOE 中，/DOF /COEOD vOC/ODF ZOCEADOFA COE (ASA)OE=OF訓練3. 已知：如圖，ABC中，AB =AC ,/BAC =90 ,

18、D是BC的中點，AF_LBE于G.求證：DH = DF【解析】 AB =AC , ZBAC =90 , D是BC的中點 .AD=BD=CD , ADXBCZADB =90 AF _ BE. AGH =90.DBE =. DAF.BDH 和 ADF 中，pDBH =. DAFBD =ADI ,JVADB =. ADF . BDHA ADF (ASA ) .DH=DF訓練4. 如圖，已知矩形 ABCD中，E是AD上的一點，F是AB上的一點，EF LEC,且EF=EC, DE=4cm, 矩形ABCD的周長為32cm,求AE的長.【解析】 在 RtAEF 和 RtDEC 中，/ EFXCE, . /

19、FEC=90 ,BC ./ AEF+/DEC=90 ,而 / ECD+ZDEC=90 , ./ AEF = Z ECD.又 / FAE=/EDC=90 . EF=ECRtAAEFRtADCE .，AE = CD.AD =AE+4.矩形ABCD的周長為32 cm,2 (AE+AE+4) =32.解得 AE=6 cm.復習鞏固題型一等腰直角三角形模型鞏固練習【練習1】如圖， ACB、 ECD均為等腰直角三角形，則圖中與 全等的三角形為.【解析】AAECB BDC【練習2 如圖，已知 RtABC中/ACB =90 , AC = BC , D是點，CE AD ,垂足為 E . BF / AC ,交CE

20、的延長線于點 F .求證： AC=2BF .BC的中【解析】 ZACB =90 , BF / AC ,ZACD =NCBF =90 /ADC +ZCAD =90 . CE _L AD ,ZFCB +ZADC =90 /CAD =NFCB .又 AC =CB , ADCACFB . DC =FB . D是BC的中點，BC =2BF , 即 AC =2BF .題型三垂直模型鞏固練習【練習3】 已知：如圖，四邊形ABCD是矩形（ADAB）,點E在BC上，且 AE =AD , DFXAE,垂足為F.請探求DF與AB有何數量關系？寫出你所得到的結論并給予證明.【解析】經探求，結論是：DF = AB.證明

21、如下：四邊形ABCD是矩形，. Z B= 90S , AD / BC, . / DAF = / AEB.- DF AE,ZAFD = 90 , AE = AD ,. AABEADFA. AB = DF.【練習4】如圖，4ABC中，AC=BC, /BCA =90 , D是AB上任意一點,AE _LCD 交 CD 延長線于 E , BF _LCD 于 F .求證：EF = BF -AE .【解析】根據條件，ZACE、ZCBF都與ZBCF互余， ZACE =/CBF .在4ACE和4CBF中，AC =CB , ZAEC =ZCFB =90 , ACEACBF .貝U CE =BF , AE =CF

22、,EF =CE -CF =BF -AE .【練習5】四邊形ABCD是正方形.如圖1,點G是BC邊上任意一點（不與B、C兩點重合），連接AG,作BFXAG于點F, DE XAG 于點 E,求證： ABF DAE;在中，線段EF與AF、BF的等量關系是 （直接寫出結論即可，不需要證明）； 如圖2,點G是CD邊上任意一點（不與C、D兩點重合），連接AG,作BFXAG于點F, DEXAG 于點 E.那么圖中全等三角形是 ,線段 EF與AF、BF的等量關系是 （直接寫出結論即可，不需要證明）.【解析】 在正方形 ABCD中，AB=AD , NBAD =90 NBAF +ZDAE =907 BAF . ABF =90