1、【精品文檔】如有侵權，請聯系網站刪除，僅供學習與交流數學分析課程教學大綱.精品文檔.數學分析課程教學大綱一、課程基本信息課程代碼：110072、110073、110074課程名稱：數學分析英文名稱：Mathematical Analysis課程類別：基礎課學 時：216（分三個學期上）學分：11適用對象: 信息與計算科學專業本科生考核方式：閉卷考試，平時成績占30%，期末考試成績占70%先修課程：無二、課程簡介以經典微積分為主要內容的數學分析，是信息與計算科學專業學生極其重要的必修基礎課程，是從初等數學到高等數學過渡的橋梁，是學習其他基礎課和專業課的基礎，也是占學時最長、學分最多的一門必修基礎

2、課程。其特點是：內容多，跨度大，概念抽象，系統性與邏輯性強，思想方法重要，應用廣泛。     眾所周知，數學是一個分支眾多、應用非常廣泛的科學體系，是其他各門科學的基礎和工具，在整個人類知識體系中占有特殊重要的地位。數學是研究數量關系和空間形式的科學，而研究數量關系和空間形式必須從變量間最本質的聯系 函數開始起步。數學分析研究的對象與方法是用無窮小分析的方法研究實函數。因此，數學分析正是講述函數理論的最基本的課程，可以說它是數學這座科學大廈的奠基石，是基礎中的基礎，它理所當然地被列為數學科學及相關學科最重要的基礎課之一，在培養具有良好數學素養的人才方面，

3、它所起的作用是任何其他課程無法相比的。   由于數學分析是幾乎所有后繼數學課程的基礎，又是新生入學后首先接觸的重要基礎課之一，所以，數學分析這門課程不僅要教會學生循序漸進地領會已抽象出來的普遍結論、掌握扎實的專業基礎知識，更重要的是培養學生抽象的邏輯思維能力、使其切實掌握運用數學工具分析問題、轉化問題、解決問題的思想和方法。數學分析課程的得失，將直接關系到其它相關數學課程如常微分方程、概率論與數理統計、復變函數與積分變換等教育的成敗，關系到學生后繼專業課程的學習，對學生基本功的訓練與良好素質的培養起著十分重要的作用，甚至可能會影響他們一生的思維方式。因此，積極開發

4、教學資源，根據學生的具體實際情況，按照課程標準的要求實施教學，對于提高計算科學系學生的綜合素質有著深遠的影響。本課程以課堂講授為主，輔以多媒體教學、習題課，精講多練注重理論聯系實際。基本內容由教師講授，通過習題課對所學內容進行鞏固和提高。各章中平行的內容可安排學生自學，以提高學生獨立思考、分析問題和解決問題的能力。由于本課程具有很強的幾何背景，因此教學中要注意與幾何直觀相結合，注重理論聯系實際，逐步推廣使用多媒體教學手段。通過本課程的學習，使學生正確理解和掌握數學分析中的基本概念和基本理論，基本掌握數學分析中的論證方法和常用的分析技巧，較熟練地獲得本課程所要求的求導、微分、積分等基本運算能力，

5、為進一步學習其它專業課程打下必要的基礎。由于本課程與應用數學關系密切，在條件允許的情況下可適當配置數學實驗課以提高學生學習數學的興趣和利用數學知識解決實際問題的應用能力。三、課程性質與教學目的數學分析是信息與計算科學專業的一門最重要的基礎課，也是全系唯一的一門連續開設三個學期，學分和學時數也最多的基礎課。本課程的教學目的是使學生：1、正確理解實數理論、極限理論、一元函數微積分、無窮級數和多元微積分等方面的系統知識和基本原理以及它們之間的內在聯系。2、熟練掌握微積分學的基本運算方法和運算技巧，掌握數學分析的思想方法，獲得本課程所要求的分析、論證、計算等方面的能力3、能夠運用本課程提供的數學方法解

6、決一些簡單的實際應用問題。四、教學內容及要求 第一章 實數集與函數（一） 目的與要求1 掌握實數的性質、絕對值的性質；2 理解確界的概念，掌握確界原理；3 掌握函數概念及其某些特殊性質，熟記幾個特殊的函數：符號函數、狄利克雷函數、黎曼函數。（二） 教學內容 第一節 實數1 主要內容實數及其性質，絕對值與不等式。 2.基本概念和知識點 有理數、無理數、實數、不足近似、過剩近似、數軸、絕對值、絕對值的性質、三角形不等式。3.問題與應用掌握實數的性質，絕對值的性質。 第二節 數集·確界原理1 主要內容 區間與鄰域、有界集、確界原理。 2.基本概念和知識點開區間、閉區間、半開半閉區間、有限區

7、間、無限區間、區間、鄰域、右鄰域、左鄰域、上界、下界、有界集、無界集、上確界、下確界、確界、確界原理、推廣的確界原理。3.問題與應用（能力要求） 掌握上、下確界概念和確界原理。第三節 函數概念1.主要內容 函數的定義和表示法、函數的四則運算、復合函數、反函數、初等函數。 2.基本概念和知識點 函數概念、函數的幾種表示法（解析法、列表法和圖像法，其中包括分段函數、符號函數、狄利克雷函數、黎曼函數等）、函數的四則運算、復合函數、反函數、基本初等函數、初等函數、非初等函數。3.問題與應用（能力要求） 掌握函數概念，并能熟練地運用分段函數、將一個復合函數分解成幾個基本初等函數，熟記幾個特殊的函數：符號

