1、文檔供參考，可復制、編制，期待您的好評與關注！ 復合函數一， 復合函數的定義：設y是u的函數，即y=f(u),u是x的函數，即u=g(x)，且g(x)的值域與f(u)的定義域的交集非空，那么y通過u的聯系成為x的函數，這個函數稱為由y=f(u)，u=g(x)復合而成的復合函數，記作y=fg(x),其中u稱為中間變量。二， 對高中復合函數的通解法綜合分析法1、 解復合函數題的關鍵之一是寫出復合過程例1：指出下列函數的復合過程。（1）y=2-x2 (2)y=sin3x (3)y=sin3x (4)y=3cos1-x2解：() y=2-x2是由y=u,u=2-x2復合而成的。 （2）y=sin3x是

2、由y=sinu,u=3x復合而成的。 （3）y=sin3x=(sinx)-3 y=sin3x是由y=u-3,u=sinx復合而成的。（4）y=3cos1+x2是由y=3cosu,u=r,r=1+x2復合而成的。2、解復合函數題的關鍵之二是正確理解復合函數的定義。看下例題：例：已知f(x+3)的定義域為1、2,求f(2x-5) 的定義域。經典誤解：解：f(x+3)是由y=f(u),u=g(x)=x+3復合而成的。F(2x-5)是由y=f(u2),u2=g(x)=2x-5復合而成的。由g(x),G(x)得：u2=2x-11 即：y=f(u2),u2=2x-11 f(u1)的定義域為1、2x2 -9

3、2x-11-6 即：y=f(u2)的定義域為-9、-6f(2x-5)的定義域為-9、-6經典誤解：解：f(x+3)的定義域為1、2 1x+32 -2x-1 -42x-2 -92x-5-7 f(2x-5)的定義域為-9、-7（下轉2頁）注：通過以上兩例誤解可得，解高中復合函數題會出錯主要原因是對復合函數的概念的理解模棱兩可，從定義域中找出“y”通過u的聯系成為x的函數，這個函數稱為由y=f(u),u=g(x)復合而成的復合函數，記作y=fg(x),其中u稱為“中間變量”。從以上誤解中找出解題者易將f(x+3)的定義域理解成（x+3）的取值范圍，從而導致錯誤。而從定義中可以看出u僅僅是中間變量，即

4、u既不是自變量也不是因變量。復合函數的定義域是指y=f(u),u=g(x)中u=g(x)中的x的取值范圍，即：f(x+3)是由f(u),u=x+3復合而成的復合函數，其定義域是x的取值范圍。正確解法：解:f(x+3)是由y=f(u1),u1=x1+3(1x2)復合而成的。 f(2x-5)是由y=f(u2),u2=2x2-5復合而成的x12 4u15 4u25 42x2-55 2x25 f(2x-5)的定義域為、5結論：解高中復合函數題要注意復合函數的分層，即u為第一層，x為第二層，一、二兩層是不可以直接建立關系的，在解題時，一定是同層考慮，不可異層考慮，若異層考慮則會出現經典誤解與的情況。三、

5、高中復合函數的題型（不包括抽象函數）題型一：單對單，如：已知f(x)的定義域為-1,4,求f(x2)的定義域。題型二：多對多，如：已知f(x+3)的定義域為、,求f（2x-5）的定義域。（下轉3頁）題型三：單對多，如：已知f(x)的定義域為0、1,求f(2x-1)的定義域。題型四：多對單，如：已知f(2x-1)的定義域為0、1,求f(x)的定義域。注：通解法綜合分析法的關鍵兩步：第一步：寫出復合函數的復合過程。 第二步：找出復合函數定義域所真正指代的字母（最為關鍵）下面用綜合分析法解四個題型題型一：單對單：例3：已知f(x)的定義域為-1、4,求f(x2)的定義域。 第1步：寫出復合函數的復合

