1、精選優質文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業 橢圓的有關題型大全橢圓的有關題型大全(教師版) 一、一、直線與直線與橢圓位置關系橢圓位置關系： 1.點與橢圓的位置關系點與橢圓的位置關系 點 P(x0，y0)在橢圓12222byax內部的充要條件是1220220byax；在橢圓外部的充要條件是1220220byax； 在橢圓上的充要條件是1220220byax. 2.直線與橢圓的位置關系直線與橢圓的位置關系. 設直線 l：Ax+By+C=0，橢圓 C：12222byax，聯立 l 與 C，消去某一變量(x 或 y)得到關于另一個變量的一元二次方程，此一元二次方程的判別式為， 則 l 與 C 相離的

2、0. 3. 計 算 橢 圓 被 直 線 截 得 的 弦 長 ， 往 往 是 設 而 不 求 ， 即 設 弦 兩 端 坐 標 為P1(x1， y1) ， P2(x2，y2)|P1P2|=221221)()(yyxx 212212111yykxxk（k 為直線斜率） 形式(利用根與系數關系 （推導過程：若點1122( ,)(,)A x yB xy，在直線(0)ykxb k上， 則1122ykxbykxb，這是同點縱橫坐標變換，是兩大坐標變換技巧之一， 2222221212121212()()()()(1)()ABxxyyxxkxkxkxx 22121 2(1)()4kxxx x 或者2222212

3、121212122111()()()()(1)()ABxxyyxxyyyykkk 2121221(1)()4yyy yk。) 4.橢圓中點弦問題的兩種方法橢圓中點弦問題的兩種方法 (1)根與系數的關系法：聯立直線方程和橢圓方程構成方程組，消去一個未知數，利用一元二次方程根與系數的關系以及中點坐標公式解決； (2)點差法：利用交點在曲線上，坐標滿足方程，將交點坐標分別代入橢圓方程，然后作差，構造出中點坐標和斜率的關系，具體如下：已知 A(x1，y1)，B(x2，y2)是橢圓x2a2y2b21(ab0)上的兩個不同的點，M(x0，y0)是線精選優質文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業 段 AB 的

4、中點， 【則kABb2x0a2y0】 則 x21a2y21b21， x22a2y22b21， 由，得1a2(x21x22)1b2(y21y22)0，變形得y1y2x1x2b2a2x1x2y1y2b2a2x0y0，即kABb2x0a2y0. 例題講解：例題講解： 一，直線與橢圓的位置關系一，直線與橢圓的位置關系 例題例題 1 1、判斷直線、判斷直線03 ykx與橢圓與橢圓141622yx的位置關系的位置關系 解：由1416322yxkxy可得02024) 14(22kxxk )516(162k （1）當45450)516(162kkk或即時，直線03 ykx與橢圓141622yx相交 （2）當4

5、5450)516(162kkk或即時，直線03 ykx與橢圓141622yx相切 （3）當45450)516(162kk即時，直線03 ykx與橢圓141622yx相離 例題例題 2 2、若直線、若直線)( 1Rkkxy與橢圓與橢圓1522myx恒有公共點，求實數恒有公共點，求實數m的取值范圍的取值范圍 解法一： 由15122myxkxy可得05510)5(22mkxxmk，0152km即1152 km 51mm且 解法二：直線恒過一定點) 1 , 0( 當5m時，橢圓焦點在x軸上，短半軸長mb ，要使直線與橢圓恒有交點則1m即51 m 當5m時，橢圓焦點在y軸上，長半軸長5a可保證直線與橢圓

6、恒有交點即5m 綜述：51mm且 精選優質文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業 解法三：直線恒過一定點) 1 , 0( 要使直線與橢圓恒有交點，即要保證定點) 1 , 0(在橢圓內部115022m即1m 51mm且 評述由直線方程與橢圓方程聯立的方程組解的情況直接導致兩曲線的交點狀況，而方程解的情況由判別式來決定，直線與橢圓有相交、相切、相離三種關系，直線方程與橢圓方程聯立，消去y或x得到關于x或y的一元二次方程，則（1）直線與橢圓相交0（2）直線與橢圓相切0（3）直線與橢圓相離0，所以判定直線與橢圓的位置關系，方程及其判別式是最基本的工具。或者可首先判斷直線是否過定點，并且初定定點在橢圓內、

