1、實用標準文案精彩文檔高等數學第一章函數與極限試題一.選擇題1.設F(x)是連續函數f(x)的一個原函數，"M u N"表示" M的充分必要條件是N"，則必有(A)(B)(C)(D)F(x)是偶函數F(x)是奇函數u f(x)是奇函數.u f(x)是偶函數.F(x)是周期函數uF(x)是單調函數uf(x)是周期函數.f(x)是單調函數一 ，12.設函數f (X)，則(A) (B) (C) (D)eXJ1 -1x=0,x=1都是f(x)的第一類間斷點.x=0,x=1都是f(x)的第二類間斷點x=0是f(x)的第一類間斷點,x=0是f(x)的第二類間斷點,X=

2、1是f(x)的第二類間斷點.X=1是f(x)的第一類間斷點.3.設A)4.C)5.f (x)= x,XW0,1，則f(x)=(1 -xB)1C)XD)x卜列各式正確的是A=1B)lXm(1+X 1)=e XX1、 c lim (1 ) =-e D x - xlim (1+ )X-X=e已知lim (xf ： xA.1 ；-aB. 00 ；C. In 3；D. 21n 3。6.極限:呵(W)x =(X > x 1B.比；2C. e ；2D. e7.極限:8.極限:B.00 ；C工；29.極限:xiimc(vx2+x-x)=(A.0D. 1210.tanx - sin xsin3 2xA.0

3、B.D.16 .填空題12.13.14.15.16.17.極限 lim xsinX一J 二二limx_02xx2 1arctanx若y = f(x)在點連續，則吧-他剛二limxXosin 5xlim (1 - 2) n n若函數y =x絕對值函數其定義域是x2 -1,、，一,則它的間斷點是-3x 2x, x 0;f (x) = x = 0, x =0;-x, x : 0.，值域是J-1, x 0;18.其定義域是，值域是三個點的集合19.無窮小量是符號函數 f (x) =sgnx = 0, x =0;1,x <0.20.函數y=f(x)在點x0連續，要求函數y f (x)滿足的三個條件

4、是計算題1 x1、21 .求 lim (xr -) x0 1。ex22 .設 f(e x4)=3x-2,求 f(x)( 其中 x>0);x -523 .求 Um (3-x)24.求 lim ( x )二二x 1)x;x -125.求2 sinx"xml tan2x(x2 3x)26.已知lim (±a)x = 9,求a的值; x x -a27.1計算極限lim(1 2n3n)nn-28.29. x 2f x = lg 5-2x x -1它的定義域。(4)30.31.32.33.34.35.36.37.f(x) = sin2x+ cos2xg(x)斷下列函數是否為同一函

5、數:=1f (x)=x2 - 1g(x) = x 1f (x) = (<x +1 2f (x )= V(x +1 22=ax已知函數f(x) =x2-1 , 求 f(x+1)、f(f(x)、f(f(3)+2)g(x) =x 1g(x) =at2lim 3。5n 16n - 4n - 7limn)二12 nn2nlimSnin)lim "n L： 2n 3n判斷下列函數在指定點的是否存在極限limx 3x +1,x >2 y ='X x < 2x一； 2sin x, x : 01xt 0-x,x >0.31x 3x 一豈2 cx 938.limx039.

6、求當x一OO時，下列函數的極限c 32,2x - x 1y 二-3x -x 140.求當X一oo時，下列函數的極限_ 22x2 -x 1y 二-41.x - x 141.sin 3x42.limx_0x1 -cosx2x43.lim 1 +46.lim 1-1 xXf、. x47.48.1lim 1 kx xx 0研究函數在指定點的連續性I-sin x-f(x) 丁1,x =00= 049.指出下列函數在指定點是否間斷,1如果間斷，指出是哪類間斷點。 f(x) = ,x x -150.指出下列函數在指定點是否間斷,如果間斷，指出是哪類間斷點。1, x = 0f (x) =，x , x= 00,