8、函數、狄利克雷函數、黎曼函數。第四節 具有某些特性的函數1.主要內容 有界函數、單調函數、奇函數和偶函數、周期函數。 2.基本概念和知識點有上（下）界函數、有界函數、增（減）函數、嚴格增（減）函數、單調函數、嚴格單調函數、奇函數、偶函數、周期、基本周期、周期函數、反函數存在定理。3.問題與應用（能力要求） 掌握有界函數、單調函數、嚴格單調函數、奇函數、偶函數、周期函數等基本概念，并能熟練地進行相關計算，掌握反函數存在定理。（三） 課后練習 P4.習題2，3，5，6，7，8；P9.習題2，4，5，6，7；P15習題5，6，7，8，11，12；P20習題1，2，3，6，8，10；總練習題1，3，8

9、，10，11，12。（四） 教學方法與手段本課程教學以講授為主，輔以多媒體教學、習題課和學生自學。基本內容由教師講授，通過習題課對所學內容進行鞏固和提高，其余部分主要是*號部分引導學生自學完成。初學高等數學的學生會有很多的不適應，教師教學中要注意加強對學生學習方法的指導和課外輔導。由于本課程具有很強的幾何背景，因此教學中要注意與幾何直觀相結合，注重理論聯系實際，逐步推廣使用多媒體教學手段。由于本課程與應用數學關系密切，可適當配置數學實驗課以提高學生學習數學的興趣和利用數學知識解決實際問題的應用能力。第二章 數列極限（一）目的與要求1理解并熟練掌握數列極限的概念、性質，收斂數列與無窮小數列之間的

10、關系，掌握數列極限存在的條件；2掌握求極限的基本方法，會用定義證明數列極限；3會用Cauchy準則證明相關問題。 （二）教學內容 第一節 數列極限的概念1主要內容數列極限的定義與幾何意義、收斂數列與無窮小數列之間的關系。2基本概念和知識點 數列極限的定義與幾何意義。收斂、發散數列與無窮小數列，收斂數列與無窮小數列之間的關系。3問題與應用（能力要求）掌握極限的定義，能用定義證明一些數列的極限。掌握收斂數列與無窮小數列之間的關系。 第二節 收斂數列的性質1主要內容 收斂數列的性質、四則運算法則、收斂數列與非平凡子列的關系。2基本概念和知識點 收斂數列的性質：唯一性、有界性、保號性、保不等式性、迫斂

11、性。收斂數列的四則運算法則、數列的子列、收斂數列與非平凡子列的關系。3問題與應用（能力要求） 掌握收斂數列的性質、四則運算法則，并能熟練地運用極限運算法則進行計算。理解數列的子列、收斂數列與非平凡子列的關系定理。第三節 數列極限存在的條件1主要內容 單調數列、單調有界定理、柯西收斂準則。2基本概念和知識點 遞增（遞減）數列、單調數列、單調有界定理、重要極限、柯西條件、柯西收斂準則。3問題與應用（能力要求） 掌握單調數列、單調有界定理、柯西條件、柯西收斂準則、重要極限，并能進行相關的計算。（三）課后練習 P27習題1，2，4，6，7，8；P33習題1，2，3，4，9，10；P38習題1，3，5，

12、11，12；總練習題3，4，5，6，7，8。（四）教學方法與手段以課堂講授為主，學生課外自學為輔。讓學生上網看校園網上的高等數學精品課程，了解極限的幾何意義，通過幾何直觀來幫助理解極限的嚴格定義。數列極限理論是數學分析中最重要的理論基礎，一定要讓學生多做練習多看課外輔導書為將來的進一步學習打下扎實的理論基礎。第三章 函數極限（一）目的與要求1理解并熟練掌握函數極限的定義與性質；2掌握兩個重要極限，并能運用它們進行相關的計算，掌握無窮小量與無窮大量概念及它們之間的關系，掌握無窮小量階的比較并能熟記一些等價無窮小，會求曲線的漸近線；3理解并運用歸結原則、柯西準則判定某些函數極限的存在性。 （二）教

13、學內容 第一節 函數極限概念1主要內容 函數極限的定義、單側極限、函數極限與左（右）極限的關系。2基本概念和知識點 函數極限的定義、左（右）極限、單側極限、函數極限與左（右）極限的關系。3問題與應用（能力要求） 掌握函數極限的定義，能熟練地計算單側極限和函數極限，掌握函數極限與左（右）極限的關系。 第二節 函數極限的性質1主要內容 函數極限的性質。2基本概念和知識點 函數極限性質：唯一性、局部有界性、局部保號性、保不等式性、迫斂性。函數極限的四則運算法則。3問題與應用（能力要求） 掌握函數極限的性質和四則運算法則，并能熟練地計算函數的極限。第三節 函數極限存在的條件1主要內容 歸結原則、柯西準