7、外還是干脆就在橢圓上，然后借助曲線特征判斷：如例 2 中法二是根據兩曲線的特征觀察所至；法三則緊抓定點在橢圓內部這一特征：點),(ooyxM在橢圓內部或在橢圓上則12222byaxoo 二、弦長問題二、弦長問題 例例 3 3、已知橢圓、已知橢圓11222yx的左右焦點分別的左右焦點分別為為 F F1 1,F,F2 2，若過點，若過點 P P（0 0，- -2 2）及）及 F F1 1的直線交橢圓于的直線交橢圓于 A,BA,B 兩點，兩點， 求求ABFABF2 2的面積的面積 解法一：由題可知：直線ABl方程為022 yx 由1122222yxxy可得04492yy，91044)(2122121

8、yyyyyy 9104212121yyFFS 解法二：2F到直線 AB 的距離554h 由1122222yxxy可得061692xx，又92101212xxkAB 910421hABS 評述在利用弦長公式212212111yykxxkAB（k 為直線斜率）或焦（左）半徑公式)(22212121xxeaexaexaPFPFAB時，應結合韋達定理解決問題。 精選優質文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業 例題例題 4 4、 已知長軸為已知長軸為 1212，短軸長為，短軸長為 6 6，焦點在，焦點在x軸上的橢圓，過它對的左焦點軸上的橢圓，過它對的左焦點1F作傾斜解為作傾斜解為3的直線交橢圓于的直線交橢

9、圓于A，B兩點，求弦兩點，求弦AB的長的長 分析：可以利用弦長公式4)(1 (1212212212xxxxkxxkAB求得， 也可以利用橢圓定義及余弦定理，還可以利用焦點半徑來求 解：(法 1)利用直線與橢圓相交的弦長公式求解 2121xxkAB4)(1 (212212xxxxk因為6a，3b，所以33c因為焦點在x軸上， 所以橢圓方程為193622yx，左焦點)0,33(F，從而直線方程為93 xy 由直線方程與橢圓方程聯立得：0836372132xx設1x，2x為方程兩根，所以1337221xx，1383621xx，3k， 從而13484)(1 (1212212212xxxxkxxkAB

10、(法 2)利用橢圓的定義及余弦定理求解 由題意可知橢圓方程為193622yx，設mAF 1，nBF 1，則mAF122，nBF122 在21FAF中，3cos22112212122FFAFFFAFAF，即21362336)12(22mmm； 所以346m同理在21FBF中，用余弦定理得346n，所以1348nmAB 例題例題 5 5、已知已知)2,4(P是直線是直線l被橢圓被橢圓193622yx所截得的線段的中點，求直線所截得的線段的中點，求直線l的方程的方程 分析：本題考查直線與橢圓的位置關系問題通常將直線方程與橢圓方程聯立消去y(或x)，得到關于x(或y)的一元二次方程，再由根與系數的關系

11、，直接求出21xx ，21xx(或21yy ，21yy)的值代入計算即得 并不需要求出直線與橢圓的交點坐標，這種“設而不求”的方法，在解析幾何中是經常采用的 解：方法一：設所求直線方程為)4(2xky代入橢圓方程，整理得 036)24(4)24(8) 14(222kxkkxk 設直線與橢圓的交點為),(11yxA，),(22yxB，則1x、2x是的兩根，14)24(8221kkkxx )2,4(P為AB中點，14)24(424221kkkxx，21k所求直線方程為082 yx 精選優質文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業 方法二：設直線與橢圓交點),(11yxA，),(22yxB)2,4(P為

12、AB中點，821xx，421 yy 又A，B在橢圓上，3642121 yx，3642222 yx兩式相減得0)(4)(22212221yyxx， 即0)(4)(21212121yyyyxxxx21)(4)(21212121yyxxxxyy直線方程為082 yx 方法三：設所求直線與橢圓的一個交點為),(yxA，另一個交點)4,8(yxB A、B在橢圓上，36422 yx 。 36)4(4)8(22yx 從而A，B在方程的圖形082 yx上，而過A、B的直線只有一條，直線方程為082 yx 說明：直線與圓錐曲線的位置關系是重點考查的解析幾何問題， “設而不求”的方法是處理此類問題的有效方法 若已

