1、從數理經濟學到數理金融學的百年回顧     你正在瀏覽的金融論文是從數理經濟學到數理金融學的百年回顧            一般經濟均衡理論和數學公理化所謂一般經濟均衡理論大致可以這樣來簡述：在一個經濟體中有許多經濟活動者，其中一部分是消費者，一部分是生產者。消費者追求消費的最大效用，生產者追求生產的最大利潤，他們的經濟活動分別形成市場上對商品的需求和供給。市場的價格體系會對需求和供給進行調節，最終使市場達到一個理想的一般均衡價格體系。

2、在這個體系下，需求與供給達到均衡，而每個消費者和每個生產者也都達到了他們的最大化要求。瓦爾拉斯把上述思想表達為這樣的數學問題：假定市場上一共有l種商品，每一種商品的供給和需求都是這l種商品的價格的函數。于是這l種商品的供需均衡就得到l個方程。但是價格需要有一個計量單位，或者說實際上只有各種商品之間的比價才有意義，因而這l種商品的價格之間只有l-1種商品的價格是獨立的。為此，瓦爾拉斯又加入了一個財務均衡關系，即所有商品供給的總價值應該等于所有商品需求的總價值。這一關系現在就稱為“瓦爾拉斯法則”，它被用來消去一個方程。這樣，瓦爾拉斯最終就認為，他得到了求l-1種商品價格的l-1個方程所組成的方程組

3、。按照當時已為人們熟知的線性方程組理論，這個方程組有解，其解就是一般均衡價格體系。瓦爾拉斯當過工程師，也專門向人求教過數學，這使他能把他的一般經濟均衡的思想表達成數學形式。但是他的數學修養十分有限。事實上，他提出的上述“數學論證”在數學上是站不住腳的。這是因為，如果方程組不是線性的，那么方程組中的方程個數與方程是否有解就沒有什么直接關系。于是從數學的角度來看，長期以來瓦爾拉斯的一般經濟均衡體系始終沒有堅實的基礎。這個問題經過數學家和經濟學家80年的努力，才得以解決。其中包括大數學家馮·諾依曼(J.von Neumann，19031957)，他曾在1930年代投身到一般經濟均衡的研究中

4、去，并因此提出他的著名的經濟增長模型;還包括1973年諾貝爾經濟學獎獲得者列昂節夫(W.Leontiev，19061999)，他在1930年代末開始他的投入產出方法的研究，這種方法實質上是一個一般經濟均衡的線性模型。阿羅和德布魯都以學習數學開始他們的學術生涯。阿羅有數學的學士和碩士學位，德布魯則完全是主張公理化、結構化方法的法國布爾巴基學派培養出來的數學家。他們兩人是繼馮·諾依曼后最早在經濟學中引入數學公理化方法的學者。阿羅在1951年出版的社會選擇與個人價值一書中，嚴格證明了滿足一些必要假設的社會決策原則不可能不恒同于“某個人說了算”的“獨裁原則”。這就是著名的阿羅不可能性定理。而

5、德布魯則是在他與阿羅一起證明的一般經濟均衡存在定理的基礎上，把整個一般經濟均衡理論嚴格數學公理化，形成他于1959年出版的價值理論一書。這本114頁的小書，今天已被認為是現代數理經濟學的里程碑。 經濟學為什么需要數學公理化方法?這是一個始終存在爭論的問題。對于這個問題，德布魯的回答是：“堅持數學嚴格性，使公理化已經不止一次地引導經濟學家對新研究的問題有更深刻的理解，并使適合這些問題的數學技巧用得更好。這就為向新方向開拓建立了一個可靠的基地，它使研究者從必須推敲前人工作的每一細節的桎梏中解脫出來。嚴格性無疑滿足了許多當代經濟學家的智力需要，因此，他們為了自身的原因而追求它，但是作為有效的思想工具