14、則。2基本概念和知識點 歸結原則、柯西準則。3問題與應用（能力要求） 理解并運用歸結原則、柯西準則判定某些函數極限的存在性。第四節 兩個重要的極限1主要內容 重要極限：和。2基本概念和知識點 兩個重要極限及其證明。3問題與應用（能力要求） 掌握兩個重要極限，并能熟練地運用它們進行相關的計算。第五節 無窮小量與無窮大量1主要內容 無窮小量、無窮小量階的比較、無窮大量、曲線的漸近線。2基本概念和知識點無窮小量、有界量、高階無窮小階、低階無窮小、同階無窮小、等價無窮小、無窮大量、無窮小量與無窮大量之間的關系、斜漸近線、垂直漸近線。3問題與應用（能力要求）掌握無窮小量與無窮大量及它們之間的相互關系，掌

15、握無窮小量階的比較并能熟記一些等價無窮小，會求曲線的漸近線。（三）課后練習 P47習題1，2，3，4，6，8；P51習題1，2，4，5，7，8；P55習題1，2，3，4，6；P58習題1，2，3，4；P66習題1，2，4，5；總練習題1，2，9，12，13，14。（四）教學方法與手段改變傳統的直陳式講授，采用分解式、前后呼應等講授方法，指導學生對比數列極限的相關內容化解課程學習中的難點，提高教學效果。第四章 函數的連續性（一）目的與要求1熟練掌握函數連續、間斷的概念，能對間斷點進行分類；2掌握連續函數的局部性質、整體性質和在閉區間上的基本性質；3掌握初等函數的連續性質。（二）教學內容 第一節

16、連續性的概念1主要內容 函數在一點的連續性、間斷點及其分類、區間上的連續函數。2基本概念和知識點 自變量（函數）增量、連續、左（右）連續、間斷點、可去間斷點、跳躍間斷點、第一類間斷點、第二類間斷點、區間上的連續函數。3問題與應用（能力要求）熟練掌握函數連續、間斷的概念，能討論函數的連續性和對間斷點進行分類。 第二節 連續函數的性質1主要內容 連續函數的局部性質、閉區間上連續函數的基本性質、反函數的連續性、一致連續性。2基本概念和知識點 連續函數的局部有界性、局部保號性、連續函數的四則運算定理、復合函數的連續性。閉區間上連續函數的有界性定理、最大（小）值定理、介值定理、根的存在定理、反函數的連續

17、性、一致連續性、一致連續性定理。3問題與應用（能力要求） 掌握連續函數的局部性質，可去間斷點、跳躍間斷點、第二類間斷點；掌握閉區間上連續函數的性質和函數的一致連續性。第三節 初等函數的連續性1主要內容 指數函數的連續性、初等函數的連續性。2基本概念和知識點 指數函數的連續性、初等函數的連續性。3問題與應用（能力要求） 掌握任何初等函數都是在其定義區間上的連續函數的結論，并能熟練地利用該結論計算極限。（三）課后練習 P73習題1，2，4，5，6，8；P80習題1，2，4，8，9，11，14，15，17，18，19；P84習題1；總練習題3，4，5，6，8，9，10。（四）教學方法與手段利用幾何直

18、觀來介紹函數的連續性和一致連續等抽象概念。采用分解式、前后呼應等講授方法，對比前面極限相關內容幫助理解教學難點，提高教學效果。第五章 導數和微分（一）目的與要求1理解并熟練掌握導數與微分的定義，明確其幾何、物理背景；搞清函數可導與可微之間的關系；2熟練掌握求導法則與公式，能熟練的進行初等函數的求導（微分）運算，了解費馬定理、達布定理；3會求高階導數和參變量函數的導數。（二）教學內容 第一節 導數的概念1主要內容 導數的定義、導函數、導數的幾何意義。2基本概念和知識點 導數、變化率、函數的左（右）導數、單側導數、導數的幾何意義、有限增量公式、導函數、費馬定理、達布定理。3問題與應用（能力要求）

19、掌握導數的定義及其幾何、物理意義，掌握可導與連續的關系，了解費馬定理、達布定理，會求平面曲線的切線方程和法線方程。 第二節 求導法則1主要內容 導數的四則運算、反函數的導數、復合函數的導數、基本求導法則與公式。2基本概念和知識點 求導運算的四則運算法則、反函數求導公式、復合函數的求導公式、對數求導法、基本初等函數的求導公式。3問題與應用（能力要求） 熟練掌握求導運算的四則運算法則、反函數求導法則、復合函數求導法則及對數求導法，熟記基本初等函數的導數公式。第三節 參變量函數的導數1主要內容 參變量函數的導數。2基本概念和知識點 參變量函數、參變量函數的求導法則。3問題與應用（能力要求） 熟練掌握

20、參變量函數的導數的求導法則。第四節 高階導數1主要內容 高階導數、萊布尼茨公式。2基本概念和知識點 二階導數、高階導數、求高階導數的萊布尼茨公式。3問題與應用（能力要求） 掌握高階導數的定義，能熟練計算給定函數的高階導數，理解參變量函數的二階導數的求導公式。第五節 微分1主要內容 微分的概念，微分的運算法則，高階微分，微分在近似計算中的應用。2基本概念和知識點 可微、微分、微分的運算法則、一階微分形式的不變性、高階微分、微分在近似計算中的應用。3問題與應用（能力要求） 掌握微分的概念、運算法則、一階微分形式的不變性，了解高階微分，掌握微分在近似計算中的應用。（三）課后練習 P94習題1，2，3

