1、第1部分 隨機(jī)事件及其概率基礎(chǔ)練習(xí)一 填空1 設(shè) 答案：0.552 三次獨(dú)立重復(fù)射擊中，至少有一次擊中的概率為中的概率為 答案：1/43箱中盛有8個(gè)白球6個(gè)黑球，從其中任意地接連取出8個(gè)球，若每球被取出后不放還，則最后取出的球是白球的概率等于_。答案：4 任取兩個(gè)正整數(shù)，則它們之和為偶數(shù)的概率是_答案：1/25 設(shè)10件產(chǎn)品中有3件不合格品，從中任取兩件，已知兩件中有一件是不合格品，則另一件也是不合格品的概率為_答案：2/96已知P（A）=0.8,P(A-B)=0.5,且A與B獨(dú)立，則P（B）= 答案：3/87從1，2，10共十個(gè)數(shù)字中任取一個(gè)，然后放回，先后取出5個(gè)數(shù)字，則所得5個(gè)數(shù)字全不相

2、同的事件的概率等于_答案：=0.30248箱中盛有8個(gè)白球6個(gè)黑球，從其中任意地接連取出8個(gè)球，若每球被取出后不放還，則最后取出的球是白球的概率等于_答案：9平面上有10個(gè)點(diǎn)，其中任何三點(diǎn)都不在一直線上，這些點(diǎn)可以確定_個(gè)三角形。答案：12010設(shè)樣本空間U=1，2，10，A=2，3，4，B=3，4，5，C=5，6，7，則表示的集合=_。答案：1,2,5,6,7,8,9,10二 計(jì)算題1 一打靶場備有5支某種型號(hào)的槍,其中3支已經(jīng)校正,2支未經(jīng)校正.某人使用已校正的槍擊中目標(biāo)的概率為,使用未經(jīng)校正的槍擊中目標(biāo)的概率為.他隨機(jī)地取一支槍進(jìn)行射擊,已知他射擊了5次,都未擊中,求他使用的是已校正的槍

3、的概率(設(shè)各次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立).解 以表示事件“射擊了5次均未擊中”,以表示事件“取得的槍是已經(jīng)校正的”，則又,按題設(shè),由貝葉斯公式 2 某人共買了11只水果,其中有3只是二級(jí)品,8只是一級(jí)品.隨機(jī)地將水果分給三人,各人分別得到4只、6只、1只.(1)求未拿到二級(jí)品的概率.(2)已知未拿到二級(jí)品,求均拿到二級(jí)品的概率.(3)求均拿到二級(jí)品而未拿到二級(jí)品的概率.解 以分別表示事件取到二級(jí)品,則表示事件未取到二級(jí)品.(1)(2)就是需要求已知未取到二級(jí)品,這時(shí)將7只一級(jí)品和3只二級(jí)品全部分掉.而均取到二級(jí)品,只需取到1只至2只二級(jí)品,其它的為一級(jí)品.于是 (3)3 一系統(tǒng)由兩個(gè)只能傳輸字符0和

4、1的獨(dú)立工作的子系統(tǒng)和串聯(lián)而成(如圖13-1),每個(gè)子系統(tǒng)輸入為0輸出為0的概率為;而輸入為1輸出為1的概率也是.今在圖中端輸入字符1,求系統(tǒng)的端輸出字符0的概率. 解 “系統(tǒng)的輸入為1輸出為0”這一事件(記)是兩個(gè)不相容事件之和,即這里的記號(hào)“”表示事件“子系統(tǒng)的輸入為1輸出為1,其余3個(gè)記號(hào)的含義類似.于是由子系統(tǒng)工作的獨(dú)立性得 4 甲乙二人輪流擲一骰子,每輪擲一次,誰先擲得6點(diǎn)誰得勝,從甲開始擲,問甲、乙得勝的概率各為多少?解 以表示事件“第次投擲時(shí)投擲者才得6點(diǎn)”.事件發(fā)生,表示在前次甲或乙均未得6點(diǎn),而在第次投擲甲或乙得6點(diǎn).因各次投擲相互獨(dú)立,故有 因甲為首擲,故甲擲奇數(shù)輪次,從而

