1、離散卡爾曼濾波用于GPS動態變形數據處理馬攀1,文鴻雁1,2(1.桂林工學院土木工程系,廣西桂林541004;2.武漢大學測繪學院,湖北武漢430079)摘要:研究了一種卡爾曼濾波算法,1998動態變形數據,采用自編軟件(用C語言)進行處理2,0很相近,并,GPS動態變形的數據精度的效果比:卡爾曼濾波;GPS;高斯-馬爾柯夫序列中圖分類號:O211164;P22814文獻標識碼:A0引言目前,在變形監測中,由于GPS、測地機器人等新技術不斷引用,積累資料多,數據量大,如何及時地有效地從大量的變形監測信息中進行數據挖掘,即抽取、轉換、分析和進行建模處理,從中提取關鍵性的數據,對變形進行分析與解釋

2、,尤其是對建筑物的變形進行預測,使人們能及時地針對變形建筑物變形狀態進行有效處理,對滑坡等災害及時做好有關方面的防范和預防措施,從而極大地減少因建筑物變形或滑坡等地質災害造成的損失.所以對變形監測信息進行數據挖掘,特別是對大型建筑物的變形進行分析與預測十分重要.而在GPS用于動態變形觀測中,是僅在確定的瞬間來研究系統的性能,而在此瞬間所得的觀測值本身是帶有隨機噪聲的.如果能在這個系統中分別找出表示它們的狀態參數與其觀測值之間的函數關系,那么就可以利用卡爾曼濾波來減弱隨機噪聲的干擾,達到提高GPS變形觀測數據精度的目的.為此,本文將對卡爾曼濾波用于某大壩GPS動態形變數據處理作一些探討.收稿日期

3、:2001-12-24;修訂日期:2002-04-03基金項目:廣西壯族自治區教育廳資助項目(1998-169)作者簡介:馬攀(1977-),男,四川南部人,碩士研究生,大地測量學與測量工程專業.第22卷第3期馬攀等:離散卡爾曼濾波用于GPS動態變形數據處理2351離散線性系統的卡爾曼濾波111離散線性系統卡爾曼濾波的數學描述當不考慮系統具有確定性輸入時,可設系統狀態方程和量測方程分別為2),Xk=Fk/k-1Xk-1+k-1Wk-1(k=1,2),Yk=HkXk+Ek(k=1,2(1)(2)式中Xk為k時刻的n維狀態矢量,也是被估計矢量;Yk為k時刻上m維量測矢量;Fk/k-1為k-1到k時

4、刻的系統一步轉移矩陣(nn階);Wk-1為k-1時刻的系統噪聲(r維);k-1為系統噪聲矩陣(nr階),它表征由k-1到k時刻的各個系統噪聲分別影響k時刻各個狀態的程度;Hk為k時刻的量測矩陣(mn階);Ek為k時刻的m維量測噪聲.卡爾曼濾波要求Wk和Ek的白噪聲序列,有E(Wk)=0,ECov(Wk,Wj)EkEj=k,(kEj)=0,(3)(4)式中Cov(A,k,在卡;kj是Kronecker函數,即kj=初始狀態的一、二階統計特性為E(X0)=mX0,Var(X0)=CX0,Ek都不相關.(6)0(kj),1(k=j).(5)式中Var(X0)為對X0求方差的符號.卡爾曼濾波要求mX0

5、和CX0為已知量,且要求X0與Wk以及為便于敘述,現將離散卡爾曼濾波的其它方程總結如下狀態預測Xk/k-1=Fk/k-1Xk-1;T方差預測Dk/k-1=Fk/k-1Dk-1FTk/k-1+k/k-1Qk-1k/k-1;(7)(8)(9)(10)-1狀態估計Xk=Xk/k-1+Kk(Yk-HkXk/k-1);方差迭代Dk=(I-KkHk)Dk/k-1;T濾波增益Kk=Dk/k-1HTk(HkDk/k-1Hk+Rk);(11)(12)初始值X0=E(X0),D0=Var(X0).Yk-1求Xk的預測值的公式,稱此式為一步預測公式;而稱Xk/HkXk/k-1)k-1(7)和(8)式是利用Xk-1求

6、Xk的預報值Xk/k-1及其方差公式,也就是利用Y1,Y2,為一步預測值.(9)式中的(Yk-稱為預報殘差,(9)式的物理意義是:濾波值等于預報值加一修正項,該修正項由預報殘差乘增益矩陣構成.因此,通常稱Kk為濾波增益矩陣.112卡爾曼濾波的性質和特點從111可以看到,卡爾曼濾波方程是一組遞推計算公式,其計算過程是一個不斷地預測、修正的過程.在求解時不需要貯存大量的觀測數據,并且當得到新的觀測數據時,可隨時算得新的濾波值,便于實時處理觀測成果.卡爾曼濾波還具有以下特點:卡爾曼濾波遞推公式是根據廣義最小二乘原理得到的,按廣義最小二乘原理得到的結果具有無偏性和方差最小性.因此,對于高斯馬爾柯夫序列

7、模型來說,卡爾曼濾波值X(k/k)是由觀測值Y1,Y2,Yk得到Xk的最小方差無偏估計,其誤差方差陣DX(k/k)就是所有估計中的最小方差陣.對于一個馬爾柯夫序列模型來說,X(k/k)則是Xk的線性最小方差無偏估計2.對于具有一致完全能觀性和一致完全能控性的線性系統,濾波遞推充分多的步數后,濾波誤差236桂林工學院學報2002年方差陣Dk/k將不依賴于D0,濾波值也漸漸地不依賴于初始值的選取3.從卡爾曼濾波方程可以看出,增益矩陣Kk與觀測值無關,因此,可以預先算出,從而減少實時處理的計算工作量.從(11)式可知:當Rk增大時,增益矩陣Kk變小,這是因為觀測噪聲增大,則濾波的增益就應取小一些,以