21、，4，5，6，8，12,13；P102習題1，2，3，4；P105習題1，2，3，4；P109習題1，3，4，5，6；P116習題1，2，4；總練習題1，4，7，8，9。（四）教學方法與手段用極限的觀點和方法統率教學內容，提高數學理論上的統一性和科學性。導數的定義和幾何意義，求導法則的掌握和運用對以后的學習至關重要，要通過足量習題使學生掌握求導法則，安排專門時間督促和檢查學生學習情況。第六章 微分中值定理及其應用（一）目的與要求1熟練掌握羅爾定理和拉格朗日定理，理解柯西中值定理，掌握帶有皮亞諾型余項和拉格朗日型余項的泰勒公式；2能熟練計算不定式的極限，會求函數的極值與最值；3會討論函數的性態并

22、能作圖。（二）教學內容 第一節 拉格朗日定理和函數的單調性1主要內容 羅爾中值定理與拉格朗日中值定理、單調函數。2基本概念和知識點 羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、函數單調性判定定理。3問題與應用（能力要求） 熟練掌握羅爾中值定理和拉格朗日中值定理的條件、結論和證明方法。會用導數判別函數的單調性，能用中值定理解決一些證明問題。 第二節 柯西中值定理和不定式極限1主要內容 柯西中值定理和洛必達法則。2基本概念和知識點 柯西中值定理、不定式極限、洛必達法則的使用。3問題與應用（能力要求） 了解柯西中值定理，掌握用洛必達法則求各種不定式極限。第三節 泰勒公式1主要內容 帶佩亞諾余項和帶拉格朗日余項的

23、泰勒公式、在近似計算上的應用。2基本概念和知識點 帶佩亞諾余項和帶拉格朗日余項的泰勒公式、麥克勞林公式及其在近似計算中的應用。3問題與應用（能力要求） 了解帶佩亞諾余項和帶拉格朗日余項的泰勒公式、麥克勞林公式，熟記六個常見函數的麥克勞林公式。第四節 函數的極值與最大(小)值1主要內容 極值判別、最大值與最小值。2基本概念和知識點 函數極值的第一、二、三充分條件、函數的極值和最值的求法。3問題與應用（能力要求） 掌握函數極值的第一、二充分條件和極值的計算；會求閉區間上連續函數的最值及其應用。第五節 函數的凸性與拐點1主要內容 函數的凸性與拐點。2基本概念和知識點 凹凸函數及判定定理、詹森不等式、

24、拐點、拐點判定定理。3問題與應用（能力要求） 掌握函數的凸性與拐點的概念及相關判定定理，應用函數的凸性證明不等式，運用詹森不等式證明或構造不等式。第六節 函數圖象的討論1主要內容 作函數圖象。2基本概念和知識點 確定函數的單調區間、極值、凹凸區間和拐點，畫出函數的性態表。3問題與應用（能力要求） 教會學生根據函數的性態表，以及函數的單調區間、凹凸區間，大致描繪函數圖象。（三）課后練習 P124習題2，4，5，6，7，9，15；P132習題1，2，3，5，7；P141習題1，2，3，4；P146習題1，2，4，7，13；P153習題1，2，3，5，8；總練習題1，3，7，12，13。（四）教學方

25、法與手段本章所講中值定理是利用數學理論解決實際問題的橋梁。學生普遍覺得數學分析的理論抽象，且用處不大，可通過選擇與實際應用密切相關的問題，讓學生自己來解決，使他們體會到數學理論在應用方面的巨大威力，增強學習的積極性和主動性。第七章 實數的完備性（一）目的與要求1了解區間套定理、柯西收斂準則，聚點定理和有限覆蓋定理；2了解閉區間上連續函數性質的證明；3了解實數完備性基本定理的等價性、上下極限。（二）教學內容 第一節 關于連續集完備性的基本定理1主要內容 區間套定理與柯西收斂準則、聚點定理與有限覆蓋定理。2基本概念和知識點閉區間套、區間套、聚點、開覆蓋、區間套定理、聚點定理、致密性定理、有限覆蓋定

26、理。3問題與應用（能力要求） 理解區間套定理、聚點定理、致密性定理、有限覆蓋定理的條件和結論。理解這些定理的含意及關系，了解各定理的證明思路。這一節中定理證明多，且非常抽象，可根據學生的情況掌握講解的程度。 *第二節 閉區間上連續函數性質的證明1主要內容 閉區間上連續函數性質和一致連續性定理。2基本概念和知識點 有界性定理、最大最小值定理、介值性定理和一致連續性定理。3問題與應用（能力要求） 理解閉區間上連續函數性質的證明思路和證明方法，了解一致連續性定理的證明思路和證明方法。（三）課后練習 P168習題1，2，3；P172習題1，3，4，5；總練習題1，2，3，4，5。（四）教學方法與手段本

