1、習 題2.1 什么是線性系統?其最重要的特性是什么?下列用微分方程表示的系統中,表示系統輸出,表示系統輸入,哪些是線性系統?(1) (2) (3) (4) 解: 凡是能用線性微分方程描述的系統就是線性系統。線性系統的一個最重要特性就是它滿足疊加原理。該題中（2）和（3）是線性系統。2.2 圖（題2.2）中三同分別表示了三個機械系統。求出它們各自的微分方程，圖中表示輸入位移，表示輸出位移，假設輸出端無負載效應。 圖(題2.2)解: (1)對圖(a)所示系統，由牛頓定律有 即 (2)對圖(b)所示系統，引入一中間變量x,并由牛頓定律有消除中間變量有 (3)對圖(c)所示系統，由牛頓定律有即 2.3

2、求出圖(題2.3)所示電系統的微分方程。 圖（題2.3） 解:(1)對圖(a)所示系統,設為流過的電流,為總電流,則有 消除中間變量,并化簡有 (2)對圖(b)所示系統，設i為電流，則有 消除中間變量,并化簡有2.4 求圖(題2.4)所示機械系統的微分方程。圖中M為輸入轉矩,為圓周阻尼，J為轉動慣量。 解：設系統輸入為M（即），輸出(即)，分別對圓盤和質塊進行動力學分析，列寫動力學方程如下：消除中間變量,即可得到系統動力學方程2.5 輸出y(t)及輸入x(t)的關系為y(t)= 2x(t)+0.5(t)。（1）求當工作點為=0,=1,=2時相應的穩態時輸出值；（2）在這些工作點處作小偏差線性化

3、模型，并以對工作的偏差來定義x和y，寫出新的線性化模型。解: (1) 將 =0,=1,=2分別代入y(t)= 2x(t)+0.5(t)中,即當工作點為=0,=1,=2時相應的穩態輸出值分別為, (2) 根據非線性系統線性化的方法有，在工作點附近,將非線性函數展開成泰勒級數,并略去高階項得 若令,有 當工作點為時, 當工作點為時, 當工作點為時, 2.6已知滑閥節流口流量方程式為，式中Q為通過節流閥流口的流量；p為節流閥流口的前后油壓差；為節流閥的位移量；c為疏量系數；w為節流口面積梯度；為油密度。試以Q及p為變量（即將Q作為P的函數）將節流閥流量方程線性化。解：利用小偏差線性化的概念，將函數Q

4、=F(，p)在預定工作點F(，)處按泰勒級數展開為消除高階項，有若令，將上式改寫為增量方程的形式2.7 已知系統的動力學方程如下,試寫出它們的傳遞函數Y(s)/R(s)。（1）（2）（3）（4）解：根據傳遞函數的定義，求系統的傳遞函數，只需將其動力學方程兩邊分別在零初始條件下進行拉式變換，然后求Y(s)/R(s)。 (1) (3) (4) 2.8 如圖（題2.8）為汽車或摩托車懸浮系統簡化的物理模型，試以位移x為輸入量，位移y為輸出量，求系統的傳遞函數Y(s)/X(s)。2.9 試分析當反饋環節H(s)=1,前向通道傳遞函數G(s)分別為慣性環節、微分環節、積分環節時，輸入、輸出的閉環傳遞函數

5、。解：由于慣性環節、微分環節、積分環節的傳遞函數分別為,而閉環傳遞函數為,則(1)當反饋環節H(s)=1,前向通道傳遞函數G(s)為慣性環節時，(2) 當反饋環節H(s)=1,前向通道傳遞函數G(s)為微分環節時，(3)當反饋環節H(s)=1,前向通道傳遞函數G(s)為積分環節時，2.10 證明圖（題2.10）及圖（題2.3（a）所示系統是相似系統（即證明兩系統的傳遞函數具有相同形式）。解：對題2.4(a)系統，可列出相應的方程。 對以上三式分別作Laplce別換，并注意到初始條件為零,即 則 ,得 , 得 , 得 即 則 將(4)式中的代入(9)式再用(4)式及上式相比以消去,即得電系統的傳

