1、 全等的相關模型總結1、 角平分線模型應用1. 角平分性質模型： 輔助線：過點G作GE射線AC（1） .例題應用：如圖1，在，那么點D到直線AB的距離是 cm.如圖2，. 圖1 圖22 提示：作DEAB交AB于點E，.(2) .模型穩固：練習一：如圖3，在四邊形ABCD中，BC>AB，AD=CD，BD平分.求證： 圖3練習二：如圖4，四邊形ABCD中， 圖4練習三：如圖5，交CD于點E，交CB于點F.(1) 求證：CE=CF.(2) 將圖5中的ADE沿AB向右平移到的位置，使點落在BC邊上，其他條件不變，如圖6所示，是猜測：于CF又怎樣的數量關系？請證明你的結論. 圖5 圖6練習四：如圖

2、7，P是AB的中點，PD平分ADC 求證：CP平分DCBADECBP2143 圖7練習五：如圖8，ABAC，A的平分線與BC的垂直平分線相交于D，自D作DEAB，DFAC，垂足分別為E，F求證：BE=CF 圖8練習六：如圖9所示，在ABC中，BC邊的垂直平分線DF交BAC的外角平分線AD于點D，F為垂足，DEAB于E，并且AB>AC。求證：BEAC=AE。圖9練習七： 如圖10，D、E、F分別是ABC的三邊上的點，CE=BF，且DCE的面積與DBF的面積相等，求證：AD平分BAC。2.角平分線+垂線，等腰三角形比呈現輔助線：延長ED交射線OB于F 輔助線：過點E作EF射線OB（1） .例

3、題應用：如圖1所示，在ABC中，ABC=3C，AD是BAC的平分線，BEAD于F。求證：證明：延長BE交AC于點F。 ：如圖2，在， 分析：此題很多同學可能想到延長線段CM，但很快發現與要證明的結論毫無關系。而此題突破口就在于AB=AD，由此我們可以猜測過C點作平行線來構造等腰三角形.證明：過點C作CEAB交AM的延長線于點E. 例題變形:如圖，求證： (3) .模型穩固：練習一、 如圖3，ABC是等腰直角三角形，BAC=90°，BD平分ABC交AC于點D，CE垂直于BD，交BD的延長線于點E。求證：BD=2CE。 圖3練習一變形：如圖4，在ODC中，過點E作 圖4練習二、如圖5，A

4、BC中，CE平分ACB，且AECE，AEDCAE180度，求證：DEBCACDEB 圖5 練習三、如圖6，ADDC，BCDC，E是DC上一點，AE平分DAB，BE平分ABC，求證：點E是DC中點。ABCDE 圖6練習四、如圖7a，. 圖7a 圖7b 圖7c 、如圖7b，、如圖7c，其他條件不變. 那么在圖7b、圖6c兩種情況下，DE與BC還平行嗎？它與三邊又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜測，并證明你的結論.(提示：利用三角形中位線的知識證明線平行) 練習五、如圖8，在直角三角形中，的平分線交于自作交于，交于自作于，求證： 圖8練習六、如圖9所示，在中，為的中點，是的平分線，假設且交的延長線于，

5、求證 圖9 練習六變形一：如圖10所示，是中的外角平分線，于，是的中點，求證 且 圖10練習六變形二：如圖11所示，在中，平分，于，求證 圖11 練習七、如圖12，在中，的平分線交與那么有那么如圖13，在中，求證： 圖12 圖13練習八、在中，的平分線交于，過作，為垂足，求證： 練習九、是的角平分線，交的延長線于，交于 求證： 3. 角分線，分兩邊，對稱全等要記全 兩個圖形的輔助線都是在射線OA上取點B，使OB=OA，從而使OBC.1.例題應用：、在ABC中，BAC=60°，C=40°，AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q，求證：AB+BP=BQ+AQ。思路分

6、析：1題意分析：此題考查全等三角形常見輔助線的知識：作平行線。2解題思路：此題要證明的是AB+BP=BQ+AQ。形勢較為復雜，我們可以通過轉化的思想把左式和右式分別轉化為幾條相等線段的和即可得證。可過O作BC的平行線。得ADOAQO。得到OD=OQ，AD=AQ，只要再證出BD=OD就可以了。解答過程：證明：如圖1，過O作ODBC交AB于D，ADO=ABC=180°60°40°=80°，又AQO=C+QBC=80°，    ADO=AQO，    又DAO=QAO，O

7、A=AO，    ADOAQO，    OD=OQ，AD=AQ，    又ODBP，    PBO=DOB，    又PBO=DBO，    DBO=DOB，BD=OD，又BPA=C+PAC=70°，    BOP=OBA+BAO=70°，BOP=BPO，BP=OB，  

