1、1.7 常用的數據處理方法實驗數據及其處理方法是分析和討論實驗結果的依據。在物理實驗中常用的數據處理方法有列表法、作圖法、逐差法和最小二乘法（直線擬合）等。1.7.1 列表法在記錄和處理數據時，常常將所得數據列成表。數據列表后，可以簡單明確、形式緊湊地表示出有關物理量之間的對應關系；便于隨時檢查結果是否合理，及時發現問題，減少和避免錯誤；有助于找出有關物理量之間規律性的聯系，進而求出經驗公式等。列表的要求是：（1）要寫出所列表的名稱，列表要簡單明了，便于看出有關量之間的關系，便于處理數據。（2）列表要標明符號所代表物理量的意義（特別是自定的符號），并寫明單位。單位及量值的數量級寫在該符號的標題

2、欄中，不要重復記在各個數值上。（3）列表的形式不限，根據具體情況，決定列出哪些項目。有些個別的或與其他項目聯系不大的數據可以不列入表內。列入表中的除原始數據外，計算過程中的一些中間結果和最后結果也可以列入表中。（4）表中所列數據要正確反映測量結果的有效數字。列表舉例如表1-2所示。表1-2銅絲電阻與溫度關系溫度T / 10.020.030.040.050.060.070.0銅絲電阻R / W10.410.710.911.311.811.912.31.7.2 作圖法作圖法是將兩列數據之間的關系用圖線表示出來。用作圖法處理實驗數據是數據處理的常用方法之一，它能直觀地顯示物理量之間的對應關系，揭示物

3、理量之間的聯系。1作圖規則為了使圖線能夠清楚地反映出物理現象的變化規律，并能比較準確地確定有關物理量的量值或求出有關常數，在作圖時必須遵守以下規則。（1）作圖必須用坐標紙。當決定了作圖的參量以后，根據情況選用直角坐標紙、極坐標紙或其他坐標紙。（2）坐標紙的大小及坐標軸的比例，要根據測得值的有效數字和結果的需要來定。原則上講，數據中的可靠數字在圖中應為可靠的。我們常以坐標紙中小格對應可靠數字最后一位的一個單位，有時對應比例也適當放大些，但對應比例的選擇要有利于標實驗點和讀數。最小坐標值不必都從零開始，以便做出的圖線大體上能充滿全圖，使布局美觀、合理。（3）標明坐標軸。對于直角坐標系，要以自變量為

4、橫軸，以因變量為縱軸。用粗實線在坐標紙上描出坐標軸，標明其所代表的物理量（或符號）及單位，在軸上每隔一定間距標明該物理量的數值。（4）根據測量數據，實驗點要用“+”“×”“”“”等符號標出。（5）把實驗點連接成圖線。由于每個實驗數據都有一定的誤差，所以圖線不一定要通過每個實驗點。應該按照實驗點的總趨勢，把實驗點連成光滑的曲線（儀表的校正曲線不在此列），使大多數的實驗點落在圖線上，其他的點在圖線兩側均勻分布，這相當于在數據處理中取平均值。對于個別偏離圖線很遠的點，要重新審核，進行分析后決定是否應剔除。在確信兩物理量之間的關系是線性的，或所有的實驗點都在某一直線附近時，將實驗點連成一直線

5、。（6）作完圖后，在圖的明顯位置上標明圖名、作者和作圖日期，有時還要附上簡單的說明，如實驗條件等，使讀者能一目了然，最后要將圖粘貼在實驗報告上。圖1-5為銅絲電阻與溫度之間的關系曲線。圖1-5 銅絲的電阻與溫度的關系曲線2用作圖法求直線的斜率、截距和經驗公式若在直角坐標紙上得到的圖線為直線，并設直線的方程為，可用如下步驟求直線的斜率、截距和經驗公式。（1）在直線上選兩點A(x1,y1)和B(x2,y2)。為了減小誤差，A、B兩點應相隔遠一些，但仍要在實驗范圍之內，并且A、B兩點一般不選實驗點。用與表示實驗點不同的符號將A、B兩點在直線上標出，并在旁邊標明其坐標值。（2）將A、B兩點的坐標值分別

6、代入直線方程，可解得斜率（1-27）（3）如果橫坐標的起點為零，則直線的截距可從圖中直接讀出；如果橫坐標的起點不為零，則可用下式計算直線的截距：（1-28）（4）將求得的k、b的數值代入方程中，就得到經驗公式。3曲線的改直在實際工作中，許多物理量之間的關系并不都是線性的，但仍可通過適當的變換而成為線性關系，即把曲線變換成直線，這種方法叫做曲線改直。作這樣的變換不僅是由于直線容易描繪，更重要的是直線的斜率和截距所包含的物理內涵是我們所需要的，例如：（1），式中a，b為常量，可變換成的線性函數，斜率為b，截距為lg a。（2），式中a，b為常量，可變換成的線性函數，斜率為lg 

