1、精選優質文檔-傾情為你奉上5-3-4.分解質因數（一）教學目標1. 能夠利用短除法分解2. 整數唯一分解定理：讓學生自己初步領悟“任何一個數字都可以表示為的結構，而且表達形式唯一”知識點撥一、質因數與分解質因數（1）.質因數：如果一個質數是某個數的約數，那么就說這個質數是這個數的質因數.（2）.互質數：公約數只有1的兩個自然數，叫做互質數.（3）.分解質因數：把一個合數用質因數相乘的形式表示出來，叫做分解質因數.例如：.其中2、3、5叫做30的質因數.又如，2、3都叫做12的質因數，其中后一個式子叫做分解質因數的標準式，在求一個數約數的個數和約數的和的時候都要用到這個標準式.分解質因數往往是解

2、數論題目的突破口，因為這樣可以幫助我們分析數字的特征.（4）.分解質因數的方法：短除法例如：，（是短除法的符號） 所以；二、唯一分解定理任何一個大于1的自然數n都可以寫成質數的連乘積，即：其中為質數，為自然數，并且這種表示是唯一的.該式稱為n的質因子分解式.例如：三個連續自然數的乘積是210，求這三個數.分析：210=2×3×5×7，可知這三個數是5、6和7.三、部分特殊數的分解；.例題精講模塊一、分解質因數【例 1】 分解質因數20034= 。【考點】分解質因數 【難度】1星 【題型】填空【關鍵詞】走美杯，決賽，5年級，決賽，第2題，10分【解析】 原式 【答案

3、】【例 2】 三個連續自然數的乘積是，求這三個數是多少？ 【解析】 分解質因數：，可知這三個數是、和。 【答案】、和【例 3】 兩個連續奇數的乘積是，這兩個奇數之和是多少? 【解析】 分解質因數：()()，所以和為.本講不僅要求學生熟練掌握分解質因數，而且要注意一些技巧，例如本題中的。【答案】【例 4】 今年是2010年，從今年起年份數正好為三個連續正整數乘積的第一個年份是 。【考點】分解質因數 【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】而思杯，6年級，1試，第3題【解析】 ，所以是2184 【答案】【例 5】 如果兩個合數互質，它們的最小公倍數是126，那么，它們的和是 【考點】分解質因數 【難度

4、】2星 【題型】填空【關鍵詞】迎春杯，五年級,初賽，第3題【解析】 ，因為兩個數互質且都是合數，所以這兩個數只能為和，它們的和為【答案】【例 6】 4個一位數的乘積是360，并且其中只有一個是合數，那么在這4個數字所組成的四位數中，最大的一個是多少？【考點】分解質因數 【難度】2星 【題型】解答【解析】 將360分解質因數得，它是6個質因數的乘積.因為題述的四個數中只有一個是合數，所有該合數必至少為個質因數的積，又只有3個2相乘才能是一位數，所以這4個乘數分別為3，3，5，8，所組成的最大四位數是8533.【答案】8533【例 7】 如果兩個自然數的和與差的積是23，那么這兩個自然數的和除以這

5、兩個數的差的商是_。【考點】分解質因數 【難度】2星 【題型】填空【關鍵詞】希望杯，4年級，初賽，4題【解析】 根據題意列式子如下：，因為分解質因數是與，所以，根據和差關系算出，所以這兩個自然數的和除以這兩個自然數的差的商為23，【答案】【例 8】 甲數比乙數大，乙數比丙數大，三個數的乘積是，求這三個數？ 【考點】分解質因數 【難度】2星 【題型】解答【解析】 將分解質因數，則其中必有一個數是或的倍數；經試算，恰好，所以這三個數即為，.一般象這種類型的題，都是從最大的那個質因數去分析.如果這道題里不符合要求，下一個該考慮，再下一個該考慮，依此類推 【答案】，【例 9】 四個連續自然數的乘積是3

6、024，這四個自然數中最大的一個是多少？ 【考點】分解質因數 【難度】2星 【題型】填空【解析】 分解質因數，考慮其中最大的質因數7，說明這四個自然數中必定有一個是7的倍數.若為7，因3024不含有質因數5，那么這四個自然數可能是6、7、8、9或7、8、9、10(10仍含有5，不行)，經檢驗6、7、8、9恰符合.【答案】9【例 10】 植樹節到了，某市舉行大型植樹活動，共有1430人參加植樹，要把人數分成相等的若干隊，且每隊人數在100至200之間，則有分法（ ）。A、3種 B、7種 C、11種 D、13種【考點】分解質因數 【難度】3星 【題型】選擇【關鍵詞】華杯賽，五年級，初賽，第4題【解