13、知焦點是)0,33(、)0,33(的橢圓截直線082 yx所得弦中點的橫坐標是 4， 則如何求橢圓方程？ 例題例題 6 6、已知橢圓已知橢圓1422 yx及直線及直線mxy （1 1）當）當m為何值時，直線與橢圓有公共點？為何值時，直線與橢圓有公共點？ （2 2）若直線被橢圓截得的弦長為）若直線被橢圓截得的弦長為5102，求直線的方程，求直線的方程 解： （1）把直線方程mxy代入橢圓方程1422 yx得 1422mxx， 即012522mmxx020161542222mmm，解得2525m （2）設直線與橢圓的兩個交點的橫坐標為1x，2x，由（1）得5221mxx，51221mxx 根據弦長

14、公式得 ：51025145211222mm解得0m方程為xy 說明：處理有關直線與橢圓的位置關系問題及有關弦長問題，采用的方法與處理直線和圓的有所區別這里解決直線與橢圓的交點問題，一般考慮判別式；解決弦長問題，一般應用弦長公式用弦長公式，若能合理運用韋達定理（即根與系數的關系） ，可大大簡化運算過程 例例 7 7：(2011 高考陜西卷高考陜西卷) 設橢圓 C：x2a2y2b21(ab0)過點(0，4)，離心率為35. (1)求 C 的方程； (2)求過點(3，0)且斜率為45的直線被 C 所截線段的中點坐標 解：(1)將(0，4)代入 C 的方程得16b21， b4. 又由 eca35得a2

15、b2a2925， 即 116a2925，a5. C 的方程為x225y2161. 精選優質文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業 (2)過點(3，0)且斜率為45的直線方程為 y45(x3)， 設直線與 C 的交點為 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 將直線方程 y45(x3)代入 C 的方程，得x225（x3）2251，即 x23x80， x1x23.又45323 65， 中點坐標為32，65. 二、二、橢圓焦點三角形橢圓焦點三角形的周長、的周長、面積公式的應用面積公式的應用： 定理定理 在在橢圓橢圓12222byax（ab0）中，焦點分別為）中，焦點分別為1F、2F，點，點 P 是橢圓上

16、任意一是橢圓上任意一點，點，21PFF，則，則2tan221bSPFF. 證明：記2211| ,|rPFrPF，由橢圓的第一定義得 .4)(,2222121arrarr 在21PFF中，由余弦定理得：.)2(cos22212221crrrr 配方得：.4cos22)(22121221crrrrrr 即.4)cos1 (242212crra .cos12cos1)(222221bcarr 由任意三角形的面積公式得： 2tan2cos22cos2sin2cos1sinsin2122222121bbbrrSPFF. .2tan221bSPFF 同理可證，在橢圓同理可證，在橢圓12222bxay（ab

17、0）中，公式仍然成立）中，公式仍然成立. 例題講解：例題講解： 例例 1 若若 P 是橢圓是橢圓16410022yx上的一點，上的一點，1F、2F是其焦點，且是其焦點，且6021PFF，求，求 P y F1 O F2 x P 精選優質文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業 21PFF的面積的面積. 解法一：在橢圓16410022yx中，, 6, 8,10cba而.60記.| ,|2211rPFrPF 點 P 在橢圓上， 由橢圓的第一定義得：.20221arr 在21PFF中，由余弦定理得：.)2(cos22212221crrrr 配方，得：.1443)(21221rrrr .144340021r

18、r從而.325621rr .336423325621sin212121rrSPFF 解法二解法二：在橢圓在橢圓16410022yx中，中，642b，而，而.60 .336430tan642tan221bSPFF 解法一復雜繁冗，運算量大，解法二簡捷明了，兩個解法的優劣立現！ 例 2、21,FF 是橢圓17922yx的兩個焦點，A為橢圓上一點，且02145FAF，求12AFF的面積 解：1212212 2,6,6FFAFAFAFAF 222022112112112cos4548AFAFFFAF FFAFAF 2211117(6)48,2AFAFAFAF 17272 22222S 例 3：如圖，橢圓x216y291 的左、右焦點分別為 F1，F2，一條直線 l 經過 F1與橢圓交于 A，B 兩點，若直線l 的傾斜角為 45 ，求ABF2的面積 解：由橢圓的方程x216y291 知，a4，b3， c a2b2 7. 由 c 7知 F1( 7，0)，F2( 7，0)，又直線 l 的斜率 ktan 45 1，直線 l 的方程為 xy 70. 精選優質文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業 設 A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由 xy 70，x216y291，消去 x，整理