1、第一章 誤差分析的基本概念§1 誤差的來源1 誤差概念 ：精確值與近似值之差稱為誤差，也叫絕對誤差。2 產生誤差的主要原因 模型誤差：在解決實際問題時，在一定條件下抓住主要因素將現實系統理想化的數學描述稱為實際問題的數學模型，這種數學描述常常是近似的，數學模型與實際系統之間存在誤差，這種誤差稱為模型誤差。 觀測誤差：數學模型中往往含有一些由觀測得到的物理量（如溫度、電阻、長度）或由物理量估算出的模型參數，這些觀測物理量或模型參數常常與實際數據存在誤差。這種由觀察產生的誤差稱為觀測誤差。 截斷誤差：數值計算中用有限運算近似代替無窮過程產生的誤差。例如計算一個無窮次可微函數的函數值時，理

2、論上只要能算出這個函數的泰勒級數值即可，但是實際工程上僅用泰勒級數中前面有限項來近似計算函數值，而舍去高階無窮小量。這個被舍的高階無窮小量正是截斷誤差。 舍入誤差：計算中按四舍五入進行舍入而引起的誤差或因計算機字長有限，數據在內存中存放時進行了舍入而引起的誤差。 3.舉例說明例1 設一根鋁棒在溫度t 時的實際長度為Lt ,在 t=0時的實際長度為L0,用來表示鋁棒在溫度為t時的長度計算值，并建立一個數學模型：,其中是由實驗觀察得到的常數 （0.0000238±0.0000001）1/，稱為模型誤差，0.0000001/是的觀測誤差。這個問題中模型誤差產生的原因是：實際上與t2有微弱關

3、系，也就是說模型未能完全反映物理過程。例2 已知在 x=0 處展開的泰勒級數為：為了計算近似值,可取前面有限項計算.如取前面五項計算,計算過程中與計算結果都取五位小數得e1+1+1/2+1/6+1/242.7083，e取五位小數時的準確值為=2.71828，于是截斷誤差為:這表明：只要在計算中采用了有限步運算近似代替無限步運算的方法，截斷誤差就一定存在。 例3.=3.1415926；=1.41421356，在計算機上運算時只能用有限位小數，如果我們取小數點后四位小數則：=-3.1416 =-0.0000074；=-1.4142=0.000013就是舍入誤差。另外值得一提的是十進制數轉化為二進制

4、數時有時也引起循環小數，因計算機上浮點數存儲位數限制而舍棄尾部部分小數，如 存儲時會引起舍入誤差。這個數制轉化問題表明：只要計算機內部采用二進制運算，無論計算機發展的多完善，這個舍入誤差理論問題永遠存在?？偟膩碚f，誤差一般有：模型誤差；觀測誤差；截斷誤差；舍入誤差。在計算方法這門課程中，截斷誤差和舍入誤差是誤差的主要研究對象，討論它們在計算過程中的傳播和對計算結果的影響，并找出誤差的上下界，對分析和改進算法都有重大的實際意義。§2 絕對誤差 相對誤差 有效數字 定義1：設x為準確數，為x的近似值，記e=x-x 稱e為x與x 的誤差，也叫x與x的絕對誤差。顯然，x= x+ e 即近似值

5、加誤差就是準確值，因此把e也叫做近似值x的修正值，或者說近似值加上修正值就是準確值。誤差可正可負，且有量綱單位，當誤差為負時，近似值偏大，叫做“強近似”，當誤差為正時，近似值偏小，叫做“弱近似”。例1 x=3.14159265 按四舍五入的原則保留不同位數的小數，計算其誤差。用一位數字近似表示 用三位數字近似表示 用五位數字近似表示 用六位數字近似表示 定義2：如果 就叫做近似值x的“誤差限”，也叫絕對誤差限。誤差限一定是一個正數。我們常用來表示近似值的精確度或準確值所在的范圍（）?，F在引入有效數字的概念。如果近似值的誤差限是某一位上的半個單位，該位到的第一位非零數字共有n位，我們就說有“n位

6、有效數字”，或者說準確到該位。用四舍五入法取準確值的前n位作為近似值，則有n位有效數字。 以下觀察有效數字的位數n與誤差限之間的關系 3位有效數字 5位有效數字 6位有效數字 定義3：若用表示x的近似值，并將表示成=±, （及p 為整數, ;, ）若其誤差限為就稱近似值具有n位有效數字.利用定義3，由有效數字位數n和近似值可以確定誤差限： 。注意，首先需要特別指出的是，在有效數字的記法中，有效數字0.123×10-3 和0.1230×10-3是有區別的，前者只有三位有效數字，后者卻有四位有效數字；其次，如果只知道x* =300000的絕對誤差限不超過500=，則應

