1、模塊十二 推理與證明² 考綱解讀Ø 高考大綱考試內容要求層次ABC合情推理與演繹推理合情推理P歸納和類比P演繹推理P直接證明與間接證明綜合法P分析法P反證法P數學歸納法PØ 分析解讀（1）能利用已知結論類比未知結論，并作出判斷或證明（2）利用歸納推理猜想結論并加以證明（3）在解答綜合題目中掌握演繹推理的基本模式（4）了解直接證明與間接證明的基本方法，體會數學證明的思考過程及特點，提升綜合分析解決問題的能力（5）掌握“歸納猜想證明”的推理方法及數學歸納法的證明步驟推理與證明推理證明合情推理演繹推理歸納類比綜合法分析法反證法直接證明間接證明數學歸納法² 知識

2、導航² 考點剖析Ø 考點一 類比推理1、根據兩個（或兩類）對象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們在其他方面也相似或相同，這樣的推理稱為類比推理。2、類比推理的思維過程是： 觀察、比較聯想、類推推測新的結論Ø 考點二 歸納推理1、歸納推理的定義：從個別事實中推演出一般性的結論，像這樣的推理通常稱為歸納推理。2、歸納推理的思維過程大致如圖： 實驗、觀察概括、推廣猜測一般性結論3、歸納推理的特點：歸納推理的前提是幾個已知的特殊現象，歸納所得的結論是尚屬未知的一般現象。 由歸納推理得到的結論具有猜測的性質，結論是否真實，還需經過邏輯證明和實驗檢驗，因此，它不能作為數學

3、證明的工具。 歸納推理是一種具有創造性的推理，通過歸納推理的猜想，可以作為進一步研究的起點，幫助人們發現問題和提出問題。Ø 考點三 演繹推理1、演繹推理是根據已有的事實和正確的結論（包括定義、公理、定理等）按照嚴格的邏輯法則得到新結論的推理過程。2、主要形式是三段論式推理。3、三段論式常用的格式為： MP （M是P） SM （S是M） SP （S是P）其中是大前提，它提供了一個一般性的原理；是小前提，它指出了一個特殊對象；是結論，它是根據一般性原理，對特殊情況做出的判斷。Ø 考點四 直接證明1、直接證明：是從命題的條件或結論出發，根據已知的定義、公理、定理，直接推證結論的真

4、實性。直接證明包括綜合法和分析法。2、綜合法就是“由因導果”，從已知條件出發，不斷用必要條件代替前面的條件，直至推出要證的結論。3、分析法就是從所要證明的結論出發，不斷地用充分條件替換前面的條件或者一定成立的式子，可稱為“由果索因”。要注意敘述的形式：要證A，只要證B，B應是A成立的充分條件. 分析法和綜合法常結合使用，不要將它們割裂開。Ø 考點五 間接證明1、間接證明：即反證法：是指從否定的結論出發，經過邏輯推理，導出矛盾，證實結論的否定是錯誤的，從而肯定原結論是正確的證明方法。2、反證法的一般步驟是：反設推理矛盾原命題成立。（所謂矛盾是指：與假設矛盾；與數學公理、定理、公式、定義

5、或已證明了的結論矛盾；與公認的簡單事實矛盾）。3、 常見的“結論詞”與“反議詞”如下表：原結論詞反議詞原結論詞反議詞至少有一個一個也沒有對所有的x都成立存在某個x不成立至多有一個至少有兩個對任意x不成立存在某個x成立至少有n個至多有n1個p或q¬ p且¬ q至多有n個至少有n1個p且q¬ p或¬ qØ 考點六 數學歸納法數學歸納法證題的步驟：（1）（歸納奠基）證明當取第一個值時，命題成立（2）（歸納遞推）假設時，命題成立，證明當時，命題也成立。只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對于開始的所有正整數都成立。² 真題演練由于北京市近五年來

6、僅在2010年和2012年考查了該專題知識，因此本專題的“真題演練”版塊還將選取近兩年其他省份的高考題作為練習。1.【2010北京,20,13分】已知集合.對于，定義與的差為： A與B之間的距離為.（I） 證明：，有，且；（II） 證明：，三個數中至少有一個是偶數；（III） 設，中有個元素，記中所有兩元素間距離的平均值為. 證明：Ø 舉一反三1.1【2012江西,6,5分】觀察下列各式：則A28 B76 C123 D1991.2【2012陜西,11,5分】觀察下列不等式，照此規律，第五個不等式為 .1.3 【2012福建,17,13分】某同學在一次研究性學習中發現，以下五個式子的值