27、章是第一學期內容最難的部分，理論推導復雜、繁難，對學生抽象思維能力要求很高。因此對學習能力一般的學生只要他們了解定理證明思路即可，過高的要求只會挫傷他們的學習積極性和自尊心，對學生要多鼓勵。第八章 不定積分（一）目的與要求1熟練掌握原函數與不定積分的定義、換元積分法、分部積分法；2會求有理函數的不定積分、三角有理式的不定積分和某些無理根式的不定積分。（二）教學內容 第一節 不定積分概念與基本積分公式1主要內容原函數與不定積分、基本積分表。2基本概念和知識點 原函數、不定積分、不定積分的幾何意義、基本積分公式表、不定積分性質。3問題與應用（能力要求） 熟練掌握原函數的概念、基本積分公式及不定積分

28、的線性運算法則。 第二節 換元積分法與分部積分法1主要內容 換元積分法和分部積分法。2基本概念和知識點 第一換元積分法、第二換元積分法、分部積分法。3問題與應用（能力要求） 熟練掌握換元積分法和分部積分法。第三節 有理函數和可化為有理函數的不定積分1主要內容 有理函數的不定積分、三角函數有理式的不定積分、某些無理根式的不定積分。2基本概念和知識點 真分式、假分式、萬能代換。有理函數、三角函數有理式、某些無理根式的不定積分的計算。3問題與應用（能力要求） 會計算有理函數的不定積分、三角函數有理式的不定積分、某些無理根式的不定積分。（三）課后練習 P181習題1，2，5；P188習題1，2，3，4

29、，5；P198習題1，2；P199總練習題（1），（2），（18）。（四）教學方法與手段不定積分是以后各種積分計算的基礎，要求熟記基本積分公式表，布置足量的有關換元積分法與分部積分法的計算題，量變才能達到質變。適當布置有理函數不定積分，三角函數有理式不定積分，某些無理根式不定積分的習題。第九章 定積分（一）目的與要求1熟練掌握定積分的概念、性質、牛頓萊布尼茨公式、換元積分法與分部積分法；2*掌握可積的必要條件、可積的充要條件、可積函數類、積分第一中值定理和微積分基本定理；3了解定積分的幾何意義及*可積性理論。（二）教學內容 第一節 定積分概念1主要內容 定積分的定義及幾何意義。2基本概念和知識

30、點 曲邊梯形、分割、黎曼和、可積、定積分的定義及幾何意義。3問題與應用（能力要求） 掌握定積分的定義，及其幾何意義，并能用定義求一些簡單的定積分。 第二節 牛頓萊布尼茨公式1主要內容 牛頓萊布尼茨公式。2基本概念和知識點 牛頓萊布尼茨公式。3問題與應用（能力要求） 熟練掌握和運用牛頓萊布尼茨公式。*第三節 可積條件1主要內容 可積的必要條件、可積的充要條件、可積函數類。2基本概念和知識點 可積的必要條件、達布上和（下和）、振幅、可積準則、可積函數類。3問題與應用（能力要求） 掌握可積的充分和必要條件，可積準則及證明思路，掌握可積函數類。第四節 定積分的性質1主要內容 定積分的基本性質、積分中值

31、定理。2基本概念和知識點 定積分的基本性質、積分第一中值定理、推廣的積分第一中值定理。3問題與應用（能力要求） 掌握定積分的基本性質和積分第一中值定理。第五節 微積分學基本定理·定積分計算（續）1主要內容 變限積分與原函數的存在性、換元積分法與分部積分法、泰勒公式的積分型余項。2基本概念和知識點 變上（下）限的定積分、變限積分、微積分學基本定理、積分第二中值定理、換元積分法、分部積分法、泰勒公式的積分型余項。3問題與應用（能力要求） 掌握變限定積分的概念、微積分學基本定理、換元積分法及分部積分法。（三）課后練習P204習題1，2；P206習題1，2；P212習題1，2；P219習題2

32、，3，9，11；P229習題1，3，4，5，6，7，10；P237總練習題1，2，6，7，8，9。（四）教學方法與手段定積分定義和計算非常重要是將來學習其它各類積分的基礎，也是今后學好重積分、曲線和曲面積分的關鍵。要通過幾何直觀讓學生真正掌握分割、近似、求和、取極限的重要思想，還要布置足夠的練習，使學生打下扎實的計算基礎。第十章 定積分的應用（一）目的與要求1會求平面圖形的面積、截面面積函數已知的立體的體積、平面曲線的弧長、旋轉曲面的面積；2理解并掌握微元法；3會用定積分求解物理及其他方面的簡單實際問題。（二）教學內容 第一節 平面圖形的面積1主要內容 平面圖形面積的計算公式。2基本概念和知識

33、點 平面圖形面積的計算公式，包括參量方程及極坐標方程所定義的平面圖形面積的計算公式。3問題與應用（能力要求） 掌握平面圖形面積的計算公式，包括參量方程及極坐標方程所定義的平面圖形面積的計算公式。 第二節 由平行截面面積求體積1主要內容 由平行截面面積求體積的計算公式。2基本概念和知識點 由平行截面面積求體積的計算公式、旋轉體及其體積計算公式。3問題與應用（能力要求） 掌握由平行截面面積求體積的計算公式，旋轉體體積計算公式。第三節 平面曲線的弧長與曲率1主要內容 平面曲線的弧長與曲率的計算公式。2基本概念和知識點 可求長、弧長、光滑曲線、曲率、平面曲線的弧長與曲率的計算公式。3問題與應用（能力要

