1、分形圖形學實驗指導實驗一 二維空間上的分形圖形生成實驗目的1. Mandelbrot 集與 Julia 集的電腦實現(xiàn)2. 掌握用 L 系統(tǒng)語言生成分形實驗內容及步驟1. 編寫程序生成 Mandelbrot 集在復迭代中影響最大的當屬迭代ZTzA2+c,實際上它只是形式更一般的復解析迭代z_(n+1)=F(z_n)+c 的一種，F(xiàn)是一個非線性函數(shù)。 顯然ztzA2+c也是最簡單的一種，它 在 復迭代中的地位相當于邏輯斯蒂映射x_(n +1)=ax_n(1- x_n)在實迭代中的地位(見第八章)。考慮一般形式的 F,令z=x+iy,c=c_( X)+ic_(Y)，其中i表示虛數(shù)，i=SQRT(-1

2、)。別離 實部與虛部，具體化迭代關系便有：xTf(x,y)+c_(X)， yTg(x,y)+c_(Y).通常所說的M集是迭代二次函數(shù) ztzA2+c產(chǎn)生的，此函數(shù)具 體化就是xT xA2- yA2+c_(X) ， yT2xy+c_( Y).其中 z=x+i y,c=c_(X)+i c_(Y ), 以橫軸 x 記錄實數(shù)的實部，以縱軸 y 記錄實數(shù)的虛部。 M集合實際上是常數(shù) c=(c_(X), c_(Y)構成的圖象。讓c從屏幕左上角開始變化， 逐行增加， 一直變到屏幕右下角。如果取的區(qū)域是 200X2 00,那么一共要計算 40,000個點，把計算的 結果用不同的顏色標記下來，就得到一幅圖象，這

3、就是M集。對于不同的c值，如何得到表征迭代性質的不同的結果呢 ?容易知道, 無窮遠處肯定是迭代的一個吸引子, 即對于復平面上相當多的初始條件, 迭 代最終都跑到無窮遠處。 但研究發(fā)現(xiàn), 在原點附近還存在一個奇特的區(qū)域, 在迭代過程中此 區(qū)域永遠不會跑掉。 在非嚴格的意義上， 這個不變的集合就是 M集，我們的主要任務就是畫 出這個集合的邊界一一實際上邊界是分形曲線，極其復雜，M集圖象的全部魅力就在這里。在復平面上,我們以原點 (0,0) 作為參考點,觀察迭代過程是否遠離原點,以及逃離原 點的速度如何。為此規(guī)定一個距離函數(shù)D=xA2+yA2,其實D有許多不同的取法，以上取法是最普通的。可以看出，如

4、果D較大，表 明迭代點離原點較遠，如果D較小，說明迭代點離原點較近。 假設對于任何一個 c,迭代都從(x_0, y_0)=(0,0)開始，我們觀察迭代點列(x_l, y_l), (x_2, y_2), (x_3, y_3)，(x_(100) , y_(l00)，的變化狀況。每一次都計算一下D值，即該點與原點(0 , 0)的距離(為方便計，這里 實際上計算的是距離的平方)。取一個參考距離 R,不妨取得大一些，比方R =40(實際上取20就足夠了)。現(xiàn)在想知道迭代多少次后實際的距離D大于R。在迭代過程中如果 D小于R那么繼續(xù)讓電腦迭代，要規(guī)定一個上限，比方300次。如果迭代了 300次后結果仍然不

5、跑掉(即D仍然小于&，那么可以近似認為此點屬于M集合。對于迭代次數(shù)小于 300次的情況，如果迭代 10次D就大于R,那么標記c點為白色；如 果迭代35次D開始大于R那么標記c點為紅色；如果迭代 110次D開始大于R,那么標記c 點為藍色，等等。2. 編寫程序生成Julia集一個M集可以對應無數(shù)種 J集，實際上 M集就是所有J集的濃縮。M集不同部位的形 狀，反映了對應于該處的 J集的形狀，于是用 M集可以對J集進行分類，至少在電腦圖形 學的層次上可以這樣說。計算J集時，初始迭代點就不能總取 (0 , 0) 了，而是要根據(jù)實際位置取實際的 (x , y) 坐標值。仍以迭代 ztzA2+c為例說明。

6、先取 定一個c值，比方c=(1.0221,0.2433)，迭代 關系化為xt乂人2-丫人2+1.0221 , yt2xy+0.2433.從屏幕左上角算起，逐行計算，一直算到屏幕右下角。當然，也可以不取整個屏幕那么大，只選一個200X 200的小區(qū)域做。標色的原理與上面講 M集合時完全類似，此略。改變常數(shù)c的取值，可以得到各式各樣的J集。3. 比擬M集與J集的區(qū)別與聯(lián)系在源程序中，M集與J集的計算方法十分相似，只需改變兩處語句就可以互換為對方。初始迭代點迭代關系說明M集x0:=0;y0:=0;x1:=f(x,y)+p0;y1:=g(x,y)+q0;p_0,q_0不斷變化J集X0:=p0;y0:=

7、q0;x1:=f(x,y)+c_X;y1:=g(x,y)+c Y ; c_(X) , c_(Y)固定不變4. 編寫程序用 L 系統(tǒng)語言生成分形圖形1) 編寫程序生成柯赫曲線 : 初始圖形是一條線段，生成過程是將線段中間1/3 向外折起。程序偽碼如下：KochCurve ；柯赫曲線Angle 6；角度增量是 60Axiom F；初始圖形是一單位線段F=F+F-F+F；產(chǎn)生式是將線段中間 1/3 折起；結束2) 用 L 系統(tǒng)再次生成希爾伯特曲線。生成希爾伯特曲線的偽碼如下：Hilbert；希爾伯特曲線， 1996-12Angle 4Axiom Y；初始串為任意字母 YX=-YF+XFX+FY-；第

