1、第1章 集合及其運算一、概念 集合（元素）集合是一些具有確定的、可以區分的若干事件的全體，而集合中的事件稱為元素因此，集合是由若干元素組成的若是集合中的元素，則稱屬于，記作；若不是集合中的元素，則稱不屬于，記作 定義1.1.1（子集） 對任意兩個集合A和B，若B中的每個元素都是A中的元素，則稱B為A的子集，記作B A或AB 若B是A的子集，也稱A包含B，或B被A包含若B不是A的子集，即B A不成立時，記作B A 定義1.1.2（集合相等） 對任意兩個集合A和B，若有AB且B A，則稱A與B相等，記作A= B 定義1.1.3（真子集） 對任意兩個集合和B，若B且BA，則稱B為A的真子集，記作BA

2、或AB 定義1.1.4（空集） 不含任何元素的集合稱為空集，記作 空集的定義也可以寫成= （1.1.1） n元集（m元子集）含有n個元素的集合簡稱n元集，它的含有m（mn）個元素的子集叫做它的m元子集 定義1.1.5（全集） 在一個具體問題中，如果所涉及的集合都是某個集合的子集，則將這個集合稱為全集，記作E 定義1.1.6（冪集） 設A是一個集合，由A的所有子集組成的集合，稱為A的冪集，記作P(A)或2A 定義1.2.1（并集、交集、差集、補集、對稱差） 設E為全集，和B是E中任意兩個子集（1）所有屬于或屬于B的元素組成的集合，稱為集合與B的并集，記作即 或 （1.2.1） （2）既屬于又屬于

3、B的所有元素組成的集合，稱為集合與B的交集，記作即 且 （1.2.2）如果兩個集合和B沒有公共元素，即，稱為集合與B不相交 （3）屬于而不屬于B的所有元素組成的集合，稱為與B的差集，記作即 （1.2.3） （4）由E中所有不屬于A的元素組成的集合，稱為的補集，記作A即A = （1.2.4）補集A可以看作全集E與集合的差集，即 A = E - （5）集合 (A - B )(B - A )稱為集合和B的對稱差，記作B即B = (A - B )(B - A ) （1.2.5）對稱差運算的另一種定義是B = (AB ) - (B A ) （1.2.5） 二、定理與性質 集合包含關系的自反性： 對于任意

4、集合A，有AA 集合包含關系的反對稱性： 對任意兩個集合A和B，若有B且BA，則A=B 集合包含關系的傳遞性： 對任意三個集合A，B和C，若有AB，BC，則AC 定理1.1.1 空集是一切集合的子集 定理1.1.1的推論 空集是唯一的 集合運算的交換律： 集合運算的結合律： 集合運算的分配律： 集合運算的冪等律：AA = A AA = A 集合運算的同一律： 集合運算的零律：AE = E A= 集合運算的補余律：AA = E AA = 集合運算的吸收律： 集合運算的摩根律：A - (BC ) = (A - B )(A - C ) A - (BC ) = (A - B )(A - C ) (BC

5、 ) = B C (BC ) = B C = E E = 集合運算的雙補律：(A ) = A 對稱差的交換律： 對稱差的結合律： 對稱差的分配律： 對稱差的同一律：對稱差的零律：AA = 對稱差的性質：A(AB ) = B 定理1.2.1 對任意兩個有限集合A和B，用表示有限集合S中的元素數，則 (1) + ； (2) min (+ ) ； (3) - ； (4) =+ - 2 定理1.2.2（容斥定理） 對任意兩個有限集合A和B，有= + - （1.2.6）其中，分別表示A，B的元素個數 定理1.2.2的推廣結論：對于任意三個有限集合A, B, C，有 = +-+ （1.2.7） 三、方法 1集合的三種表示方法 列舉法是列出集合的所有元素，并用花括號括起來例如 = ，N = 0, 1, 2, 3, 描述法是將集合中元素的共同屬性描述出來例如B = ，D = 是正整數 文氏圖法是用一個簡單的平面區域表示一個集合，用區域內的點表示集合內的元素 2有限集合的計數方法 首先根據已知條件把對應的文氏圖畫出來，然后將已知集合的元素