5、甲勝的概率為 同樣,乙勝的概率為 5 將一顆骰子擲兩次,考慮事件“第一次擲得點(diǎn)數(shù)2或5”,“兩次點(diǎn)數(shù)之和至少為7”，求并問事件是否相互獨(dú)立.解 將骰子擲一次共有6種等可能結(jié)果,故設(shè)以表示第次擲出骰子的點(diǎn)數(shù),則因?qū)Ⅶ蛔訑S兩次共有36個(gè)樣本點(diǎn),其中有共5種情況,這5種情況分別含有1,2,3,4,5個(gè)樣本點(diǎn),故 以記兩次投擲的結(jié)果,則共有(2,5),(2,6),(5,2),(5,3)(5,4),(5,5),(5,6)這7個(gè)樣本點(diǎn).故 今有 按定義相互獨(dú)立.6 兩人輪流射擊,每次各人射擊一槍,射擊的次序?yàn)?射擊直至擊中兩槍為止.設(shè)各人擊中的概率均為,且各次擊中與否相互獨(dú)立.求擊中的兩槍是由同一人射擊的

6、概率.解 總是在奇數(shù)輪射擊,在偶數(shù)輪射擊.先考慮擊中兩槍的情況.以表示事件“在第輪射擊時(shí)又一次擊中,射擊在此時(shí)結(jié)束”. 發(fā)生表示“前輪中共射擊槍而其中擊中一槍,且在第輪時(shí)擊中第二槍”（這一事件記為），同時(shí)“在前輪中共射擊槍但一槍未中”(這一事件記為)，因此 注意到兩兩互不相容,故由擊中了兩槍而結(jié)束射擊(這一事件仍記為)的概率為(此處級(jí)數(shù)求和用到公式這一公式可自等比級(jí)數(shù)兩邊求導(dǎo)而得到.) 若兩槍均由擊中,以表示事件 “在第輪射擊時(shí)又一次擊中,射擊在此時(shí)結(jié)束”. 發(fā)生表示在前輪中射擊槍其中擊中一槍,且在第輪時(shí)擊中第2槍，同時(shí)在前輪中共射擊槍,但一槍未中.注意到兩兩互不相容,故擊中了兩槍而結(jié)束射擊(

7、這一事件仍記為)的概率為 因此,由一人擊中兩槍的概率為 7 有3個(gè)獨(dú)立工作的元件1,元件2,元件3,它們的可靠性分別為設(shè)由它們組成一個(gè)“3個(gè)元件取2個(gè)元件的表決系統(tǒng)”,記為2/3這一系統(tǒng)的運(yùn)行方式是當(dāng)且僅當(dāng)3個(gè)元件中至少有2個(gè)正常工作時(shí)這一系統(tǒng)正常工作.求這一2/3系統(tǒng)的可靠性.解 以表示事件“第個(gè)元件正常工作”，以表示事件“2/3系統(tǒng)正常工作”，則可表示為下述兩兩互不相容的事件之和： 因相互獨(dú)立,故有8 甲、乙、丙三部機(jī)床獨(dú)立工作由一名工人照看，某段時(shí)間內(nèi)甲、乙、丙三部機(jī)床不需要照看的概率依次為3/4、2/3、1/2，求在這段時(shí)間內(nèi)有機(jī)床需要工人照看的概率及恰有1臺(tái)機(jī)床需要工人照看的概率。解