7、x = 051.指出下列函數在指定點是否間斷,如果間斷，指出是哪類間斷點。k 2 一x ,x #0,x= 01,x =052.證明f(x) = x2是連續函數53.ln(1 x)54.limx1nxx -155.試證方程2x3 3x2+ 2x 3= 0在區間1,2至少有一根tan x -sin x56 . lim37x )0sin3 2x57 .試證正弦函數y = sin x在(-00 , + °0)內連續。58 .函數f (x) = x = * x，x '0，在點x = 0處是否連續?x, x <059.函數f(x)二1.xsin 1 , x#0 口 . 一+xk0是

8、否在點x=0連續?0,x=060.求極限答案：一.選擇題1.A【分析】本題可直接推證，但最簡便的方法還是通過反例用排除法找到答案x【詳解】方法一：任一原函數可表示為F(x)= f f(t)dt + C,且F'(x)= f (x).當 F(x)為偶函數時,有 F(-x) = F(x),于是 F '(x) <-1) = F'(x),即f (-x)= f (x),x也即f(x) = f(x),可見f(x)為奇函數；反過來，若 f(x)為奇函數，則Jo f(t)dt為偶函x數，從而F(x)=0 fdt+C為偶函數，可見(A)為正確選項1 2萬法二：令 f(x)=1,則取

9、F(x)=x+1,排除(B)、(C); 令 f(x)=x,則取 F(x)=x ,排除(D); 故應選(A).【評注】 函數f(x)與其原函數 F(x)的奇偶性、周期性和單調性已多次考查過.請讀者思考f(x) 與其原函數 F(x) 的有界性之間有何關系？ 2. D【分析】顯然x=0,x=1為間斷點，其分類主要考慮左右極限.【詳解】由于函數f(x)在x=0,x=1點處無定義，因此是間斷點 .lim_f (x) =0,(D).從而lim .ex1 =" x >1且lim f (x)=笛，所以x=0為第二類間斷點； lim f(x) = 1 ,所以x=1為第一類間斷點，故應選 x-1

10、一x _ .x應特別注意：lim r , limx1 x-1x1 -x - 1xlim ex“ = 0.x-1 一3 C4 A5 C6 C7 A8 CX-8時，分母極限為令，不能直接用商的極限法則。先恒等變形，將函數“有理化” 原式=回（）（"1 +1） _gm 1 J .（有理化法）x（ X 1 1）, X 1 1 29 DX 1 Y2 X - X = lim 2-0 X 0 8X3-1610 Ctan X （1 -cosx） 解原式書（2x）3）注等價無窮小替換僅適用于求乘積或商的極限,不能在代數和的情形中使用。 如上例中若對分子的每項作等價替換，則錯誤！原式=四符=0.二.填空

11、題11 . _2_12 . _L13 .014 .5215 . e16 . x =1,217 .（-二，二）0,二）18 .（-二，二） -1,0,119 .在某一極限過程中，以0為極限的變量：稱為該極限過程中的無窮小量20 .函數y f （x） 在點X0有定義：x fX0時極限xim0"*存在；m f（xf（x（）極限值與函數值相等，即T0 '， ' ，三.計算題21 .【分析】"0° -00”型未定式，一般先通分，再用羅必塔法則.2x2.x【詳解】1x 1 x x-1e- x x -1 e-lim ( -) =hm =lim2x)0 1-e x

12、 x 0x(1 -e ) x >0x=limx 0x1 2x -e2x=limx >02 e22. f (x)=3lnx+1 x >0 23.24.25.26.2e16 ln3;27 . 328 .解：由 x+2> 0 解得 x>-2 由x 10解得 xw 1 由 5 2 x> 0 解得 x<2.5函數的定義域為x | 2.5 >x>-2 且 xw 1或表示為(2.5,1 ) U ( 1,-2 )29 .、是同一函數，因為定義域和對應法則都相同，表示變量的字母可以不同。不 是同一函數，因為它們的定義域不相同。不是同一函數，因為它們對應的函數

