1、圖像處理中的正則化 二維的圖像可以分解成不同的頻率成分。其中，低頻成分描述大范圍的信息，而高頻成分描述具體的細節。在灰度圖像中，亮度變化小的區域主要是低頻成分，而亮度變化劇烈的區域 (比如物體的邊緣)主要是高頻成分。 前一章說明當噪聲存在時過濾是必要的。這章需要仔細看看過濾。過濾也稱為正則化,因為它可以解釋成對解執行特定規律的條件。正規化的程度是由一個正則化參數決定的,這個參數應該仔細選擇。我們本章主要關注兩個正則化方法(TSVD和Tikhonov)和三個計算正則化參數的方法(差異原則,廣義交叉驗證和L-曲線標準).6.1 兩個重要的方法 在前面的章節中SVD分析激發了譜過濾方法的使用，因為這

2、些方法使我們通過過濾因子能控制模糊圖像的譜的內容。實現譜過濾方法必須通過選擇計算出的解， (6.1)中的過濾因子。為了獲得一個有理想性質的解。這些方法受坐標系和坐標系的影響，其中坐標系由向量決定，坐標系由向量決定。操作b的數據上面提到的坐標系是譜坐標系,因為這些向量分別是和的特征向量。我們看到了精確的求解方程組，當數據被噪聲污染時得不到一個好的解。相反，我們通過（5.3）中的過濾展式過濾光譜解，使得在方向上解的元素按過濾因子縮放，而且可以減小誤差在中的影響。在這一節中我們討論兩個最重要的譜過濾方法。1.TSVD 方法. 對于這個方法，我們定義對于大奇異值過濾因子的大小為1，對于其他奇異值過濾因

3、子為0。更確切地說， (6.2)參數稱為截斷參數決定了正則解中奇異值的數量。注意總滿足。例如，這是一種用于計算圖5.6所示的解的方法。2.Tikhonov方法. 對于這種方法，我們定義過濾因子為 (6.3)其中稱為正則化參數，這個參數的選擇得到了最小化問題， (6.4)的解向量。正如我們將在第7.2節中討論的那樣。我們希望要很小得到了(6.4)這個問題，但如果我們選擇使它等于0，則。當噪聲在一些方向上的大小超過了奇異值的大小時這個值是很大的。因此，我們也要保持相當小，我們(6.4)中的最小化問題要確保的殘差范數和解的范數有點小。在去模糊處理中除了SVD坐標系b外，傅里葉坐標系也經常被用到. 過

4、濾是用來消除噪音影響的。用代替符號b，其中 是正交傅里葉變換矩陣的一行。對于低通濾波器，低頻元素對應的過濾因子接近1，對應于高頻元素的過濾因子接近0。TSVD和Tikhonov方法和這個方法是類似的。更多傅里葉濾波法的信息可參見3.傅里葉波濾法我們現在考慮參數選擇的效果。先考慮對于的過濾因子。則，利用泰勒展開，我們得到接下來，我們考慮對于的一個過濾因子。再次使用的泰勒擴展，得到因此，我們可以得出這樣的結論：Tikhonov過濾因子滿足這意味著，如果我們選擇，則對于小的指標，對于大的指標，對于一個給定的，在該“斷點”的過濾因子變化的本質是在該指標處。6.2 波濾方法的實現如果我們假設的所有奇異值

5、是非零的，那么這個naive解可以寫成 (6.5)類似地，譜過濾解可以寫為 (6.6)其中是一個對角矩陣，其中包含了特定方法的濾波因子（例如，TSVD方法的濾波因子為1和0，Tikhonov的濾波因子為）。如果譜分解存在的話，（6.5）和（6.6）的關系類似的可以寫成譜分解的形式。在第4章中，我們講了（1）由圖像去模糊問題導出的各種結構矩陣；（2）如何高效的計算這些矩陣的SVD和譜分解；（3）如何高效的計算（6.5）的naïve解（參看VIPs 10,11,12）因為表達式（6.6）只是（6.5）式的一個變式，所以它對于第4章中的結構矩陣也能高效的實現濾波方法。我們可以把（6.6）式

6、寫成 其中。因此，如果濾波因子已經給出，則很容易修改VIPs 10,11,12去計算對于許多結構矩陣都可以高效的計算出，以下是計算的算法給定P=PSFcenter=row,col=center of PSFB=blurred imageBC=string denoting boundary condition(e.g.,zero)Phi=filter factors對于周期邊界條件的結構矩陣，用S=fft2(circshift(P,1-center);Sfilt=Phi./S;Xfilt=real(ifft2(fft2(B).*Sfilt);對于有雙對稱PSF的反射邊界條件的結構矩陣，用E1=