6、，它也是理論的標志。”在這樣的意義下，才能正確理解現代數理經濟學、數理金融學的發展究竟意味著什么。當然，這并非說通過對各種現象、實例、故事的描述、羅列、區分，使人們從中悟出許多哲理來的“文學文化”的認識方法不能認識經濟學、金融學的一些方面。但是，認為經濟學、金融學不需要用公理化方法架構的科學理論，而只需要對經濟現實、金融市場察顏觀色的經驗，那將更不能認識經濟學、金融學的本質。從“華爾街革命”追溯到1900年狹義的金融學是指金融市場的經濟學。現代意義下的金融市場至少已有300年以上的歷史，它從一開始就是經濟學的研究對象。但人們通常認為現代金融學只有不到50年的歷史。這50年也就是使金融學成為可用

7、數學公理化方法架構的歷史。從瓦爾拉斯-阿羅-德布魯的一般經濟均衡體系的觀點來看，現代金融學的第一篇文獻是阿羅于1953年發表的論文證券在風險承擔的最優配置中的作用。在這篇論文中，阿羅把證券理解為在不確定的不同狀態下有不同價值的商品。這一思想后來又被德布魯所發展，他把原來的一般經濟均衡模型通過拓廣商品空間的維數來處理金融市場，其中證券無非是不同時間、不同情況下有不同價值的商品。但是后來大家發現，把金融市場用這種方式混同于普通商品市場是不合適的。原因在于它掩蓋了金融市場的不確定性本質。尤其是其中隱含著對每一種可能發生的狀態都有相應的證券相對應，如同每一種可能有的金融風險都有保險那樣，與現實相差太遠

8、。這樣，經濟學家又為金融學尋求其他的數學架構。新的用數學來架構的現代金融學被認為是兩次“華爾街革命”的產物。第一次“華爾街革命”是指1952年馬科維茨的證券組合選擇理論的問世。第二次“華爾街革命”是指1973年布萊克-肖爾斯期權定價公式的問世。這兩次“革命”的特點之一都是避開了一般經濟均衡的理論框架，以致在很長時期內都被傳統的經濟學家認為是“異端邪說”。但是它們又確實使以華爾街為代表的金融市場引起了“革命”，從而最終也使金融學發生根本改觀。馬科維茨因此榮獲1990年諾貝爾經濟學獎，肖爾斯(M.Scholes，1941 )則和對期權定價理論作出系統研究的默頓一起榮獲1997年的諾貝爾經濟學獎。布

9、萊克(F.Black，19381995)不幸早逝，沒有與他們一起領獎。馬科維茨研究的是這樣一個問題：一個投資者同時在許多種證券上投資，那么應該如何選擇各種證券的投資比例，使得投資收益最大，風險最小。馬科維茨在觀念上的最大貢獻，在于他把收益與風險這兩個原本有點含糊的概念明確為具體的數學概念。由于證券投資上的收益是不確定的，馬科維茨首先把證券的收益率看作一個隨機變量，而收益定義為這個隨機變量的均值(數學期望)，風險則定義為這個隨機變量的標準差(這與人們通常把風險看作可能有的損失的思想相差甚遠)。于是，如果把各證券的投資比例看作變量，問題就可歸結為怎樣使證券組合的收益最大、風險最小的數學規劃。對每一

10、固定收益都求出其最小風險，那么在風險-收益平面上，就可畫出一條曲線，它稱為組合前沿。馬科維茨理論的基本結論是：在證券允許賣空的條件下，組合前沿是一條雙曲線的一支;在證券不允許賣空的條件下，組合前沿是若干段雙曲線段的拼接。組合前沿的上半部稱為有效前沿。對于有效前沿上的證券組合來說，不存在收益和風險兩方面都優于它的證券組合。這對于投資者的決策來說自然有很重要的參考價值。 馬科維茨理論是一種純技術性的證券組合選擇理論。這一理論是他在芝加哥大學作的博士論文中提出的。但在論文答辯時，它被一位當時已享有盛名、后以貨幣主義而獲1976年諾貝爾經濟學獎的弗里德曼(M.Friedman，1912 )斥之為“這不