13、值不相同， 即對應法則不同。30 . 解：f(x+1) =(x+1) 2-1 =x2+2x, f(f(x)=f(x 2-1) = (x2-1) 2-1 = x4-2x2f(f(3)+2)=f(3 2-1+2) =f(10) =9931 .解:lim3n2n- ；/ 6n- 5n一 4n23n2 -5n 12lim 2 nn，二 6n2 - 4n - 72n3= limn)二63- 0 06-0-0lim 3-5 lim - lim 二n j '二- n " n n)二-nlim 6 - 4 lim 7 lim )n),二 n j n n：. n2n(n 1)i12 n -2n

14、2 n 132.解:lim 2= lim 勺 =lim 2 =二 n2 二 n2 n > 二 2n2233 .解:nW、n1 "）小：*：）35 .36 .37 .38 .39 .40.=limn , 二.n 1 . n解：因為所以2 n 3 n34 .解：鬟五行lim1limn 1 lim 1n1二2 nlim () - lim 1 n j -： 3 n )：nW/lim 1n j -：i1lim yx12 -2, lim yx2lim y ;x >2 -xim2+y函數在指定點的極限不存在。 因為 lim y = sin 0 = 0, limx >0 -x &g

15、t;0所以1 lim x33 x 3x >0函數在指定點的極限lxm。y =lim31lim x lim 3 3 3 6 x_3x_3x -3 lim 9 -3x2 -9=limx -3=limxr-3x 3 x >3x 31 -x -1limx_ j 二;lim2x37m(1 -x -1)(. 1 -x 1)x( 1 -x 1)二-1x(、. 1 - x 1)l i n2x，1-lim l ilimx一)二:3 x1 -3 x2-0 0l i n1 -1 i m- l i m-3x i . x，二 x2 x ,二 x3J' xlimx二1-0 0=22limx "

16、;二-limx)二limx )二0-0 0 八二 01-0 041.sin 3x.limsin" 3=3 x 0 3x42.limx01 一 cosx2 x2sin -.21lim二-x 0x 224(-)2sin/T243.e一二 e11 n lim(1 )n n* n1 3 lim (1)f ： n44.二 lim 1n ； Hm JI45.= limx+kx1kxlim1x kx1k 1=ek46.=lim 1x k47.1二 jlim 1 kx kx48 .解 v lim f (x) = limx. Xox. 0而 f(x0) = f (0) = 1sin x49.50.51

17、.52.lim f (x) = f (0)x.0函數在x = 0處連續。間斷，函數在x= 1處無定義且左右極限不存在，第二類間斷點 間斷，函數在x= 0處左右極限不存在，第二類間斷點間斷,證明:lim f(x)=0但f(0) = 1,兩者不相等，第一類間斷點 x 0-(=lim 1 +尸因為limxT2222f (x) = lim x = (lim x) = x0 , f(x o)=xo xXoxXo所以因此,limxx0函數f (x) = f 仇)2 .f(x) =x是連續函數。53.解:limx )0ln(1 x)1=lim ln(1 x)x x )01=ln lim(1 x)x = ln

18、e = 1 x )054.解:limx2 -1xT” x-1ln x=lim x 1 ln xl= 2 0 = 0x >155 .證明:設 f(x) =2x33x2+2x3,則 f(x)在1,2上連續，f(1) =- 2<0, f(2) =5>0根據零點定理，必存在一點 則x= E就是方程的根。E (1,2)使出 E)=0,56.原式=l嗎則嘿曰x 1 x22 x1=limq二x 0 8x31657.證yxw (-8, + oo),任給x 一個增量Ax,對應的有函數 y的增量Ay = sin( x + Ax)-sin x = 2sin* cos(x 學).0fN|M2sin與2，崢1 =必，由夾逼準則知， y - 0 (Ax-0),再由x的任意性知正弦函數y = sin x在其定義域(-00, +8)上處處連續，即它是連續函數。58 .解注意f (x)是分段函數，且點 x=0兩側f表達式不一致。解法1. f (0 - 0 ) = Jjm (_x) = 0 ,f (0 + 0又 f (0 ) = 0,)=鰻+*=0，四 f(x)=0.函數f (x) = x在點x = 0處連續(圖119)。解法2- lim f (x) =lim (x) =0 = f(0),，函數在點 x=