1、直 線 平 移 小 竅 門搞好“三生教育”，落實在學科教學上是讓學生學會學習，下面是我堅持指導學生自主學習，學會研究性學習的成功例子，這篇學生論文發表在中小學數學2006年第12期上。 如東縣實驗中學初二（9）班 沈俊俊 指導老師：劉寶國（226400）在數學課上，我們探究了一次函數的圖像的平移問題，一次函數的圖像沿y軸進行上下平移，其解析式的變化情況很容易把握。例如：問題1： 直線y=2x+1向上平移4個單位后得到的直線是 y=2x+5 問題2： 直線y=-3x-1是直線y=-3x+5向上或向下怎樣平移得到的， 是向下平移6個單位得到的 。比較難探究的是一次函數的圖像沿x軸進行左右平移。利用

2、待定系數法，可以解決此類問題。例如：問題3： 求直線y=2x+1向左平移2個單位后得到的直線的解析式解：當x=0時，y=1 直線y=2x+1過點（0，1） 點（0，1）向左平移后的點為（-2，1）。設平移后的直線為y=2x+b 1=2×(-2)+b b=5 平移后的直線的解析式是 y=2x+5。問題4： 直線l2： y=-3x-1是由直線l1： y=-3x+5，向左向右怎樣平移得到的。解： 點（0，5）在直線l1上，對于直線l2：當y=5時，5=-3x-1 x= -2 直線l2過點（-2，5）， 所以直線l1上的點（0，5）通過左右平移后的對應點為（-2，5），由這樣兩點可知，直線l

3、2是l1向左平移2個單位得到的。解決與平移有關的問題，就是抓特殊點，例如上面的幾個問題，問題1是點（0，1）與點（0，5），問題2是點（0，5）與點（0，-1），問題3是點（0，1）與點（-2，1），問題4是點（0，5）與點（-2，5）。有了這樣的竅門，我們又可以多角度解決下面的問題：問題5： 求經過點（1，7）并且與直線y=2x平行的直線的解析式。解法1： 設直線的解析式是 y=kx+b由題意得： k=2，k+b=7 解得： k=2， b=5 直線的解析式是 y=2x+5。解法2： 當x=1時 y=2×1=2 直線y=2x經過（1，2）由點（1，2）到點（1，7）是向上平移5個單位

4、后得到的 所求的直線的解析式是y=2x+5。解法3：思路：本題也可以通過特殊點，先由點（，2）到點（1，7）探究平移情況，再由點（0，0）到點（，0）求出解析式。在課上解決問題之后，我們發現左右平移與上下平移的聯系，把左右平移轉化成上下平移，可以簡化問題的難度，因此我和同宿舍的丁春輝、翟鵬、趙宸等幾個同學進行了這方面的探究。發現1： 把直線y=2x+1向上平移4個單位與向左平移2個單位效果一樣（如：問題1與問題3）。猜想1： 直線y=2x+1向左（或向右）每平移1個單位可以轉化為直線y=2x+1相應地向上（或向下）平移2個單位。猜想2： 把直線y=3x+b向左（或向右）每平移1個單位，可轉化為

5、直線y=3x+b相應地向上（或向下）平移3個單位。猜想3： 把直線y=kx+b (k>0)向左（或向右）每平移1個單位，可以轉化為直線y=kx+b,則相應地向上（或向下）平移k個單位。證明1 設：把直線y=kx+b (k>0)向左平移1個單位后得直線y=kx+b1, 直線y=kx+b1,過點（-1，b） b=-k+b1, b1=b+k 平移后的直線為y=kx+b+k而直線y=kx+b 向上平移k個單位后也得直線y=kx+b+k。又 把直線y=kx+b 向左平移m個單位后得直線y=kx+ b2 過點（-m,b） b=-km+b2 b2=b+km 平移后的直線為y=kx+b+km而直線

6、y=kx+b向上平移km個單位后也得到直線y=kx+b+km。 把直線y=kx+b (k0)向左（或向右）每平移1個單位，可以轉化為直線y=kx+b,則相應地向上（或向下）平移k個單位。 猜想3得證。發現2： 把直線y=-3x+5向下平移6個單位與向左平移2個單位效果一樣（如：問題2與問題4）。猜想4： 直線y=-3x+5向左（或向右）每平移1個單位可以轉化為直線y=-3x+5相應地向下（或向上）平移3個單位。猜想5： 把直線y=-4x+b向左（或向右）每平移1個單位，可轉化為直線y=-4x+b,相應地向下（或向上）平移4個單位。猜想6： 把直線y=kx+b （k0）向左(或向右)每平移1個單

7、位，可以轉化為直線y=kx+b,則相應地向下（或向上）平移k個單位。證明2 設：把直線y=kx+b (k0)向左平移1個單位后得直線y=kx+b1, 直線y=kx+b1,過點（-1，b） b=-k+b1, b1=b+k 平移后的直線為y=kx+b+k而直線y=kx+b 向下平移k個單位后也得直線y=kx+b+k又 把直線y=kx+b 向左平移m個單位后得直線y=kx+ b2 過點（-m,b） b=-km+b2 b2=b+km 平移后的直線為y=kx+b+km而直線y=kx+b向下平移km個單位后也得到直線y=kx+b+km 把直線y=kx+b （k0向左或向右每平移1個單位，可以轉化為直線y=

8、kx+b,則相應地向下（或向上）平移k個單位。 猜想6得證。有了以上規律，解決平移問題就有了方便的方法了。例如：1 直線y=5x-3向左平移2個單位得到直線 y=5x+7 (相當于向上平移2×5個單位)。2 直線y=-x-2向右平移2個單位得到直線 y=-x (相當于向上平移2×1個單位)。3 直線y=x向右平移2個單位得到直線 (相當于向下平移2×個單位)。4 直線y=向左平移2個單位得到直線(相當于向下平移2×個單位)。在研究了上面的方法后，我們很是高興。直線平移竅門在班上一下子傳開，劉老師看到了，對我們的研究作出了肯定，并指出了直線平移還可以繼續研

9、究下去，指導我們看問題5的結果。劉老師把問題5的結果y=2x+5改寫為y-7=2(x-1)，讓我們觀察、研究。因此我們有幾個小組進行了探究，得出了以下平移小竅門：直線l1：y=kx+b與l2：y-m=k(x-n)+b的位置關系是直線l1：y=kx+b向上平移了m個單位，向右平移了n個單位得到直線l2：y-m=k(x-n)+b。（m為正，代表直線向上平移m個單位，m為負，代表直線向上平移負m個單位，也就是直線向下平移m個單位；n為正，代表直線向右平移n個單位，n為負，代表直線向右平移負n個單位，也就是直線向左平移n個單位）。（讀者可以自己研究，驗證）。有了以上規律，解決平移問題就有了更方便的方法了。例如：1. 直線y=5x-3向左平移2個單位得到直線 y=5(x+2)-3即y=5x+7。2. 直線y=-x-2向右平移2個單位得到直線 y=-（x-2）-2即y=-x。3. 直線y=x向右平移2個單位得到直線 即。4. 直線y=向左平移2個單位得到直線即。5. 直線y=2x+1向上平移4個單位得到直線y-4=2x+1即y=2x+5。6. 直線y=-3x+5向下平移6個單位得到直線y+6=-3x+5即y=-3x-1