1、第二章推理與證第二章推理與證明復習小結明復習小結推推理理與與證證明明推理推理證明證明合情推理合情推理演繹推理演繹推理直接證明直接證明數學歸納法數學歸納法間接證明間接證明 比較法比較法類比推理類比推理歸納推理歸納推理 分析法分析法 綜合法綜合法 反證法反證法知識結構知識結構b bc c + + c ca ac ca a + + a ab ba ab b + + b bc c= =+ + +2 22 22 22 22 22 2 a ab bc c+ +a a b bc c + +a ab b c c= =a a + +b b + +c c. . 法法1 1: : a a、b b、c c 不不相相等

2、等正正 ，且且a ab bc c = = 1 1，1 11 11 1 + + += = b bc c + + c ca a + + a ab ba ab bc c證證為為數數例例. .已已知知a a、b b、c c 不不相相等等正正 ，且且a ab bc c = =1 1，1 11 11 1 求求 ：a a + +b b + +c c + + +. .a ab bc c為為數數證證.1 11 11 1a a + +b b + +c c + + +成成立立a ab bc c一一.綜合法綜合法1 11 11 11 11 11 1+ + + +b bc cc ca aa ab b + + +2 22

3、 22 2111111=+.=+.abcabc 法法2 2: :a a、b b、c c 不不相相等等正正 ，且且a ab bc c= =1 1，1 11 11 1 a a + + b b+ + c c = =+ + +b bc cc ca aa ab b證證為為數數.111111 a +b +c +成a +b +c +成立立abcabc例例. .已已知知a a、b b、c c 不不相相等等正正 ，且且a ab bc c = = 1 1，1 11 11 1 求求 ：a a + +b b + +c c 5 5， 求求 ：a a - - 5 5 - -a a - - 3 3 a a - - 2 2

4、- -a a . .證證 證明證明: : 要證要證 只需證只需證 只需證只需證 只需證只需證 只需證只需證 因為因為 成立成立. . 所以所以 成立成立. .a a- -5 5 - - a a- -3 3 a a- -2 2 - - a a a a- -5 5a a a a- -2 2+ + a a- -3 3a a( (a a- -5 5) ) ( (a a- -2 2) )( (a a- -3 3) )a a( (a a- -5 5) ) ( (a a- -2 2) )( (a a- -3 3) )0 0 6 60 0 6 6a a- -5 5 - - a a- -3 3 ,1,2 211

5、111+1,1+1,2323111111311111131+,1+,23456722345672111111111111111+21+22345671523456715你能得到怎樣的一般不等式，并加以證明。你能得到怎樣的一般不等式，并加以證明。例例: :平面內有平面內有n n條直線條直線, ,其中任何兩條不平行其中任何兩條不平行, ,任何三條任何三條不過同一點不過同一點, ,證明交點的個數證明交點的個數f(n)f(n)等于等于n(n-1)/2.n(n-1)/2.證證:(1):(1)當當n=2n=2時時, ,兩條直線的交點只有兩條直線的交點只有1 1個個, ,又又f(2)=2f(2)=2(2-1

6、)/2=1,(2-1)/2=1,因此因此, ,當當n=2n=2時命題成立時命題成立. .(2)(2)假設當假設當n=k(k2)n=k(k2)時命題成立時命題成立, ,就是說就是說, ,平面內滿足平面內滿足 題設的任何題設的任何k k條直線的交點個數條直線的交點個數f(k)f(k)等于等于k(k-1)/2.k(k-1)/2.以下來考慮平面內有以下來考慮平面內有k+1k+1條直線的情況條直線的情況. .任取其中任取其中的的1 1條直線條直線, ,記作記作l.l.由歸納假設由歸納假設, ,除除l l以外的其他以外的其他k k條直線的交點個數條直線的交點個數f(k)f(k)等于等于k(k-1)/2.k

7、(k-1)/2.另外另外, ,因為已知任何兩條直線不平行因為已知任何兩條直線不平行, ,所以直線所以直線l l必與平面內其他必與平面內其他k k條直線都相交條直線都相交, ,有有k k個交點個交點. .又因為已知任何三條直線不過同一點又因為已知任何三條直線不過同一點, ,所以上面的所以上面的k k個交點兩兩不相同個交點兩兩不相同, ,且與平面內其他的且與平面內其他的k(k-1)/2k(k-1)/2個個交點也兩兩不相同交點也兩兩不相同. .從而平面內交點的個數是從而平面內交點的個數是k(k-1)/2+k=k(k-1)+2/2 =(k+1)(k+1)-1/2.k(k-1)/2+k=k(k-1)+2

8、/2 =(k+1)(k+1)-1/2.這就是說這就是說, ,當當n=k+1n=k+1時時,k+1,k+1條直線的交點個數為條直線的交點個數為: :f(k+1)=(k+1)(k+1)-1/2.f(k+1)=(k+1)(k+1)-1/2.根據根據(1)(1)、(2)(2)可知可知, ,命題對一切大于命題對一切大于1 1的正整數都的正整數都 成成立立. .說明說明: :用數學歸納法證明幾何問題用數學歸納法證明幾何問題, ,重難點是處理好當重難點是處理好當 n=k+1 n=k+1時利用假設結合幾何知識證明命題成立時利用假設結合幾何知識證明命題成立. .注注: :在上例的題設條件下還可以有如下二個結論在

9、上例的題設條件下還可以有如下二個結論: :(1)(1)設這設這n n條直線互相分割成條直線互相分割成f(n)f(n)條線段或射線條線段或射線, ,-則則: f(n)=n2.: f(n)=n2.(2)(2)這這n n條直線把平面分成條直線把平面分成(n2+n+2)/2(n2+n+2)/2個區域個區域. .練習練習1:1:凸凸n n邊形有邊形有f(n)f(n)條對角線條對角線, ,則凸則凸n+1n+1邊形的對角線邊形的對角線 -的條數的條數f(n+1)=f(n)+_.f(n+1)=f(n)+_.n-1n-1練習練習2:2:設有通過一點的設有通過一點的k k個平面個平面, ,其中任何三個平面或其中任何三個平面或 三個以上的平面不共有一條直線三個以上的平面不共有一條直線, ,這這k k個平面將個平面將 空間分成空間分成f(k)f(k)個區域個區域, ,則則k+1k+1個平面將空間分成個平面將空間分成 f(k+1)=f(k)+_ f(k+1)=f(k)+_個區域個區域. .