34、求） 掌握平面曲線的弧長與曲率的計算公式。第四節 旋轉曲面的面積1主要內容 微元法、旋轉曲面的面積。2基本概念和知識點 微元法和旋轉曲面的面積計算公式。3問題與應用（能力要求） 掌握微元法和旋轉曲面的面積的計算公式，包括求由參數方程定義的旋轉曲面的面積。第五節 定積分在物理中的某些應用1主要內容 液體靜壓力、引力、功與平均功率。2基本概念和知識點 液體靜壓力、引力、功與平均功率。3問題與應用（能力要求） 要求學生能用微元法導出求液體靜壓力、引力、功與平均功率的計算公式。（三）課后練習P242習題1，3，4，9；P246習題2，3，5，6；P252習題1，3；P255習題1，2；P259習題1，

35、2，3，4，5。（四）教學方法與手段通過本章的學習使學生充分領略到定積分在幾何、物理方面的應用的重要性，增強學生學習抽象數學理論的積極性和主動性，從而提高學習成績。第十一章 反常積分（一）目的與要求1掌握兩種反常積分的定義和性質；2了解反常積分的判斂法；3掌握反常積分的計算方法。（二）教學內容 第一節 反常積分概念1主要內容 無窮積分、瑕積分。2基本概念和知識點 無窮積分、收斂、發散、瑕積分，無窮積分與瑕積分的計算。3問題與應用（能力要求） 掌握無窮積分與瑕積分的定義與計算方法。 第二節 無窮積分的性質與收斂判別1主要內容 無窮積分的性質、比較判別法、*狄利克雷判別法、*阿貝爾判別法。2基本概

36、念和知識點 無窮積分的性質、絕對收斂、條件收斂、柯西判別法、*狄利克雷判別法、*阿貝爾判別法。3問題與應用（能力要求） 掌握無窮積分的性質，會用柯西判別法判別無窮積分斂散性，*了解狄利克雷判別法和阿貝爾判別法。第三節 瑕積分的性質與收斂判別1主要內容 瑕積分的性質與收斂判別。2基本概念和知識點 瑕積分的性質和比較法則。3問題與應用（能力要求） 掌握瑕積分的性質，*會用柯西判別法判別瑕積分的斂散性。（三）課后練習P269習題1，2，5，6；P275習題2，3，4，5；P279習題3，4；P280總練習題1，2，3。（四）教學方法與手段無窮積分在將來的后續課程概率論與數理統計中，有極重要的應用，一

37、定要讓學生通過大量練習務必掌握，還要注意突出積分的幾何意義。第十二章 數項級數（一）目的與要求1熟練掌握數項級數收斂的定義、性質及柯西準則；2熟練掌握正項級數的判斂法、交錯級數的萊布尼茨判別法、一般項數項級數的阿貝耳判別法、狄利克雷判別法、積分判別法；3掌握絕對收斂與條件收斂之間的關系，*了解級數的重排、級數的乘積、拉貝判別法。（二）教學內容 第一節 級數的收斂性1主要內容 數項級數收斂性的定義和基本性質。2基本概念和知識點 級數、部分和、級數的收斂與發散、級數的基本性質、等比級數、級數收斂的柯西準則、調和級數。3問題與應用（能力要求） 理解和掌握級數收斂性的定義和基本性質，掌握等比級數和調和

38、級數的斂散性，能應用柯西收斂準則判別級數的斂散性。 第二節 正項級數1主要內容 正項級數收斂性的一般判別原則、比式判別法和根式判別法、積分判別法。2基本概念和知識點 同號級數、正項級數、正項級數收斂性的一般判別原則、比較判別法，比式判別法，根式判別法和積分判別法。3問題與應用（能力要求） 掌握正項級數收斂性的一般判別原則、比較判別法、比式判別法、根式判別法和積分判別法。第三節 一般項級數1主要內容 交錯級數、絕對收斂級數及其性質、*阿貝爾判別法和狄利克雷判別法。2基本概念和知識點 交錯級數、萊布尼茨判別法、條件收斂、絕對收斂、*級數的重排、柯西定理、阿貝爾變換、阿貝爾判別法、狄利克雷判別法。3

39、問題與應用（能力要求） 理解收斂級數，絕對收斂級數與條件收斂級數的關系，性質及證明方法。掌握交錯級數的萊布尼茨判別法。*了解一般項級數的狄利克雷判別法與阿貝爾判別法，了解絕對收斂級數的性質。（三）課后練習 下冊P5習題1，2，4，5，6，7，8；P16習題1，2，3，5，6，8，9，14；P24習題1，2，3；總練習題1，2，5，6。（四）教學方法與手段以教師講授為主學生自學為輔，加強與學生的溝通和交流，隨時解答學生學習中的問題，通過習題課提高學生的解題水平和能力。第十三章 函數列與函數項級數（一）目的與要求1理解并熟練掌握函數列一致收斂的定義、函數項級數一致收斂的定義、優級數判別法；2掌握一