7、都等于同一個常數（1）sin213°+cos217°sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°sin18°cos12°（4）sin2（18°）+cos248°sin2（18°）cos48°（5）sin2（25°）+cos255°sin2（25°）cos55°（）試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數（）根據（）的計算結

8、果，將該同學的發現推廣為三角恒等式，并證明你的結論2.【2012北京，20,13分】設是由個實數組成的行列的數表，滿足：每個數的絕對值不大于，且所有數的和為零記為所有這樣的數表構成的集合對于，記為的第行各數之和，為的第列各數之和記為，中的最小值（）對如下數表，求的值；（）設數表形如求的最大值；（）給定正整數，對于所有的，求的最大值Ø 舉一反三2.1【2012湖南,16,5分】設N=2n（nN*，n2），將N個數x1,x2,，xN依次放入編號為1,2，N的N個位置，得到排列P0=x1x2xN.將該排列中分別位于奇數與偶數位置的數取出，并按原順序依次放入對應的前和后個位置，得到排列P1=

9、x1x3xN-1x2x4xN，將此操作稱為C變換，將P1分成兩段，每段個數，并對每段作C變換，得到；當2in-2時，將Pi分成2i段，每段個數，并對每段C變換，得到Pi+1，例如，當N=8時，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此時x7位于P2中的第4個位置.（1）當N=16時，x7位于P2中的第_個位置；（2）當N=2n（n8）時，x173位于P4中的第_個位置.2.2 【2012湖北,13,5分】回文數是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數如22，121，3443，94249等顯然2位回文數有9個：11，22，33，993位回文數有90個：101，111，121，191，202，99

10、9則（）4位回文數有 個；（）位回文數有 個2.3【2012湖北,22,14分】（）已知函數，其中為有理數，且. 求的最小值；（）試用（）的結果證明如下命題：設，為正有理數. 若，則；（）請將（）中的命題推廣到一般形式，并用數學歸納法證明你所推廣的命題.注：當為正有理數時，有求導公式.【其他省份相關高考題】3.【2012全國,12,5分】正方形ABCD的邊長為1，點E在邊AB上，點F在邊BC上，AEBF.動點P從E出發沿直線喜愛那個F運動，每當碰到正方形的方向的邊時反彈，反彈時反射等于入射角，當點P第一次碰到E時，P與正方形的邊碰撞的次數為（A）16 （B）14 （C）12 (D)104.【2

11、011湖南,16,5分】對于，將表示為，當時，當時，為0或1.記為上述表示中為0的個數，（例如，：故）則（1） （2）5.【2011陜西,13,5分】觀察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49照此規律，第個等式為 .6.【2011山東,15,4分】設函數，觀察：，根據上述事實，由歸納推理可得：當，且時， 。 7.【2011湖北,15,5分】給n個自上而下相連的正方形著黑色或白色當n4時，在所有不同的著色方案中，黑色正方形互不相連的著色方案如圖所示：由此推斷，當n=6時，黑色正方形互不相鄰的著色方案共有 2 種，至少有兩個黑色正方形相鄰的著色方案共

12、有 4 種，（結果用數值表示）² 輕松驛站高三學生怎樣提高備考應試心理素質高考雖然不是每一個高中畢業生的惟一出路，但每一個高三畢業生都希望通過高考進入高等學府深造，從而為將來立足社會打下堅實的基礎。近幾年來我國高校雖然不斷擴招，但高考錄取率在某些地區仍然滿足不了需求，每個高三畢業生仍面臨著優勝劣汰的選擇，有的同學由于壓力過大，在復習備考過程中出現一系列的心理問題，而這些問題恰恰又制約了學生能力的發揮。本文試圖就產生這些心理問題的原因及解決辦法談談粗淺的看法。20世紀90年代中期，美國的丹尼爾·戈爾曼提出了“情商”理論。這一理論的提出，可以說在全球范圍內進行了一場學習的革命。