6、過程：f(x2)是由y=f(u),u=x22復合而成的。（由于要同層考慮，且u與x的取值范圍相同，故可這樣變形）f(x)是由y=f(u),u=x1復合而成的。 f(x)的定義域為-1、4 第2步：找出復合函數定義域的真正對應-1x14 即-1u4 又u=x22 -1x224(x2是所求f(x2)的定義域，此點由定義可找出) -2x22 f(x2)的定義域為(-2,2)結論：此題中的自變量x1,x2通過u聯系起來，故可求解。題型三：單對多：例4：已知f(x)的定義域為0,1,求f(2x-1)的定義域。 第1步：寫出復合函數的復合過程：f(x)是由y=f(u),u=x1復合而成的。 f(2x-1)

7、是由y=f(u),u=2x2-1復合而成. 第2步：找出復合函數定義域的真正對應：0x11 0u1 02x2-11 x21 f(2x-1)的定義域為，1結論：由此題的解答過程可以推出：已知f(x)的定義域可求出y=g(x)的定義域。 下轉4頁題型四：多對單：如：例5：已知f(2x-1)的定義域為0、1,求f(x)的定義域。 第1步：寫出復合函數的復合過程：f(2x-1)是由f(u),u=2x1-1復合而成的。 f(x)是由f(u),u=x2復合而成的。 第2步：找出復合函數定義域對應的真正值：0x11 02x12 -12x1-11 -1u1 -1x21 f(x)的定義域為-1、1結論：由此題的

8、解答過程可以推出：已知y=fg(x)的定義域可求出f(x)的定義域。小結：通過觀察題型一、題型三、題型四的解法可以看出，解題的關鍵在于通過u這個橋梁將x1與x2聯系起來解題。題型二：多對多：如例6：已知f(x+3)的定義域為1、2,求f(2x-5)的定義域。解析：多對多的求解是比較復雜的，但由解題型三與題型四的結論：已知 f(x)的定義域可求出y=fg(x)的定義域”已知y=fg(x)的定義域可求出f(x)的定義域可以推出f(x)與y=fg(x)可以互求。若y1=f(x+3),y2=f(2x-5),同理，已知y1=f(x+3)的定義域，故這里f(x)成為了聯系y1=f(x+3),y2=f(2x

9、-5)的一個橋梁，其作用與以上解題中u所充當的作用相同。所以，在多對多的題型中，可先利用開始給出的復合函數的定義域先求出f(x)，再以f(x)為跳板求出所需求的復合函數的定義域，具體步驟如下：第一步：寫出復合函數的復合過程:f(x+3)是由y=f(u)u=x+3復合而成的。 f(2x-5)是由y2=f(u)u=2x-5復合而成的。第二步：求橋梁f(x)的定義域：1x2 4x+35 4u5 設：函數y3=(u),u=x 下轉4頁 y3=f(x)的定義域為4、5第三步：通過橋梁f(x)進而求出y2=f(2x-5):f(x) 是由y3=f(u),u=x復合而成的 4x5 4u5 42x-55 x25

10、 f(2x-5)的定義域為：5小結：實際上，此題也可以u為橋梁求出f(2x-5), 詳參照例2的解法。四、將以上解答過程有機轉化為高中的標準解答模式。如：例7：已知函數y=f(x)的定義域為0、1，求函數y=f(x2+1)的定義域。 解：函數f(x2+1)中的x2+1相當于f(x)中的x(即u=x2+1,與u=x) 0x2+11 -1x20 x=0 定義域為0小結：本題解答的實質是以u為橋梁求解。例8：已知y=f(2x-1)的定義域為0、1,求函數y=f(x)的定義域。解：由題意：0x1（即略去第二步，先找出定義域的真正對象）。 -12x-11(即求出u,以u為橋梁求出f(x) 視2x-1為一

11、個整體（即u與u的交換）則2x-1相關于f(x)中的x(即u與u的交換，f(x)由y=f(u),u=x復合而成，-1u1, -1x1) 函數f(x)的定義域為-1、1總結：綜合分析法分了個步驟 寫出復合函數的復合過程。 找出復合函數定義域所指的代數。 找出解題中的橋梁（u或f(x)可為橋梁）淺析復合函數的定義域問題一、復合函數的構成設是到的函數，是到上的函數，且，當取遍中的元素時，取遍，那么就是到上的函數。此函數稱為由外函數和內函數復合而成的復合函數。 說明：復合函數的定義域，就是復合函數中的取值范圍。稱為直接變量，稱為中間變量，的取值范圍即為的值域。與表示不同的復合函數。例1設函數，求若的定