40、致收斂的柯西準則；3掌握一致收斂函數列與函數項級數的性質。（二）教學內容 第一節 一致收斂性1主要內容 函數列及其一致收斂性、函數項級數及其一致收斂性、函數項級數的一致收斂性判別法。2基本概念和知識點 函數列、收斂點、收斂域、一致收斂、函數項級數、和函數、優級數、函數序列與函數項級數一致收斂性判別的柯西準則、函數項級數一致收斂性的魏爾斯特拉斯判別法。3問題與應用（能力要求） 掌握函數列與函數項級數一致收斂性的定義，了解函數列與函數項級數一致收斂性判別的柯西準則，函數項級數一致收斂性的魏爾斯特拉斯判別法。 第二節 一致收斂函數列與函數項級數的性質1主要內容 一致收斂函數列與函數項級數的連續性、可

41、積性和可微性。2基本概念和知識點 一致收斂函數列與函數項級數的連續性、可積性和可微性的判別。3問題與應用（能力要求） 掌握一致收斂函數列與函數項級數的連續性，可積性，可微性的結論。（三）課后練習下冊P35習題1，3，4，5，6；P41習題1，3，4，5，6，7；P42總練習題1，2。（四）教學方法與手段所學理論抽象且比較復雜對學生要多鼓勵，樹立學生學好的信心，讓學得好的學生介紹和交流學習心得和體會共同提高學習水平。第十四章 冪級數（一）目的與要求1會求冪級數的收斂半徑、收斂區間；2掌握冪級數的性質和運算；3會將初等函數展成冪級數。（二）教學內容 第一節 冪級數1主要內容 冪級數的收斂區間、冪級

42、數的性質、冪級數的運算。2基本概念和知識點 冪級數的收斂半徑、收斂區間的定義和求法、冪級數的性質及運算。3問題與應用（能力要求） 理解冪級數作為特殊的函數項級數有和它相同的性質。掌握冪級數收斂半徑和收斂域的定義與求法。掌握冪級數的性質及運算。 第二節 函數的冪級數展開1主要內容 泰勒級數、初等函數的冪級數展開式。2基本概念和知識點 泰勒級數和麥克勞林級數展開式的定義、基本初等函數的冪級數展開式。3問題與應用（能力要求） 掌握泰勒級數和麥克勞林展開式，五種基本初等函數的冪級數展開。會用逐項求積和逐項求導的方法展開簡單的初等函數。（三）課后練習下冊P50習題1，2，3，7，8，9；P41習題1，2

43、，3，4；P60總練習題1，2，3，4，6。（四）教學方法與手段加強與學生的溝通和交流，隨時解決學生學習和思想上的問題，與學生做朋友。第十五章 傅里葉級數（一）目的與要求1理解三角級數、正交函數系、傅里葉級數及收斂定理；2會將以為周期的函數（奇偶函數）展成傅里葉級數；3*了解收斂定理的證明。（二）教學內容 第一節 傅里葉級數1主要內容 三角級數、正交函數系、以為周期的函數的傅里葉級數、收斂定理。2基本概念和知識點 三角級數、正交函數系、光滑、按段光滑、傅里葉級數定義與收斂定理。3問題與應用（能力要求） 掌握三角級數和傅里葉級數定義，了解傅里葉級數的收斂定理，能夠展開比較簡單函數的傅里葉級數。

44、第二節 以2為周期的函數的展開式1主要內容 以為周期的函數的傅里葉級數、偶函數和奇函數的傅里葉級數。2基本概念和知識點 以為周期的函數的傅里葉級數展開的基本方法、偶函數和奇函數的傅里葉級數的展開、正弦級數、余弦級數。3問題與應用（能力要求） 掌握以為周期的函數的傅里葉級數展開的基本方法、偶函數和奇函數的傅里葉級數的展開方法。*第三節 收斂定理的證明1主要內容 貝塞爾不等式、黎曼勒貝格定理、收斂定理的證明。2基本概念和知識點 貝塞爾不等式、黎曼勒貝格定理、收斂定理的證明。3問題與應用（能力要求） 了解貝塞爾不等式和收斂定理的證明。（三）課后練習下冊P70習題1，2，3，7；P77習題2，3，4，

45、5，6；P83習題2，4。（四）教學方法與手段 三角級數和傅里葉級數的展開計算量較大，可布置少量習題使學生了解展開的方法與步驟。教學中要注意因材施教，對較好學生布置與收斂定理的證明有關的習題，其余學生不做要求。第十六章 多元函數的極限與連續（一）目的與要求1掌握平面點集的有關概念；2了解二元函數的幾何意義，熟練掌握二元函數的極限，搞清重極限與累次極限之間的關系；3理解二元函數的連續性，掌握有界閉區域上連續函數的性質。（二）教學內容 第一節 平面點集與多元函數1主要內容 平面點集、上的完備性定理、二元函數、元函數。2基本概念和知識點 平面點集、圓（方）鄰域、內點、外點、界點、邊界、聚點、開集、閉