13、人們逐漸認識到，在日益信息化的社會里，一個人學會學習比學到什么本身更重要，每一個智力正常的人都具有學習的能力，但并不代表每個有能力的人都能獲得成功。學生學習成績的差異，往往不是智力水平高低所造成的，而是智力以外的一些因素，如動機、興趣、自我意識、自信心、熱情專注、如何看待失敗、進取心、意志力、性格品質以及人際關系等，這些叫非智力因素，它和智力因素共同制約著人的學習能力，并且起著非常重要的作用。對于高三學生，只有充分挖掘他們的非智力因素，才能有效地調動起智力資源，提高其能力素質，幫助他們實現自己的目標。一、高三學生學習過程中存在的心理問題筆者對所在學校的高三年級學生進行了一次調查。調查顯示，50

14、%的同學在學習過程中有浮躁心理，表現為做事無恒心、見異思遷、不安心，總想投機取巧，急功近利，往往“欲速則不達”；75%的學生在考試時有焦慮感，無論考試前和考試中都有不同程度的緊張，表現為胸悶、呼吸急促、手心出汗、頭昏腦脹，平時很容易做出的題目這時做不出，遇到沒見過的難題就更心慌，考完之后總認為沒發揮出應有的正常水平；63%的學生感覺平時復習時不能長時間地集中注意力，精力容易渙散，如做著數學題，忽又想著外語要趕緊做，東一榔頭西一棒槌，不知到底先學什么、后學什么，有的把學習看做是一個負擔，提不起興趣，學習時如嚼雞肋，食之無味棄之不甘；40%的學生認為自己進步不大，因此信心不足，甚至想逃避考試。這樣

15、一些不正常、不健康的心理活動帶給學生的是學習效率低下，思維呆滯，心態疲懶，嚴重影響了學習進步，導致考試發揮失利或落榜。概言之，他們在復習、備考中所表現出來的心理問題主要有缺乏自信、學習焦慮、意志力弱、心態不穩、注意力不集中。那么，出現這些問題的癥結究竟是什么呢?二、產生異常心理的原因分析1考生的學習基礎差容易導致學習焦慮，缺乏自信。學習不是一朝一夕的事，基礎也不是十天半月就能打牢的，它是以往十多年學習的延續。前面的基礎知識牢靠了，到了高三，再將這些知識編織成網絡，形成一個系統，就具備了參加高考的能力。高考是選拔性考試，特別注重考查考生對所學知識的運用。知識是能力的載體，能力是知識的升華。高三部

16、分考生由于不具備系統知識，面對大量的習題無從下手，久而久之，對習題產生恐懼心理，十分擔憂自己的成績，因而感到焦慮，沒有自信心。2考生身體差無法應對高三緊張的生活，導致注意力不集中，產生焦慮感，缺乏自信。一方面，部分學生由于遺傳因素，從小體質弱，經常患病，大部分時間用于關注自己的身體狀況，而對學習則放松了；另一方面，由于絕大多數學校到高三時取消了體育課，全力以赴“拼”高考，學生每天從早自習到晚自習，在校時間多達10余小時，晚上還有人“開夜車”，一些平時不注重身體鍛煉的同學此時更是精力不濟，注意力渙散。3.教師、家長的不當評價對學生異常心理的產生起了催化劑的作用。青少年正處于生理、心理發育成熟時期

17、，特別是臨近高三畢業，一方面自主意識不斷增強，另一方面又迫切希望別人能認同、接納自己，因此也特別在乎別人對自己的評價。如果教師、家長在其學習過程中，經常說：“你應該這樣做，而不應該那樣做”，或“你在某某科目上有優勢，你在某某科目上是一塌糊涂”，“你想考××分，考上××學校，一點希望都沒有”。諸如此類的話，對于那些敏感且自尊心強的學生會造成很大的打擊。現在多數學生都是獨生子女，都是父母的掌上明珠，而到了學校后，一大群孩子在一起就顯出高低優劣來了，孩子在家長那里得到的評價和在學校受到的評價有時會大相徑庭，從而可能導致學生的自我評價偏差，有時認為自己挺行，有時

18、又認為自己一無是處，這也易導致焦慮情緒的產生。4.當前教育體制中存在的弊端激化了學生理想與現實的矛盾，導致心理問題的產生。從目前現狀來看，我國高等教育相對薄弱，并非人人都能考入高校；即使近幾年來高校擴招了不少，但是相伴而隨的是學費的不斷“升級”，對一般家庭而言，承受起來壓力甚大，這樣也使不少學生產生焦慮心理。所幸的是，當前教育體制正在嘗試改革，選拔人才的方式、方法更加靈活，以分數論高低的思想將被淡化，人們將更加關注學生的學習能力、創新能力而非知識本身。5.社會上人們對高考的價值取向偏差對學生形成外在的壓力。自改革開放以來，每年的高考一直是人們關注的話題。高考的目的是要選拔優秀人才，但并非沒考上