6、遞函數為而本題中，引入中間變量x,依動力學知識有對上二式分別進行拉式變換有 消除有 比較兩系統的傳遞函數有 故這兩個系統為相似系統。2.11 一齒輪系如圖（題2.11）所示。圖中，、和分別為各齒輪齒數；、和表示各種傳動軸上的轉動慣量，、和為各軸的角位移；是電動機輸出轉矩。試列寫折算到電動軸上的齒輪系的運動方程。2.12 求圖（題2.12）所示兩系統的傳遞函數。 圖（題2.12）解：(1)由圖(a)中系統，可得動力學方程為作Laplce別換，得 則有 (2)由圖(b)中系統,設i為電網絡的電流，可得方程為作Laplce別換，得 消除中間變量有 2.13 某直流調速系統如圖（題2.13）所示，為給

7、定輸入量，電動機轉速n為系統的輸出量，電動機的負載轉矩為系統的擾動量。各環節的微分方程：比較環節 比例調節器 （為放大系數）晶閘管觸發整流裝置 (為整流增益)電動機電樞回路 (為電樞回路電阻,為電樞回路電感,為電樞電流 )電樞反電勢 (為反電勢系數)電磁轉矩 (為轉矩系數)負載平衡方程 (為轉動慣量，為負 載轉矩)測速電動機 (為轉速反饋系數)試根據所給出的微分方程，繪制各環節相應的傳遞函數方框圖和控制系數的傳遞函數方框圖，并由方框圖求取傳遞函數和。2.14 試繪制圖（題2.14）所示機械系統傳遞函數方框圖。2.15 若系統傳遞函數方框圖為圖（題2.15）。 (1) 求以為輸入，當時，分別以、

8、為輸出的閉環傳遞函數； (2) 求以為輸入，當時，分別以、為輸出的閉環傳遞函數； (3) 比較以上各傳遞函數的分母，從中可以得出什么結論？ 圖(題2.15)解:(1)求以為輸入，當時:若以為輸出,有 若以為輸出,有 若以為輸出,有 若以為輸出,有 (2) 求以為輸入，當時: 若以為輸出,有 若以為輸出,有 若以為輸出,有 若以為輸出,有 (3)從上可知：對于同一個閉環系統，當輸入的取法不同時，前向通道的傳遞出數不同，反饋回路的傳遞函數不同，系統的傳遞函數也不同，但系統的傳遞函數的分母保持不變，這是因為這一分母反映了系統的固有特性，而及外界無關。2.16 已知某系統的傳遞函數方框圖為圖（題2.1

9、6），其中，為輸入，為輸出,N(s)為干擾，試問：G(s)為何值時，系統可以消除干擾的影響。 圖（題2.16）解：方法一：根據線性系統的疊加原理，令,N(s)為輸入，系統的輸出為其中 令 有 方法二：令，N(s)為輸入，則系統的傳遞函數方框圖可以表示成圖（題2.16.b）所示。圖（題2.16.b） 根據相加點前后移動的規則可以將其進一步簡化成圖（題2 .16. c）和圖（題2.16d）所示的形式。圖（題2.16.c）圖（題2.16.d）因此，系統在N(s)為輸入時的傳遞函數為同樣可得時，系統可消除干擾的影響。2.17 系統結構如圖(題2.17)所示，求系統傳遞函數。2.18 求出（題2.18）

10、所示系統的傳遞函數。圖(題2.18)解：方法一：利用梅遜公式，可得 方法二：利用方框圖簡化規則，有圖（題2.18.b）圖（題2.18.b）2.19 求出圖（題2.19）所示系統的傳遞函數。 圖（題2.19）解：根據方框圖簡化規則，有圖（題2.19.b）圖（題2.19.b）2.20 求出圖（題2.20）所示系統的傳遞函數。 圖（題2.20） 解：根據方框圖簡化規則，有圖（題2.20.b） 圖（題2.20.b）2.21 設描述系統的微分方程為(1) (2) 試導出系統的狀態方程。2.22 RLC電網絡如圖（題2.22）所示，u(t)為輸入，流過電阻的電流為輸出，試列寫該網絡的狀態方程及輸出方程。2.23 系統傳函數方框圖為圖（題2.23），試列寫該系統的狀態方程及輸出方程。2.24 圖（題2.24）為某一級倒立擺系統示意圖?；_通過絲杠傳動，可沿一直線的有界導軌沿水平方向運動；擺桿通過鉸