46、集、開域、閉域、區域、有界（無界）點集、柯西準則、閉域套定理、聚點定理、二元函數、元函數。3問題與應用（能力要求） 了解平面中的鄰域、開集、閉集、開域、閉域的定義，的完備性，掌握二元及多元函數的定義。 第二節 二元函數的極限1主要內容 二元函數的極限、累次極限。2基本概念和知識點 二元函數的極限定義、累次極限。3問題與應用（能力要求） 掌握二元函數的極限定義，理解重極限與累次極限的區別與聯系，熟悉判別極限存在性的基本方法。第三節 二元函數的連續性1主要內容 二元函數的連續性概念、有界閉域上連續函數的性質。2基本概念和知識點 二元函數的連續性的定義、間斷點、全增量、偏增量、復合函數的連續性。有界

47、閉域上連續函數的有界性、最大最小值定理、介值性定理和一致連續性定理。3問題與應用（能力要求） 掌握二元函數的連續性的定義，了解有界閉域上連續函數的性質。（三）課后練習 下冊P92習題1，2，3，5，6，7，8；P99習題1，2，3，6，7；P104習題1，2，4，6，8，9；P105總練習題1，3。（四）教學方法與手段改變傳統的直陳式講授，采用分解式、前后呼應等講授方法。指導學生對比一元函數定義、極限、連續性與多元函數的聯系與區別，教會他們通過類比掌握多元函數的相關內容，化解課程學習中的難點，提高教學效果。第十七章 多元函數微分學（一）目的與要求1熟練掌握二元（多元）函數的偏導數與全微分的定義

48、，搞清二元（多元）函數的可導、可微、連續以及偏導數與連續性之間的關系，熟練掌握復合函數的求導法則；2掌握可微的條件、高階偏導數、中值定理及泰勒公式，會求極值；3了解可微的幾何意義、方向導數與梯度。（二）教學內容 第一節 可微性1主要內容 可微性與全微分、偏導數、可微性條件、可微性幾何意義及應用。2基本概念和知識點 可微、全微分、偏導數、可微的充分（必要）條件、可微性幾何意義及應用。3問題與應用（能力要求） 掌握偏導數、可微性、全微分定義，熟記可微的充要條件，并能熟練地求偏導數。理解二元函數的偏導數存在、可微、連續之間的關系。 第二節 復合函數微分法1主要內容 復合函數的求導法則、復合函數的全微

49、分。2基本概念和知識點 復合函數鏈式法則、復合函數的全微分、一階全微分形式不變性。3問題與應用（能力要求） 熟練掌握和運用鏈式法則，理解一階全微分形式不變性。第三節 方向導數與梯度1主要內容 方向導數與梯度的定義及計算。2基本概念和知識點 方向導數與梯度的定義和計算公式。3問題與應用（能力要求） 掌握方向導數、梯度的定義和計算公式。第四節 泰勒公式與極值問題1主要內容 高階偏導數、極值問題，*中值定理與泰勒公式。2基本概念和知識點 二元函數的高階偏導數、二元函數的極值的必要條件與充分條件、極值的計算與判別，*中值定理與泰勒公式。3問題與應用（能力要求） 掌握二元函數的高階偏導數的定義，能夠根據

50、二元函數的極值的必要條件與充分條件尋找二元函數的極值與最大(小)值。（三）課后練習 下冊P116習題1，2，3，5，6，8，9，10，13； P123 習題1，2，3，5，6； P127習題1，2，3，6，7，8； P140習題1，2，7，8，10，13，14；P142總練習題1，2，5，6。（四）教學方法與手段改變傳統的直陳式講授，采用分解式、前后呼應等講授方法。指導學生類比一元函數導數、微分、泰勒公式與極值等內容，來學習多元函數的相關內容，化解課程學習中的難點，提高教學效果。第十八章 隱函數定理及其應用（一）目的與要求1理解并掌握隱函數和隱函數組定理，會求隱函數的導數、平面曲線的切線與法線

51、、空間曲線的切線與法線、曲面的切平面與法線；2會求函數的條件極值；3反函數組與坐標變換。（二）教學內容 第一節 隱函數1主要內容 隱函數概念、隱函數存在性條件的分析、隱函數定理、隱函數求導舉例。2基本概念和知識點 隱函數、隱函數存在惟一性定理、隱函數可微性定理、隱函數求導計算。3問題與應用（能力要求） 掌握隱函數存在的條件，熟記隱函數定理，會求隱函數導數。 *第二節 隱函數組1主要內容 隱函數組概念、隱函數組定理、反函數組與坐標變換。2基本概念和知識點 隱函數組的概念、隱函數組定理、反函數組與坐標變換。3問題與應用（能力要求） 掌握隱函數組和反函數組存在的條件，學會隱函數組和反函數組求導法。第

52、三節 幾何應用1主要內容 平面曲線的切線與法線、空間曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線。2基本概念和知識點 求平面曲線的切線與法線方程、空間曲線的切線與法平面方程、曲面的切平面與法線方程。3問題與應用（能力要求） 會求平面曲線的切線與法線方程，空間曲線的切線與法平面方程，曲面的切平面與法線方程。第四節 條件極值1主要內容 條件極值、拉格朗日乘數法。2基本概念和知識點 條件極值、拉格朗日函數、拉格朗日乘數法。3問題與應用（能力要求） 了解拉格朗日乘數法的證明，掌握用拉格朗日乘數法求條件極值的方法。（三）課后練習下冊P151習題1，2，3，4，5，6；P157習題1，2，3，5；P163習題1，2，3，5，6，7；P16