19、的就是庸才，這個道理說起來誰都懂，但人們普遍地對考上的孩子評價高一些，而對考不上或連年參加高考的孩子則另眼相看，認為沒出息。如此社會氛圍，使得高三學生非常在意周圍的人對自己的評價，這樣的心理伴隨日常的學習生活，必然導致情緒焦慮，無所適從。那么，如何糾正這些不良心理偏差，提高考生的應試、備考心理素質呢?三、提高考生的應試、備考心理素質的方法和途徑首先，要幫助考生確立奮斗目標。目標的作用主要有三點：一是引導方向，二是集中焦點，三是激發行動的熱忱。上大學是每個高三畢業生的愿望，但每個人能力又各不相同，因此要求學生設定目標時必須充分發揮自身的優勢和特點，以充分挖掘自己的潛力。有了明確的目標，就會激發起

20、人前進的動力和熱情。其次，要培養考生積極的心態。心態是指人們在認識事物或處理事物時所具有的心理狀態和心理體驗。關于心態的重要性，世界著名潛能大師安東尼·羅賓認為：一個人有什么樣的行為跟你的能力無關，而是跟你當時身心所處的狀態有關。因此，一個人若想改變自己做事的能力，必須改變自己身心所處的狀態。有的同學因為學習差，基礎不好，每次考試后就會產生一種消極的自我暗示，時間一長，導致缺乏戰勝困難的勇氣。因此，老師要注意幫助其轉變觀念，培養積極的自我意識。例如，高三階段，學習緊張，可要求學生每天抽出10分鐘，做心理體操，進行一些積極的自我暗示，找一些具有激勵價值的話，諸如“我說我行我就行”，“每

21、天我的英語詞匯量都在增加”，“我的綜合能力有了進步”，“我覺得健康、快樂，對待高考，我越來越自信”，“我一定可以在學習方面有所突破，并取得優秀的成績”等。這樣，就會幫助學生逐漸樹立起積極的自我意識，從而推動學習進步。再次，要使學生學會專心致志。很多考生感覺平時復習時不能集中注意力，其實，就是缺乏專注這一心理品質。所謂專注，就是把意識集中在某個特定的欲望上的行為，表現在行為上就是單純專一、心不外馳，是一種能夠將自己身體與心智的能量，鍥而不舍地運用在同一個問題上而不厭倦的能力。怎樣做到專注呢?建議大家遵循一條原則：用1%的時間集中注意力，讓99%的時間受益。比如清晨是一段美妙的時光，它安詳寧靜而無

22、干擾，此時人們往往頭腦清醒、精力充沛，很多人會利用這段時間慢跑、運動或讀書學習，但是心理學家建議有必要先拿出15分鐘坐下來靜思，調整心靈的馬達，好好計劃一下整天的學習和工作：今天要掌握好哪些知識?要做多少習題?這樣，會使整天的學習和做事都有方向感，變得有效率。要學會專注，還要培養一次只做一件事的習慣。筆者通過調查，發現有些學生因為感覺時間緊、任務重，往往在做一門科目時，忽又想起別的科目還沒弄懂，在學習時忽又想著我是不是該去跑一跑、跳一跳，做做運動。這樣不但效率低下，還會給自己施加過多的壓力，把自己弄得筋疲力盡，疲于應付。我們不妨這么想一想，每個學生所要做的事是一排抽屜中的一個小抽屜，你每天的工

23、作只是一次拉開一個抽屜，只要滿意地完成抽屜內的工作，然后將抽屜推回去，而不是總想著所有的抽屜，這樣你就會得到學習上更多的樂趣。此外，學會專注還必須培養自制力，要學會抑制自己的欲望。例如，作為高三學生，“我”想畢業后能上大學，同時“我”又不想使自己太累，“我”還想在畢業之前給全班同學留下一個好印象，搞好人際關系。在這些想法中，分析一下，哪一個才是當務之急?想清楚了，你就會懂得“魚”和“熊掌”不可兼得，從而優化需要，凈化思想、強化目標，把注意力引導到積極的學習工作狀態之中。還有，要幫助考生樹立堅定的信心。信心是一種相信“我確定能做到”的積極的心理認定，它能夠激發人的潛意識而釋放出熱情、精力和智慧，產生能力和技