8、0; AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。                     解題后的思考：1此題也可以在AB上截取AD=AQ，連OD，構造全等三角形，即“截長法。2此題利用“平行法的解法也較多，舉例如下：如圖2，過O作ODBC交AC于D，那么ADOABO從而得以解決。如圖5，過P作PDBQ交AC于D，那么ABPADP從而得以解決。小結：通過一題的

9、多種輔助線添加方法，體會添加輔助線的目的在于構造全等三角形。而不同的添加方法實際是從不同途徑來實現線段的轉移的，體會構造的全等三角形在轉移線段中的作用。從變換的觀點可以看到，不管是作平行線還是倍長中線，實質都是對三角形作了一個以中點為旋轉中心的旋轉變換構造了全等三角形。 、如下圖，在中，是的外角平分線，是上異于點的任意一點，試比擬與的大小，并說明理由 【解析】 ，理由如下如下圖，在的延長線上截取，連接因為是的外角平分線，故在和中，公用，因此，從而在中，而，故 變形：在中，是的平分線是上任意一點求證： 【解析】 在上截取，連結，根據證得，又中，2、模型穩固：練習一、.如圖，在ABC中，

10、ADBC于D，CDABBD，B的平分線交AC于點E，求證：點E恰好在BC的垂直平分線上。EADBC練習二、如圖，ABC中，ABAC，A100°，B的平分線交AC于D，ACBD求證：ADBDBC練習三、如圖，ABC中，BCAC，C90°，A的平分線交BC于D，ACBD求證：ACCDAB練習四、：在中，的平分線和外角的平分線相交于交于求證：練習五、在中，平分，是中點，連結，求證： 變式：在中，平分，求證：練習六、 ：如圖，在四邊形ABCD中，ADBC,BC=DC,CF平分BCD,DFAB,BF的延長線交DC于點E. 求證：1 BF=DF； (2) AD=DE.ABCDFE練習七

11、、如圖，在四邊形ABCD中，AB+BC=CD+DA，ABC的外角平分線與CDA的外角平分線交于點P.求證：APB=CPD 練習八、如圖，在平行四邊形ABCD兩組對邊分別平行的四邊形中，E，F分別是AD，AB邊上的點，且BE、DF交于G點，BE=DF，求證：GC是BGD的平分線。練習九、如圖，在ABC中，ACB為直角，CMAB于M，AT平分BAC交CM于D，交BC于T，過D作DEAB交BC于E，求證：CT=BE.練習十、如下圖，中，平分，、分別在、上， 求證： 【補充】如圖，在中，交于點，點是中點，交的延長線于點，交 于點，假設，求證：為的角平分線4.中考巡禮：1.如圖1，OP是AOB的平分線，

12、請你利用圖形畫一對以OP為所在直線為對稱軸的全等三角形，請你參考這個全等三角形的方法，解答以下問題。、如圖2，在ABC中，ACB是直角，B=60，AD、CE是BAC、BCA的角平分線， 相交于點F，請你判斷并寫出EF與DF之間的數量的關系。、如圖3，在ABC中，ACB不是直角，而1中的其他條件不變，請問，1中的結論是否任然成立?假設成立，請證明；假設不成立，請說明理由。ABCDEF圖2ABCDEF圖3 AOMNEF圖12.如圖，在平面直角坐標系中，B-1，0，C1，0D為y軸上的一點，點A為第二象限內一動點，且BAC=2BDO，過點D作DMAC于M，、求證：ABD=ACD；、假設點E在BA的延

13、長線上，求證：AD平分CAE；、當點A運動時，AC-AB/AM的值是否發生變化？假設不變，求其值；假設變化，請說明理由。2、 等腰直角三角形模型1. 在斜邊上任取一點的旋轉全等： 操作過程： （1） .將ABD逆時針旋轉，使ACMABD，從而推出ADM為等腰直角三角 形.但是寫輔助線時不能這樣寫 （2） .過點C作，連AM導出上述結論.2.定點是斜邊中點，動點在兩直角邊上滾動的旋轉全等：操作過程：連AD.1. 使BF=AEAF=CE，導出BDFADE. 2.使EDF+BAC=，導出BDFADE. 1、例題應用： . 解析：方法一：過點C作， 方法二： . 證明：方法一：連接AM，證明MDEMA

14、C.特別注意證明MDE=MAC. 方法二：過點M作MNEC交EC于點N，得出MN為直角梯形的中位線，從而導 出MEC為等腰直角三角形. （2） 、練習穩固： ：如下圖，RtABC 中，AB=AC，O為BC中點，假設M、N分別 在線段AC、AB上移動，且在移動中保持AN=CM. 、 是判斷OMN的形狀，并證明你的結論. 、 當M、N分別在線段AC、AB上移動時，四邊形AMON的面積如何變化？ 思路：兩種方法： 在正方形ABCD中，BE=3 ，EF=5 ，DF=4 ，求BAE=DCF為多少度. 提示如右圖： 3. 構造等腰直角三角形 （1） 、利用以上的1和2都可以構造等腰直角三角略；（2） 、利