8、一個生成規(guī)那么Y=+XF-YFY-FX+；第二個生成規(guī)那么，由以上規(guī)那么不斷代換3) 模擬草本植物。注意這里出現(xiàn)了“括號可以方便地表示樹枝，偽碼如下：HerbPlant ；生成植物，本程序使用了括號Angle 14Axiom ZZ=ZFX +Z -ZX=X -FFF +FFF FX實驗二 高維空間的分形圖形生成實驗目的1. 了解三維L-系統(tǒng)生成高維空間分形圖形的方法2. 掌握四元數(shù)生成 Mandelbrot 集和 Julia 集3. 掌握隨機中點位移法實驗內容及步驟1. 編寫程序，使用四元數(shù)生成 Mandelbrot 集和 Julia 集通常我們是在二維復平面上研究廣義的M集和J集，也可以通過

9、“四元數(shù)(quaternions) 將它們推廣到高維空間中去。在二維復平面中表示復數(shù)只用兩個基向量：1和i。在四維空間中討論超復數(shù)，現(xiàn)在有四個基向量：1, i, j和k。任一復數(shù)可以表示為q=x+yi+zj+qk.超復數(shù)基向量之間的運算關系 (注意，不同于傳統(tǒng)上四元數(shù)基向量之間的運算關系 )為：ij=k,jk=-i,ki=-j,ji=k,kj=-i,ik=-j,ii=jj=-kk=-1,ijk=1.注意，運算關系的規(guī)定多少有些任意性，也可以規(guī)定iA2=jA2=kA2=+ 1 。在四維空間H中也可以研究迭代 XixA2+c下的超朱麗亞集J ,選一個截面，將超朱麗 亞集投影到三維空間中，可以得到立

10、體的 J 集圖象。實驗三分形混沌動力系統(tǒng)實驗目的1. 了解動力系統(tǒng)概念2. 掌握Julia復動力系統(tǒng)及其IFS詮釋3. 了解混沌的概念；實驗內容及步驟1. 使用IFS方法，編寫生成Julia復動力系統(tǒng)的程序通過IFS方法還可以繪制朱麗亞集J。設ztzA2+c,求出兩個逆變換：w_1(z)=SQRT(z-c) , w_2(z) =-SQRT(z-c),取概率(p_1,p_2)=(1/2,1/2)，迭代后生成的吸引子實際上就是各種朱麗亞集！IFS方法、L系統(tǒng)、混沌動力學以及有關 M集和J集的迭代，事實上都是相互關聯(lián)著的, 這種關聯(lián)表達了非線性科學的內在邏輯。算法：Julia_IFS標題：Julia

11、集的IFS算法參數(shù):z迭代次數(shù)PI n值RAND MA隨機最大值變量：k概率變量x,y z的實部和虛部cx,cy c的實部和虛部r極距a,b,e,f,m,n, wx,wy,theta函數(shù)：Pset(x,y)畫點函數(shù)Rand隨機函數(shù)sin正弦函數(shù)cos余弦函數(shù)atan反正切函數(shù)BEGINFOR i=1 TO zm=a*x+en=b*y+fIF i10 THENPset(m, n)ENDIF wx=x-cxwy=y_cyIF wx0 THENtheta=ata n( wy/wx)ENDIFIF wx0 THENtheta=PI+ata n(wy/wx)ENDIFIF wx=0 THENtheta=

12、PI/2ENDIFtheta=theta/2 r=sqit(wx*wx+wy*wy) k=rand rnd=k/RAND_MAX IF rnd0.5 THEN r=sqrt(r)ELSE r=-sqrt(r)ENDIF x=r*cos(theta) y=r*sin(theta)ENDFOREND實驗四分形圖像壓縮實驗目的1. 掌握冗余度壓縮熵編碼2. 限失真編碼熵壓縮3. 掌握分形圖像壓縮的原理與方法4. 編程實現(xiàn)分形圖像壓縮。實驗內容及步驟1.使用IFS方法，編程實現(xiàn)簡單自相似圖像謝爾賓斯基 基墊壓縮分形圖像壓縮是利用原始圖像所具有的自相似性，構造一個迭代函數(shù)系統(tǒng)IFS，利用IFS抽取圖像的

13、自相似性，即用圖像中的一個子塊經(jīng)過分形仿射變換來逼近同一圖像中的 另一子塊，而且僅僅將仿射變換系數(shù)記錄下來，從而到達壓縮圖像數(shù)據(jù)的目的。以謝爾賓斯基基墊為例加以說明，如以下圖。可以看出，整個墊子是由上、左下、右下 3個較小的墊子組成。每個較小的墊子是由原來的墊子經(jīng)收縮仿射變換得來的。如果能分別 找出把原圖形變成 3個小圖形的收縮放射變換，那么，整個迭代函數(shù)系統(tǒng)就定下來了。1)(1/2, 1/2)(3/2, 1/2)x2,y2， x3,y3W1的變換式展開：設原來墊子3各頂點的坐標分別為x1,y1， x2,y2， x3,y3。變換所得小 墊子的3個頂點坐標為x1,y1， x2,y2， x3,y3。圖2.3b表示的是把原電子變?yōu)樯厦嫘|子的坐標。把x1=a1x1+b1y1+e1 y1=c1x1+d1y1+f1 x2=a1x2+b1y2+e1 y2=c1x2+d1y2+f1 x3=a1x3+b1y3+e1 y3=c1x3+d1y3+f1解這組方程得到變換 W1的各系數(shù)。代入