7、b，截距為lg a。（3）PV=C，式中C為常量，可變換成P=C(1/V)，P是1/V的線性函數，斜率為C。（4），式中p為常量，可變換成的線性函數，斜率為。（5），式中a，b為常量，可變換成的線性函數，斜率為a，截距為b。（6），式中為常量，可變換成的線性函數，斜率為，截距為。1.7.3 逐差法逐差法又稱逐差計算法，一般用于等間隔線性變化測量中所得數據的處理。由誤差理論可知，算術平均值是若干次重復測量的物理量的近似值。為了減少隨機誤差，在實驗中一般都采用多次測量。但是在等間隔線性變化測量中，若仍用一般的平均值方法，我們將發現，只有第一次測量值和最后一次測量值起作用，所有的中間測量值

8、全部抵消。因此，這種測量無法反映多次測量的特點。以測量彈簧倔強系數的例子來說明逐差法處理數據的過程。如有一長為x0的彈簧，逐次在其下端加掛質量為m的砝碼，共加7次，測出其對應的長度分別為，從這組數據中，求出每加單位砝碼彈簧的伸長量x。這種處理僅用了首尾兩個數據，中間值全部抵消，因而損失掉很多的信息，是不合理的。若將以上數據按順序分為和兩組，并使其對應項相減，就有（1-29）這種逐差法使用了全部的數據信息，因此，更能反映多次測量對減少誤差的作用。1.7.4 最小二乘法（線性回歸）作圖法雖然在數據處理中是一個很便利的方法，但在圖線的繪制上往往帶有較大的任意性，所得的結果也常常因人而異，而且很難對它

9、作進一步的誤差分析。為了克服這些缺點，在數理統計中研究了直線擬合問題（或稱一元線性回歸問題），常用一種以最小二乘法為基礎的實驗數據處理方法。由于某些曲線型的函數可以通過適當的數學變換而改寫成直線方程，這一方法也適用于某些曲線型的規律。下面就數據處理中的最小二乘法原理作簡單介紹。設在某一實驗中，可控制的物理量取值時，對應的物理量依次取值。假定對值的觀測誤差很小，而主要誤差都出現在的觀測上。顯然，如果從(,)中任取兩組實驗數據就可以得出一條直線，只不過這條直線的誤差有可能很大。直線擬合的任務便是用數學分析的方法從這些觀測到的數據中求出最佳的經驗公式。按這一經驗公式作出的圖線不一定能通過每一個實驗點

10、，但是它是以最接近這些實驗點的方式穿過它們的。很明顯，對應于每一個值，測得值和最佳經驗公式中的y值之間存在一偏差，我們稱為測得值的偏差，即最小二乘法的原理就是：如果各測得值的誤差相互獨立且服從同一正態分布，當的偏差的平方和為最小時，得到最佳經驗公式。若以S表示的平方和，它應滿足：（1-30）式中，各和是測得值，都是已知量，所以解決直線擬合的問題就變成了由實驗數據組（,)來確定k和b的過程。令S對k的偏導數為零，即整理得（1-31）令S對b的偏導數為零，即整理得（1-32）由式（1-31）和式（1-32）解得（1-33）（1-34）將得出的k和b的數值代入直線方程中，即得最佳的經驗公式。由式（1

11、-32）得（1-35）式中，和分別是數據中的平均值和的平均值，即式（1-35）可寫為（1-36）將上式代入方程中，得（1-37）由式（1-37）我們可以看出，最佳直線是通過這一點的。因此，嚴格地說在作圖時應將點在坐標紙上標出。作圖時應將作圖的直尺以點為軸心來回轉動，使各實驗點與直尺邊線的距離最近而且兩側分布均勻，然后沿直尺的邊線畫一條直線，即為所求的直線。必須指出，實際上只有當x和y之間存在線性關系時，擬合的直線才有意義。為了檢驗擬合的直線有無意義，在數學上引進一個叫相關系數r的量，它的定義為（1-38）式中，r表示兩變量之間的函數關系與線性函數的符合程度。r越接近1，和的線性關系就越好；如果

12、它接近于零，就可以認為和之間不存在線性關系。物理實驗中，如果r達到0.999，則說明實驗數據的線性關系良好，各實驗點聚集在一條直線附近。注意：用最小二乘法處理前一定要先用作圖法作圖，以剔除異常數據。上面介紹了用最小二乘法求經驗公式中的常數k和b的方法。用這種方法計算出來的k和b是“最佳的”，但并不是沒有誤差。它們的不確定度估算比較復雜，這里就不介紹了。思 考 題1舉例說明系統誤差產生的原因以及消除和修正的方法。2對恒溫室標準溫度20測量15次，其值如下：20.42，20.43，20.40，20.43，20.42，20.43，20.39，20.30，20.40，20.43，20.42，20.41，20.39，20.39，20.40。其中有否異常數據需剔除?若有，則剔除后它們的標準偏差是多少?3將下列數據化整為三位有效數字：3.8547，2.3429，1.6750，1.5435，3.8706，0.4333，7.6824，3.6612，2.4384，6.2650，8.954 × 105，0.2000。4將下列兩個物理量進行單位換算，并將結果寫成科學表達式：（1）將m = (312.67