15、用平移、對稱和弦圖也可以構造等腰直角三角.如以下圖： 圖3-1 圖3-2操作過程：在圖3-2中，先將ABD以BD所在的直線為對稱軸作對稱三角形，再將此三角形沿 水平方向向右平移一個正方形邊長的長度單位，使A與M，D與E重合.例題應用：平面直角坐標系中的三個點，求OCA+OCB的 度數. 4. 將等腰直角三角形補全為正方形，如以下圖： 圖4-1 圖4-2例題應用： 思路：構造正方形ACBM，可以構造出等邊APM，從而造出，又根據，可得，再由于，故而得到從而得 證.例題拓展：假設ABC不是等腰直角三角形，即，而是， 其他條件不變，求證：2=21. 練習穩固：在平面直角坐標系中，A0 , 3，點B的

16、縱坐標為2，點C的縱坐標為0，當A、B、C 三點圍成等腰直角三角形時，求點B、C的坐標.1、當點B為直角頂點： 圖1 圖2（2） 、當點A為直角頂點： 圖3 圖4（3） 、當點C為直角頂點： 圖5 圖6 3、 三垂直模型弦圖模型 . . . 由ABEBCD導出 由ABEBCD導 由ABEBCD導出 ED=AE-CD 出EC=AB-CD BC=BE+ED=AB+CD1. 例題應用：例1.：如下圖，在ABC中，AB=AC，D為AC中點，AFBD于E，交BC于F，連接DF.求證：ADB=CDF. 思路：方法一: 過點C作MCAC交AF的延長線于點M.先證ABDCAM， 再證 CDF CMF即可.方法

17、二：過點A作AMBC分別交BD、BC于H、M.先證ABHCAF， 再證 CDF ADH即可.方法三：過點A作AMBC分別交BD、BC于H、M.先證RtAMF RtBMH，得出 HFAC. 由M、D分別為線段AC、BC的中點，可得MD為ABC的中位線 從而推出MDAB，又由于，故而MDAC，MDHF，所以MD為 線段HF的中垂線. 所以1=2.再由ADB+1=CDF+2 ，那么 ADB=CDF .例1拓展1：如下圖，在ABC中，AB=AC，AM=CN，AFBM于E，交BC于F，連接NF.求證：ADB=CDF. BM=AF+FN 思路：同上題的方法一和方法二一樣.拓展2：其他條件不變，只是將BM和

18、FN分別延長交于點P，求證：PM=PN, PBPF+AF.思路：同上題的方法一和方法二一樣.例2.如圖2-1，ADBC，ABE和CDF 是等腰直角三角形，EAB=CDF=，AD=2，BC=5，求四邊形AEDF的面積. 圖2-1 解析：如圖2-2，過點E、B分別作ENDA，BMDA交DA延長線于點N、M. 過點F、C分別作 FPAD，CQAD交AD及AD延長線于點 P、Q. ABE和CDF 是等腰直角三角形，EAB=CDF=，AE=AB， DF=CD.ENDA，BMDA，FPAD，CQAD ，NMB=ENA=FPD=DQC=. ENA=MBA ，FDP=QCD. ENAABM，FPDDQC.NE

19、=AM， PF=DQ . NE+PF=DQ+AM=MQ-AD . ADBC，CQBM，BMN=， 四邊形BMQC是矩形. BC=MQAD=2，BC=5 NE+PF=5-2=3 圖2-22.練習穩固：1、如圖1-1，直角梯形ABCD中，ADBC，ADC=，是AD的垂直平分線， 交AD于點M，以腰AB為邊做正方形ABFE，EP于點P. 求證：2EP+AD=2CD. 1-1 1-2 2、如圖，在直角梯形ABCD中，ABC=，ADBC，AB=AC，E是AB的中點， CEBD. 求證：BE=AD ； 求證：AC是線段ED的垂直平分線； BCD是等腰三角形嗎？請說明理由. 4、 手拉手模型1.ABE和ACF均為等邊三角形 結論：1. ABFAEC2.BOE=BAE=“八字模型證明3.OA平分EOF 拓展： 條件：ABC和CDE均為等邊三角形 結論：1、AD=BE 2、ACB=AOB 3、PCQ為等邊三角形 4、PQAE 5、AP=BQ 6、CO平分AOE 7、OA=OB+OC 8、OE=OC+OD 7，8需構造等邊三角形證明2.ABD和ACE均為等腰直角三角形 結論：1、BE=CD 2BECD 3.ABEF和ACHD