7、析】 只要找到100到200之間可以整除1430的數即可。1430可分解成2，5，11，13的乘積，所以可以按每組110人，130人，143人分組，共有3個方案。所以答案為A【答案】【例 11】 將19九個自然數分成三組，每組三個數.第一組三個數的乘積是48，第二組三個數的乘積是45，第三組三個數字之和最大是多少？【考點】分解質因數 【難度】2星 【題型】解答【解析】 分解質因數，可知45只能是1，5，9的乘積，而48可能是2，4，6或2，3，8或1，6，8(舍去)，則第三組的三個數可能是3，7，8或4，6，7，其中和最大的是.【答案】18【例 12】 一個長方體的長、寬、高都是整數厘米，它的

8、體積是1998立方厘米，那么它的長、寬、高的和的最小可能值是多少厘米? 【考點】分解質因數 【難度】3星 【題型】解答【解析】 我們知道任意個已確定個數的數的乘積一定時，它們相互越接近，和越小如3個數的積為18，則三個數為2、3、3時和最小，為81998=2×3×3×3×37，37是質數，不能再分解，所以2×3×3×3對應的兩個數應越接近越好有2×3×3×3=6×9時，即1998=6×9×37時，這三個自然數最接近它們的和為6+9+37=52(厘米)【答案】52【例

9、 13】 一個長方體的長、寬、高是連續的3個自然數，它的體積是39270立方厘米，那么這個長方體的表面積是多少平方厘米? 【考點】分解質因數 【難度】3星 【題型】解答【解析】 39270=2×3×5×7×11×17，為三個連續自然數的乘積，而34×34×34最接近39270，39270的約數中接近或等于34的有35、34、33，有33×34×35=39270所以33、34、35為滿足題意的長、寬、高則長方體的表面積為：2×(長×寬+寬×高+高×長)=2×

10、(33×34+34×35+35×33)=6934(平方厘米)方法二：39270=2×3×5×7×11×17，為三個連續自然數的乘積，考慮質因數17，如果17作為長、寬或高顯然不滿足當17與2結合即34作為長方體一條邊的長度時有可能成立，再考慮質因數7，與34接近的數3236中，只有35含有7，于是7與5的乘積作為長方體的一條邊的長度而39270的質因數中只剩下了3和1l，所以這個長方體的大小為33×34×35長方體的表面積為2×(+)=2×(1190+1155+1122)=2

11、×3467=6934(平方厘米) 【答案】6934【例 14】 如果兩數的和是64，兩數的積可以整除4875，那么這兩個數的差等于多少？ 【解析】 4875=3×5×5×5×13，有a×b為4875的約數，且這兩個數的和為64發現39=3×13、25=5×5這兩個數的和為64，所以39、25為滿足題意的兩個數那么它們的差為39-25=14。 【答案】14【例 15】 有一種最簡真分數，它們的分子與分母的乘積都是140如果把所有這樣的分數從小到大排列，那么第三個分數是多少？ 【解析】 有140=2×2

12、15;5×7，要保證分數最簡即要讓分子與分母是互質的，那么兩個質因數2必須同時位于分子或者同時位于分母的位置上。這樣由小到大的最簡分數依次是，倒數第三小的是。 【答案】【例 16】 純循環小數寫成最簡分數時,分子和分母的和是,則三位數【考點】分解質因數 【難度】3星 【題型】填空【解析】 如果直接把轉化為分數,應該是,因此,化成最簡分數后的分母應該是999的約數,我們將分解質因數得: ,這個最簡分數的分母應小于,而且大于,否則該分 數就變成了假分數了,符合這個要求的的約數就只有37了,因此,分母應當為37,分子就是,也就是說,因此.【答案】567模塊二、分解質因式【例 17】 三個質

13、數的乘積恰好等于它們和的11倍，求這三個質數. 【考點】分解質因式 【難度】2星 【題型】解答【解析】 設這三個質數分別是、，滿足，則可知、中必有一個為11，不妨記為，那么，整理得()()，又，對應的、或、或、 (舍去)，所以這三個質數可能是2，11，13或3，7，11.【答案】2、11、13或3、7、11【例 18】 如圖，長方形周長為，面積為。另一個長方形，面積為，周長為。它的長是 ，寬是 。【解析】 周長為則，長和寬的和為，因為，因為，所以它的長是，寬是。【答案】長是，寬是【例 19】 在面前有一個長方體，它的正面和上面的面積之和是209，如果它的長、寬、高都是質數，那么這個長方體的體積是多少? 【考點】分解質因式 【難度】3星 【題型】解答【解析】 如下圖，設長、寬、高依次為a、b、c，有正面和上面的和為ac+ab=209 ac+ab=a×(c+b)=209，而209=11×19當a=11時，c+b=19，當兩個質數的和為奇數，則其中必定有一個數為偶質數2，則c+b=2+17;當a=19時，c+b=11，則c+b=2+9，b為9不是質數，所以不滿足題意所以它們的乘積為11×2×17=374 【答案】374【鞏固】 已知兩個自然數的積是3363，差是2，則這兩個自然數的和是_.【答案】57+59=