12、義域為，則復合函數中，注意：的值域例2：若函數的定義域是0，1，求的定義域；若的定義域是-1，1，求函數的定義域；已知定義域是，求定義域要點1：解決復合函數問題，一般先將復合函數分解，即它是哪個內函數和哪個外函數復合而成的 解答：函數是由A到B上的函數與B到C上的函數復合而成的函數函數的定義域是0，1，B=0,1，即函數的值域為0，1，即，函數的定義域0，函數是由A到B上的函數與B到C上的函數復合而成的函數的定義域是-1，1，A=-1,1，即-1，,即的值域是-3，1，的定義域是-3，1要點2：若已知的定義域為，則的定義域就是不等式的的集合；若已知的定義域為，則的定義域就是函數 的值域。函數是

13、由A到B上的函數與B到C上的函數復合而成的函數的定義域是-4，5),A=-4,5)即，即的值域B=-1，8）又是由到上的函數與B到C上的函數復合而成的函數，而,從而的值域的定義域是1，）例3：已知函數定義域是（a,b），求的定義域解：由題，當，即時，不表示函數；當，即時，表示函數，其定義域為說明： 已知的定義域為(a,b)，求的定義域的方法：已知的定義域為，求的定義域。實際上是已知中間變量的的取值范圍，即，。通過解不等式求得的范圍，即為的定義域。已知的定義域為(a,b)，求的定義域的方法：若已知的定義域為，求的定義域。實際上是已知復合函數直接變量的取值范圍，即。先利用求得的范圍，則的范圍即是的

14、定義域,即使函數的解析式形式所要求定義域真包含的值域，也應以的值域做為所求的定義域，因為要確保所求外含數與已知條件下所要求的外含數是同一函數，否則所求外含數將失去解決問題的有效性。換元法其實質就是求復合函數的外函數，如果外函數的定義域不等于內函數的值域，那么就確定不了的最值或值域。例4：已知函數,求的值域。分析：令，； 則有，復合函數是由與復合而成，而，的值域即的值域，但的本身定義域為,其值域則不等于復合函數的值域了。例5：已知函數，求函數的解析式，定義域及奇偶性。 分析：因為定義域為或 令，；則，且 所以 ，定義域不關于原點對稱，故是非奇非偶函數。 1在等比數列中，已知，則n為 （ ）A2B

15、3C4D52設是公差為2的等差數列，若，則 等于 （ ）A82B82C132D1323已知數列中以后各項由公式給出，則（ ）ABCD4已知成等差數列，成等比數列，則等于（ ）ABC8D85在3和9之間插入兩個正數，使前三個成等比數列，后三個成等差數列，則這兩個數的和是 （ ）ABCD96等差數列的前項和為，若，則= （ ）A190B95C170D857已知是等比數列，對恒成立，且，則等于 （ ）A36BC6D68已知等差數列中，公差；是數列的前n項和，則（ ）ABCD9已知一個等比數列首項為1，項數是偶數，其奇數項之和為85，偶數項之和為170，則這個數列的項數為 （ ）A2B4C8D1610

16、已知數列滿足：，定義使叫做希望數，則區間1，2010內所有希望數的和 （ ）A2026B2036C2046D204811已知數列、都是公差為1的等差數列，其首項分別為、，且，則數列的前10項的和等于 （ ）A65B75C85D9512等差數列的前n項和為，已知，,則（ ）A38 B20 C10 D9 . 二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分把答案填在橫線上13已知數列前4項為4,6,8,10，則其一個通項公式為 _ .14已知1, a1, a2, 4成等差數列，1, b1, b2, b3, 4成等比數列，則_15已知數列的前n項的和滿足,則= 16甲型h1n1流感病毒是寄生在宿主的