8、減弱觀測噪聲對濾波值的影響.在應用卡爾曼濾波中,除了盡可能精確地描述動態方程和觀測方程外,還要選取適當的Qk和Rk,這個可以通過試算獲得,也可以自適應估計之.預報殘差(Yk-HkXk/k-1)是一個零均值的高斯馬爾柯夫序列2.卡爾曼濾波是將全部待估參數都作為正態隨機量,按照廣義最小二乘原理來求定參數的最佳估計值.當已知參數的先驗統計性質時,由于卡爾曼濾波考慮了這種性質,因此,二乘平差估值具有更高的精度.2卡爾曼濾波程序設計211從13Kk=Dk/Xk=Fk/k-1Hk(HkDk/Tk-1Hk+Rk)k-1T-1,(13a)(13b)(13c)k-1.k-1Xk-1+Kk(Yk-HkFk/KkH

9、k)Dk/k-1Xk-1),Ck=(I-Dk/k-1k-1k-1,Qk-1Tk/=Fk/k-1Ck-1FTk/+k/(13d)上式中Rk為mm階的觀測噪聲Ek的協方差陣;Xk為n維向量,第k時刻經濾波后的估值;Kk為nm階的增益矩陣;Ck為nn階的估計誤差協方差陣;Qk為nn階的模型噪聲Wk的協方差陣.根據上述公式,可以從X0=E(X0),D0(給定)出發,利用已知的矩陣Qk,Rk,Hk,Fk/k-1以).及k時刻的觀測值Yk,遞推地算出每個時刻的狀態估計Xk(k=1,2,如果線性系統是定常的,則有Fk/k-1=F,Hk=H,即它們都是常陣;如果模型噪聲Wk和觀測噪聲Ek都是平穩隨機序列,則Q

10、k和Rk都是常陣.在這種情況下,常增益的離散卡爾曼濾波是漸進穩定的.212程序流程圖程序設計流程圖見圖1.3算例及數據分析311算例參數在本次大壩GPS動態形變測量數據處理的算例中,是對我國1998年洪水期某大壩,用雙頻GPS定位儀器進行垂直于大壩軸線方向位移觀測值的“濾波”.觀測歷元間隔為15s,每隔6h計算一次,共計65d的觀測數據.)T,并取其初值為設觀測點的狀態向量為Xk=(X,XX0=(113,0)T.狀態轉移矩陣為6F=10tk1,其中tk為采樣間隔,在本例中取tk=6h,即第22卷第3期馬攀等:離散卡爾曼濾波用于GPS動態變形數據處理237F=106.量測矩陣為H=(1,0).動

11、態系統維數為n=2,觀測系統維數為m=1.初始估計誤差協方差陣取為D0=0000.模型噪聲協方差陣取為Q=1.201.取觀測向量序列長度k=260.對輸出的狀態向量序列每5個打印一次.312結果分析與討論,的方差DX.由于濾波的,所以可以在濾波中求得觀測值Y的改正值V(即-的估值),以及虛擬觀測值Yx的改正值Vx(即-x的估值),2并利用V和值Vx來求得驗后的單位權方差0,這里只考慮Dx=0和信號X的數學期望x=0(即Yx=0時)的情況.2根據濾波中求驗后單位權方差的公式20=/n,這里的=-YTPV,于是將312的計算數據代2入上式,可得算例的驗后單位權方差0=/n=30618/260=11

12、18.又根據求中誤差估值的基本公式=/n,可得算例的觀測值中誤差1130測=mm,濾波值中誤差1107mm.濾=圖1卡爾曼濾波程序流程圖Fig11ThesequencechartofKalmanfilteringprogram由圖2不難看出,該算例成果圖形象直觀地顯示出濾波值數據曲線與原始數據曲線的變化趨勢基本一致;同時,比較上面的計算數據可知,算例的驗22后單位權方差0=1118與驗前所取的方差0=112相近,說明驗前選取的方差是恰當的;并且,濾波值比觀測值的精度提高了約1717%.至此,也就是說明該卡爾曼濾波數學模型較好地模擬了目標系統的物理變化規律,表明所運用的卡爾曼濾波程序的運算結果比

13、較理想.4結論(1)通過對大壩GPS動態形變測量數據的算例及其數據分析可知,運用卡爾曼濾波方法可以明顯地改善GPS動態變形的數據精度,并能大量地(待估狀態向量可以多維)實時處理GPS動態變形數據.由于適合在微機或小型計算機上應用,因此其處理速度是其它方法難以比擬的.(2)在卡爾曼濾波程序用于算例的試算中,對于選取不同的模型噪聲和觀測噪聲協方差陣,獲得的各濾波值也略有差異.這說明合理確定一個待估狀態系統的數學模型,選擇適當的建模參數,更好238桂林工學院學報2002年圖2大壩于壩軸線垂直方向(Fig12Theachievementofdaminspoolofassumed)1,則卡爾曼濾波的效果更佳.(3)對于穩定的系統來說,只要初始值足夠精確,就能保證以后的濾波值達到任意指定的精度.在實際應用中僅僅只有穩定性是不夠的,漸進穩定的系統則具有更優的性質,即不論初始值有多大的偏差,只要濾波時間充分長,就能自行消除初始值偏差的影響,保證濾波值的準確性.(4)由于在實踐中,卡爾曼濾波系統存在建模誤差及計算機有效字長的限制等原因,可能導致濾波發散.然而由于卡爾曼濾波的廣泛應用,克服濾波發散將是一個重要的研究方向.參考文獻:12345ApplicationofdiscreteKalmanfilteringtoGPSdataprocessingofkinematicde