11、是經濟學”!為此，馬科維茨不得不引入以收益和風險為自變量的效用函數，來使他的理論納入通常的一般經濟均衡框架。馬科維茨的學生夏普(W.Sharpe，1934 )和另一些經濟學家，則進一步在一般經濟均衡的框架下，假定所有投資者都以這種效用函數來決策，從而導出全市場的證券組合收益率是有效的以及所謂資本資產定價模型(Capital Asset Pricing Model，簡稱CAPM)。夏普因此與馬科維茨一起榮獲1990年諾貝爾經濟學獎。另一位1981年諾貝爾經濟學獎獲得者托賓(J.Tobin，1918 )在對于允許賣空的證券組合選擇問題的研究中，導出每一種有效證券組合都是一種無風險資產與一種特殊的風

12、險資產的組合(它稱為二基金分離定理)，從而得出一些宏觀經濟方面的結論。在1990年與馬科維茨、夏普一起分享諾貝爾獎的另一位經濟學家是新近剛去世的米勒。他與另一位在1985年獲得諾貝爾獎的莫迪利阿尼(F.Modigliani，1918 )一起在1958年以后發表了一系列論文，探討“公司的財務政策(分紅、債權/股權比等)是否會影響公司的價值”這一主題。他們的結論是：在理想的市場條件下，公司的價值與財務政策無關。這些結論后來就被稱為莫迪利阿尼-米勒定理。他們的研究不但為公司理財這門新學科奠定了基礎，并且首次在文獻中明確提出無套利假設。所謂無套利假設，是指在一個完善的金融市場中，不存在套利機會(即確定

13、的低買高賣之類的機會)。因此，如果兩個公司將來的(不確定的)價值是一樣的，那么它們今天的價值也應該一樣，而與它們財務政策無關;否則人們就可通過買賣兩個公司的股票來獲得套利。達到一般經濟均衡的金融市場顯然一定滿足無套利假設。這樣，莫迪利阿尼-米勒定理與一般經濟均衡框架是相容的。但是，直接從無套利假設出發來對金融產品定價，則使論證大大簡化。這就給人以啟發，不必非要背上沉重的一般經濟均衡的十字架不可，從無套利假設出發就已可為金融產品的定價得到許多結果。從此，金融經濟學就開始以無套利假設作為出發點。以無套利假設作為出發點的一大成就也就是布萊克-肖爾斯期權定價理論。所謂(股票買入)期權是指以某固定的執行

14、價格在一定的期限內買入某種股票的權利。期權在它被執行時的價格很清楚，即：如果股票的市價高于期權規定的執行價格，那么期權的價格就是市價與執行價格之差;如果股票的市價低于期權規定的執行價格，那么期權是無用的，其價格為零。現在要問：期權在其被執行前應該怎樣用股票價格來定價?為解決這一問題，布萊克和肖爾斯先把模型連續動態化。他們假定模型中有兩種證券，一種是債券，它是無風險證券，也是證券價值的計量基準，其收益率是常數;另一種是股票，它是風險證券，沿用馬科維茨的傳統，它也可用證券收益率的期望和方差來刻畫，但是動態化以后，其價格的變化滿足一個隨機微分方程，其含義是隨時間變化的隨機收益率，其期望值和方差都與時

15、間間隔成正比。這種隨機微分方程稱為幾何布朗運動。然后，利用每一時刻都可通過股票和期權的適當組合對沖風險，使得該組合變成無風險證券，從而就可得到期權價格與股票價格之間的一個偏微分方程，其中的參數是時間、期權的執行價格、債券的利率和股票價格的“波動率”。出人意料的是,這一方程居然還有顯式解。于是布萊克-肖爾斯期權定價公式就這樣問世了。與馬科維茨的遭遇類似，布萊克-肖爾斯公式的發表也困難重重地經過好幾年。與   你正在瀏覽的金融論文是從數理經濟學到數理金融學的百年回顧         