8、 設(shè)A、B、C分別表示甲、乙、丙不需要照看，則A、B、C相互獨(dú)立（1） （2）9 從5雙不同鞋號(hào)的鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有二只鞋子配成一雙的概率是多少？解 基本事件總數(shù)C410A所包含的事件數(shù)或用P(A)=110 在區(qū)間0，3上隨機(jī)地，等可能地任意取兩數(shù)，記事件B為兩數(shù)之最小者小于1，求事件B的概率。解 設(shè)所取兩數(shù)為x,y.則0£x£3,0£y£3.(x,y)的一切可能值對(duì)應(yīng)著xoy平面上的正方形OMNP.3分事件B對(duì)應(yīng)著圖中陰影部分的區(qū)域G 則三 證明題1 設(shè)P（B）。證明：證明：由于、那么所以2 證明題：設(shè)A,B,C三事件相互獨(dú)立，求證AB與

9、C獨(dú)立證明：P(AB)C=P(ACBC)=P(AC)+P(BC)-P(ABC)=P(A)P(C)+P(B)P(C)-P(A)P(B)P(C)=P(C)P(A)+P(B)-P(AB)=P(C)P(AB)故AB與C獨(dú)立3設(shè)隨機(jī)事件A，B，C滿足P(BC)>0，0<P(C)<1，則等式P(AB½C)=P(A½C)P(B½C)成立的充要條件為P(A½BC)=P(A½C)證明：“必要性”由P(BC)>0,0<P(C)<1知P(B½C)>0而P(AB½C)=P(A½C)P(B½

10、;C)得“充分性”即自測題一、 填空題1從自然數(shù)1至10中任取一數(shù)，設(shè)A表示事件“取得的數(shù)是偶數(shù)”，B表示事件“取得的數(shù)小于5”則表示事件_。答案：取得的數(shù)是1,3，5，6，7，8，9，10中的一個(gè)2將5個(gè)球隨機(jī)地放入5個(gè)盒子中，(每個(gè)盒子中裝多少個(gè)球不限)則每盒中各有一球的事件的概率等于_。答案：3設(shè)隨機(jī)事件,互不相容，且，則 答案：4/74任意投擲四顆均勻的骰子，則四顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)全不相同的事件的概率等于_。答案：5事件A,B相互獨(dú)立，且P(A)=p,(0<p<1)，P(B)=q(0<q<1),則_。答案：1pq二、 計(jì)算題1 某乒乓球隊(duì)有6名女隊(duì)員，8名男隊(duì)員，

11、從中選出2名女隊(duì)員，2名男隊(duì)員進(jìn)行混合雙打練習(xí)，共有多少種分組方法。答案：從6名女隊(duì)員中選2名的方法共有=15(種)從8名男隊(duì)員中選2名的方法共有=28(種)2名女隊(duì)員，2名男隊(duì)員搭擋方法共有P2=2(種)故共有2´´=840(種)分組方法2 設(shè)E、F、G是三個(gè)隨機(jī)事件，試?yán)檬录倪\(yùn)算性質(zhì)化簡下列各式： (1) (2)(3)答案：(1)原式(2)原式(3)原式3 盒中有10只外形相同的晶體管，其中有4只次品，6只正品，現(xiàn)從中隨機(jī)地抽取一只測試，測試后不放回，直到找出4只次品，求最后一只次品晶體管在第10次測試時(shí)發(fā)現(xiàn)的概率。答案：A表事件"在第10次測試時(shí)發(fā)現(xiàn)最后一只次品管子"基本事件總數(shù)為=10!A所包含事件數(shù)P(A)=4 任意取兩個(gè)不超過2的正數(shù)，記事件E為：兩正數(shù)的乘積介于1與2之間，求事件E的概率。答案：設(shè)所取兩個(gè)數(shù)為x，y。則所有可能結(jié)果對(duì)應(yīng)xoy平面上的正方形OACB事件E對(duì)應(yīng)著圖中陰影部分G，G的面積為:故5不同的兩個(gè)小麥品種的種子混雜在一起，已知第一個(gè)品種的種子發(fā)芽率為9