7、zeros(size(P);,e1(1,1)=1;S=dct2(dctshift(P,center)./dct2(e1);Sfilt=Phi./S;Xfilt=idct2(dct2(B).*Sfilt);對于可分離的PSF，用Ar, Ac=kronDecomp(P, center, BC);Uc, Sc, Vc=svd(Ac);Ur, Sr, Vr=svd(Ar);S=diag(Sc) * diag(Sr);Sfilt=Phi./S;Xfilt=Vc*(Uc*B*Ur).*Sfilt)*Vr;我們在上文中除了給出TSVD截斷參數應該滿足和Tikhonov正則參數應該滿足外并沒有給出如何選擇TS

8、VD方法的參數和Tikhonov方法的參數。下面我們討論一些選擇以上參數的自動方法，現在我們可以通過實驗選擇它們。例如，在TSVD中，我們可以指定限度小于使所有奇異值都被截斷的數。在這種情況下，濾波因子可以用MATLAB很容易的計算出，即Phi=(abs(S)>=tol);。通過實驗不同的tol值和顯示得到的濾波解Xfilt，我們可以看到正則的效果。在Tikhonov正則的情況中，我們可以為指定一個值，通過奇異值計算濾波因子，如下：Phi=abs(S).2./(abs(S).2+alpha2);當用FFTs時，abs命令必須用。通過實驗不同的alpha值和顯示得到的濾波解Xfilt，我們

9、可以看到正則的效果。圖6.2是TSVD方法和Tikhonov方法作用到圖1.2的南瓜模糊圖像上得到的效果圖。對兩種方法都用反射邊界條件，正則參數選擇的使圖像更清晰。兩種方法都恢復了模糊圖像的一些細節，但是，TSVD方法得到的圖像上產生了一些微粒。本節最后，我們看一下Sfilt=Phi./S的計算。如果S中一些奇異值是0，則MATLAB會產生“除數為0”的警告，Sfilt中的一些值會被賦值成Inf或者NaN。為了避免這種情況的發生，我們可以僅對S中的非0元進行操作，把Sfilt中0奇異值對應的元素賦值為0。這樣的話我們可以用一個邏輯數組idx=(S=0)來表示S中非0元素的位置，這樣除法就可以實

10、現了。如下是修改后除法的MATLAB表示idx=(S=0);Sfilt=zeros(size(Phi);Sfilt(idx)=Phi(idx)./S(idx);6.3正則誤差和擾動誤差為了更好的理解譜濾波方法的機制和正則性，我們現在看一下正則解的誤差。就SVD而言，（6.6）式可以表示TSVD解和Tikhonov解。由（6.6）式，我們可以容易的區分正則解得兩種不同類型的誤差，具體的得到因此，的誤差可以寫成 （6.7）可以看出誤差包含兩個不同的部分。1.正則誤差。第一項是正則誤差，它是由正則逆矩陣代替引起的。矩陣描述了精確解和濾波解的關系，如果，因為則正則誤差是0，越接近單位矩陣正則誤差越小。

11、2.擾動誤差。第二項是擾動誤差，它包含逆噪音和濾波噪音。如果，擾動誤差為0,。當大部分濾波因子多很小或者為0時，逆噪音會被嚴重的抑制（擾動誤差很小）。正則參數的變化會改變和兩類誤差。當很多濾波因子接近1時，正則誤差會很小，但是，擾動誤差會變大（逆噪音控制了解），我們稱解是undersmoothed。另一方面，當少數的濾波因子接近1時，正則誤差大擾動誤差小，我們稱解是oversmoothed。正則參數選擇時要平衡這兩種類型的誤差。圖6.3說明了正則誤差和擾動誤差隨著正則參數變化而變化的情況。與圖5.6的問題一樣，用TSVD正則方法，我們看到當時，兩種類型的誤差平衡。盡管條件數大，但是我們能把近似解通過正則化得到精確解的原因是譜濾波抑制了逆噪音同時使正則誤差也變小（因為圖像去模糊問題滿足離散Picard條件，即解用譜表示時，精確的右邊向量表示decaying expansion coefficient）。噪音主要影響的是高頻元素，而高頻元素與小的奇異值有關而且它會被譜濾波方法抑制。78也最后為了更深的理解這個問題，我們考慮正則誤差的范數。因為，所以由Picard條件知，系數是衰減的。因為濾波因子接近1，因式抑制了大系數。濾波因子對應的因式接近1，它和小的系數相乘。因此，如果濾波因子能夠合理的選擇，則正則誤差的范數就不會很大。6.4參數