16、60;  市場中投資人行為無關的金融資產的定價公式，對于習慣于用一般經濟均衡框架對商品定價的經濟學家來說很難接受。這樣，布萊克和肖爾斯不得不直接到市場中去驗證他們的公式。結果令人非常滿意。有關期權定價實證研究結果先在1972年發表，然后再是理論分析于1973年正式發表。與此幾乎同時的是芝加哥期權交易所也在1973年正式推出16種股票期權的掛牌交易(在此之前期權只有場外交易)，使得衍生證券市場從此蓬蓬勃勃地發展起來。布萊克-肖爾斯公式也因此有數不清的機會得到充分驗證，而使它成為人類有史以來應用最頻繁的一個數學公式。布萊克-肖爾斯公式的成功與默頓的研究是分不開的，后者甚至在把他

17、們的理論深化和系統化上作出更大的貢獻。默頓的研究后來被總結在1990年出版的連續時間金融學一書中。對金融問題建立連續時間模型也在近30年中成為金融學的核心。這如同連續變量的微分學在瓦爾拉斯時代進入經濟學那樣，盡管現實的經濟變量極少是連續的，微分學能強有力地處理經濟學中的最大效用問題;而連續變量的金融模型,同樣使強有力的隨機分析更深刻地揭示金融問題的隨機性。不過，用連續時間模型來處理金融問題并非從布萊克-肖爾斯-默頓理論開始。1950年代，薩繆爾森就已發現，一位幾乎被人遺忘的法國數學家巴施里葉(L.Bachelier，18701946)早在1900年已在其博士論文投機理論中用布朗運動來刻畫股票的

18、價格變化，并且這是歷史上第一次給出的布朗運動的數學定義，比人們熟知的愛因斯坦(A.Einstein，18791955)1905年的有關布朗運動的研究還要早。尤其是，巴施里葉實質上已開始研究期權定價理論，而布萊克-肖爾斯-默頓的工作其實都是在薩繆爾森的影響下，延續了巴施里葉的工作。這樣一來，數理金融學的“祖師爺”就成了巴施里葉。對此，法國人感到很自豪，最近他們專門成立了國際性的“巴施里葉協會”。2000年6月，協會在巴黎召開第一屆盛大的國際“巴施里葉會議”，以紀念巴施里葉的論文問世100周年。誰將是下一位金融學諾貝爾經濟學獎得主法瑪的另一方面影響極大的重要研究是最近幾年來他與弗蘭齊(K.Fren

19、ch)等人對CAPM的批評。他們認為，以市場收益率來刻畫股票收益率，不足以解釋股票收益率的各種變化，并建議引入公司規模以及股票市值與股票帳面值的比作為新的解釋變量。他們的一系列論文引起金融界非常熱烈的爭論，并且已開始被人們廣泛接受。雖然他們的研究基本上還停留在計量經濟學的層次，但勢必會對數理金融學的結構產生根本影響。法瑪的研究是金融學中典型的“微觀規范”與實證的研究。至于“宏觀規范”的研究，應該提到關于不完全市場的一般經濟均衡理論研究。由無套利假設得出的資產定價基本定理以及原有的布萊克-肖爾斯理論，實際上只能對完全市場中的金融資產唯一定價。這里的完全市場是指作為定價出發點的基本資產(無風險證券、標的資產等)能使每一種風險資產都可以表達為它們的組合。實際情況自然不會是這樣。關于不完全證券市場的一般經濟均衡模型是拉德納(R.Radner)于1972年首先建立的，他同時在對賣空有限制的條件下，證明了均衡的存在性。但是過了三年，哈特(O.Ha