17、細胞內的，若該細胞開始時2個，記為，它們按以下規律進行分裂，1 小時后分裂成4個并死去1個，2小時后分裂成6個并死去1個，3小時后分裂成10個并死去1 個，,記n小時后細胞的個數為，則=_(用n表示) 三、解答題：本大題共6小題，共74分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟17（本小題滿分12分）已知數列是一個等差數列，且， （1）求的通項； （2）求前n項和的最小值18（本小題滿分12分）已知是首項為1，公差為1的等差數列；若數列滿足，. （1）求數列的通項公式； （2）求證：.參考答案一、選擇題1C；解析：等比數列中，； ；2B；解析：因為是公差為2的等差數列，；3A；解析：因為，所以，

18、；4D；解析：9，a1，a2，1成等差數列，所以；成等比數列，所以；5A；解析：設中間兩數為，則；解得，所以；6B；解析：；7D；解析：；，；8D；解析：，且，；9C；解析：設該等比數列的公比為q，項數為2n，則有，q2；又，2n8，故這個數列的項數為8；10A；解析：，由為整數得為整數，設為，則，；因為，區內所有希望數為，其和；11C；解析：應用等差數列的通項公式得數列 也是等差數列，且前10項和為；12C；解析：因為是等差數列，所以，由，得：20，所以2，又，即38，即（2m1）×238，解得m10二、填空題 13；解析：該數列的前項分別可寫成：，所以數列的通項公式為；14；解析

19、：1, a1, a2, 4成等差數列，；1, b1, b2, b3, 4成等比數列，又，；15；解析：由得，；=；16；解析：按規律，；，即是等比數列，其首項為2，公比為2，故，=（本題也可由，猜想出=）三、解答題17解：（1）設的公差為，由已知條件，解出，所以 6分 （2）所以時，取到最小值 12分18解：（1）由已知得.從而，即.（2分）. （6分）（2）因為，. （12分）19解：（1）由已知得，當時，；，即，當時，；數列為等比數列，且公比； （4分）又當時，即，；. （6分） （2），； （9分）的前項和. （12分）1.已知等比數列的公比為正數，且·=2，=1，則= A.

20、B. C. D.2 【解析】設公比為,由已知得,即,又因為等比數列的公比為正數，所以,故,選B3.公差不為零的等差數列的前項和為.若是的等比中項, ,則等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 【解析】由得得,再由得 則,所以,.故選C4.設是等差數列的前n項和，已知，則等于( )A13 B35 C49 D 63 【解析】故選C.或由, 所以故選C.5.等差數列的前n項和為，且 =6，=4， 則公差d等于A1 B C.- 2 D 3解析且.故選C 6.已知為等差數列，且21, 0,則公差dA.2 B. C. D.2【解析】a72a4a34d2(a3d)2d1 Þ d7.（

21、等差數列的公差不為零，首項1，是和的等比中項，則數列的前10項之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190【解析】設公差為，則.0，解得2，100然而只就解析式而言，定義域是關于原點對稱的，且，所以是奇函數。就本題而言就是外函數其定義域決定于內函數，的值域，而不是外函數其解析式本身決定的定義域了。2求有關復合函數的解析式，例6已知 求；已知 ，求例7已知 ，求； 已知，求要點3：已知求復合函數的解析式，直接把中的換成即可。已知求的常用方法有：配湊法和換元法。配湊法就是在中把關于變量的表達式先湊成整體的表達式，再直接把換成而得。換元法就是先設，從中解出（即用表示），再把（關于的式子）直接代入中消去得到，最后把中的直接換成即得，這種代換遵循了同一函數的原則。例8已知是一次函數，滿足，求；已知，求要點4： 當已知函數的類型求函數的解析式時，一般用待定系數法。 若已知抽象的函數表達式，則常用解方程組、消參的思想方法 求函數的解析式。已知滿足某個等式，這個等式除是未知量外，還出現其他未知量，如、等，必須根據已知等式再構造出其他等式組成方程組，通過解方程組求出。二、練習：已知，求和解：令，設，令，設，已知，求分析：是用替換中的而得