1、第四章 大數(shù)定律與中心極限定理4.1特征函數(shù)內(nèi)容提要1. 特征函數(shù)的定義 設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量,稱為X的特征函數(shù),其表達(dá)式如下由于,所以隨機(jī)變量X的特征函數(shù)總是存在的.2. 特征函數(shù)的性質(zhì)(1) ;(2) 其中表示的共 軛;(3) 若Y=aX+b,其中a,b是常數(shù).則(4) 若X與Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,則(5) 若存在,則可次求導(dǎo),且對,有(6) 一致連續(xù)性 特征函數(shù)在上一致連續(xù)(7) 非負(fù)定性 特征函數(shù)是非負(fù)定的,即對任意正整數(shù)n,及n個(gè)實(shí)數(shù)和n個(gè)復(fù)數(shù),有 (8) 逆轉(zhuǎn)公式 設(shè)F(x)和分別為X的分布函數(shù)和特征函數(shù),則對F(x)的任意兩個(gè)點(diǎn),有特別對F(x)的任意兩個(gè)連續(xù)點(diǎn),有(9) 唯一性

2、定理 隨機(jī)變量的分布函數(shù)有其特征函數(shù)唯一決定；(10) 若連續(xù)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為p(x),特征函數(shù)為如果,則3. 常用的分布函數(shù)特征表分布特征函數(shù)退化分布P(X=a)=1二項(xiàng)分布幾何分布正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布均勻分布U(a,b)均勻分布U(-a,b)指數(shù)分布伽瑪分布Ga(a,l)分布泊松分布習(xí)題與解答4.11. 設(shè)離散隨機(jī)變量X的分布列如下,試求X的特征函數(shù).X0123P0.40.30.20.1解 2. 設(shè)離散變量X服從幾何分布 試求X的特征函數(shù),并以此求E(X)和Var(x).解 記q=1-p, 則,3設(shè)離散隨機(jī)變量X服從巴斯卡分布 試求X的特征函數(shù). 解 設(shè)是相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量,且

3、都服從參數(shù)為p的幾何分布Ge(p),則由上一題知的特征函數(shù)為其中q=1-p. 又因?yàn)?所以X的特征函數(shù)為.4求下列分布函數(shù)的特征函數(shù),并由特征函數(shù)求其數(shù)學(xué)期望和方差.(1) (a>0); (2) (a>0).解 (1)因?yàn)榇朔植嫉拿芏群瘮?shù)為 所以此分布的特征函數(shù)為 = 又因?yàn)?所以 Var(X)= (2) 因?yàn)榇朔植嫉拿芏群瘮?shù)為 所以此分布的特征函數(shù)為 又因?yàn)楫?dāng)t>0時(shí),有(見菲赫金哥爾茨微積分學(xué)教程第二卷第三分冊或查積分表)所以當(dāng)t>0時(shí),有 而當(dāng)t<0時(shí),有 所以又因?yàn)樵趖=0處不可導(dǎo),故此分布(柯西積分)的數(shù)學(xué)期望不存在.注：也可利用復(fù)變函數(shù)中的留數(shù)理論來計(jì)

4、算,方法如下：t>0時(shí),5. 設(shè)試用特征函數(shù)的方法求X的3階及4階中心矩.解因?yàn)檎龖B(tài)分布的特征函數(shù)為所以由此得X的3階及4階中心矩為6. 試用特征函數(shù)的方法證明二項(xiàng)分布的可加性：若X b (n , p),Y b(m , p),且 X與Y獨(dú)立,則X+Y b(n + m, p).證 記q=1-p, 因?yàn)?, , 所以由 X與Y的獨(dú)立性得,這正是二項(xiàng)分布b(n + m, p)的特征函數(shù),由唯一性定理知X+Yb(n+m,P).7. 試用特征函數(shù)的方法證明泊松分布的可加性：若XP(l1),Y P(l2),且X與Y獨(dú)立,則X+YP(l1+l2).證：因?yàn)?所以由X與Y獨(dú)立性得這正是泊松分布 P(l1

5、+l2).的特征函數(shù),由唯一性定理知X+Y P(l1+l2). .8. 試用特征函數(shù)的方法證明伽瑪分布的可加性：若 ,且X與Y獨(dú)立,則.證 因?yàn)?,所以由X與Y的獨(dú)立性得,這正是伽瑪分布的特征函數(shù),由唯一性定理知 .9.試用特征函數(shù)的方法證明分布的可加性：若,且X與Y獨(dú)立,則證 因?yàn)?所以由X與Y的獨(dú)立性得,這正是分布(n+m)的特征函數(shù),由唯一性定理知10. 設(shè)獨(dú)立同分布,且.試用特征函數(shù)的方法證明:.證 因?yàn)?所以由諸的相互獨(dú)立性得的特征函數(shù)為,這正是伽瑪分布的特征函數(shù),由唯一性定理知.11. 設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量X服從柯西分布,其密度函數(shù)如下：,其中參數(shù),常記為,(1) 試證X的特征函數(shù)為,且

6、利用此結(jié)果證明柯西分布的可加性；(2) 當(dāng)時(shí),記Y=X,試證,但是X與不獨(dú)立；(3) 若相互獨(dú)立,且服從同一柯西分布,試證：與Xi同分布.證 (1) 因?yàn)榈拿芏群瘮?shù)為,由本節(jié)第4題(2)知Y 的特征函數(shù)為.由此得的特征函數(shù).下證柯西分布的可加性: 設(shè)服從參數(shù)為的柯西分布,其密度函數(shù)為: .若與相互獨(dú)立,則,這正是參數(shù)為柯西分布的特征函數(shù).所以由唯一性定理知, 服從參數(shù)為的柯西分布.(2) 當(dāng)時(shí)有 ,所以 .由于Y=X,當(dāng)然X與Y不獨(dú)立.此題說明,由不能推得X與Y獨(dú)立.(3) 設(shè)都服從參數(shù)為的柯西分布,則特征函數(shù)為.由相互獨(dú)立性得, 的特征函數(shù)為 ,即 與X1具有相同的特征函數(shù),由唯一性定理知它們具有相同的分布.12.設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為p(x),試證：p(x)關(guān)于原點(diǎn)對稱的充要條件是它的特征函數(shù)是實(shí)的偶函數(shù).證：記X的特征函數(shù)為.先證充分性,若是實(shí)的偶函數(shù),則或,這表明X與-X有相同的特征函數(shù),從而X與-X有相同的密度函數(shù),而-X的密度函數(shù)為p(-x),所以得p(x)=p(-x),即p(x)關(guān)于原點(diǎn)是對稱的.再證必要性.若p(x)=p(-x),則X與-X有相同的密度函數(shù),所以X與-X有相同的特征函數(shù).由