7、把它寫成300×103或3.00×105,如果仍記為300000，則表示它的誤差限不超過0.5，這是因為前者有三位有效數字，后者有六位有效數字；再次，還需要指出的是，一個準確數字的有效位數，應當說有無窮多位。例如對于1/4=0.25不能說只有兩位有效數字。例2 若=3587.64是x的具有六位有效字的近似值，那么它的誤差限為 定義4：稱為近似值的相對誤差，當比較小時，有時也把稱為近似值的相對誤差。相對誤差無量剛。相對誤差可正可負。我們把相對誤差絕對值的上界叫做相對誤差限，記作=|, 其中是的誤差限(也叫絕對誤差限)。推論1. 近似數（n 、及p為整數, 19; 09, 2

8、in）有n位有效數字，則其相對誤差限為：證明： 由于有n位有效數字，故與x的絕對誤差限應為由相對誤差限的定義得:而 由此可以看出，有效數字位數越多，相對誤差限就越小。推論2：若近似數（ n, 及p為整數，19； 09，2in）的相對誤差限滿足：則至少有n位有效數字。證明： (高位進1,舍去尾數,其值變大)由定義3知道：近似數有n位有效數字。證畢。例3. 用來表示e具有三位有效數字的近似值，相對誤差限是多少？解：=0.272×101 , n=3 , p=1 , =2 . 由推論1得： =0.0025例4. 為了使的近似值的相對誤差小于，問至少要取幾位有效數字？解： 由推論2 故按題目要

9、求 令. 則有 即n至少要取為4取n=4查數學用表，其相對誤差小于 0.1%§3. 和 差 積 商的誤差1. 和 差 積 商的誤差設是x的近似值，是y的近似值，用來表示的近似值，則它的誤差為(x±y)-(x*±y*)=(x-x*) ±(y-y*) （1-3-1）于是有如下結論：結論1： 和的誤差是誤差之和，差的誤差是誤差之差。 |(x±y)-(x*±y*)|x-x*| +|y-y*| （1-3-2）結論2： 兩個數和或差的絕對誤差限不超過各數絕對誤差限之和。結論3： 任意多個數和或差的絕對誤差限不超過各個數的絕對誤差限之和。結論4：

10、若令則相對誤差是對數函數的微分 （1-3-3）設u=xy 則lnu=lnx+lny dlnu=dlnx+dlny 于是有如下結論：結論5 乘積的相對誤差是各乘數的相對誤差之和。設u=x/y 則lnu=lnx-lny dlnu=dlnx-dlny 于是有如下結論：結論6： 商的相對誤差是被除數的相對誤差減去除數的相對誤差。結論7： 任意多次連乘，連除所得計算結果的相對誤差限不超過各乘數和除數的相對誤差限之和。證明： 設 w=(uv)/(xy) 則 lnw=lnu+lnv-lnx-lny ; dlnw=dlnu+dlnv-dlnx-dlny |dlnw|dlnu|+|dlnv|+|dlnx|+|d

11、lny| 證畢。例1設y=f(x) 則的相對誤差是 例2設則,因此.的相對誤差是x的相對誤差的n倍。2一般數值運算的誤差估計設的近似值依次是，把近似值代入函數y=f()運算得，顯然是的近似值，的誤差、相對誤差如何估計？如果函數y=f()在（ ）附近有連續的二階偏導數，函數值的誤差可用多元函數在()處的泰勒展開式得到。y=f()=令 于是y的誤差： （1-3-4）按相對誤差定義，y的相對誤差為： （1-3-5） 例3 測得某桌面的長a的近似值a*=120cm，寬b的近似值b*=60cm，若已知|a-a*|0.2cm，|b-b*|0.1cm，試求近似面積s*=a*b*的絕對誤差限與相對誤差限。解：

12、 因為 s=ab ，由（1-3-4）和（1-3-5）式|e*(s*)|600.2|+|1200.1|=24cm2 |e(s*)|=故s*的絕對誤差限為24 cm2，相對誤差限為0.33% .§4 近似計算中需要注意的幾個問題1. 要避免兩個相近的數相減在數值計算中，兩個相近的數相減，則這兩個數的前幾位相同的有效數字會在在它們之差中消失，有效數字位數大大減少。例如計算 時，當x接近于零則應變換為來計算；再例如計算，當x充分大時應變換為來計算；當x=1000時，若取4位有效數字計算，兩者相減結果為0.02，這個結果只有一位有效數字。但用計算，則得0.01581,它有四位有效數字。這說明應

13、當盡量避免出現這類運算，改變計算方法可以避免兩個相近的數相減而引起有效數字損失。通常根據具體情況采用一些數學上的恒等變形如因式分解、分子分母有理化、三角函數恒等式、Taylor展開式等計算公式。2. 兩個相差很大的數進行計算時，要防止大數“吃掉”小數例1 計算二次方程解：因式分解得二次方程兩根為：，；按求根公式：;其中 =。若計算機上只能表達到小數后八位，則對階運算時1=在計算中將不起作用，因此，。類似的分析將有， （對階運算時4ac作零處理）故求得兩個近似根 ,；類似方程還有許多如 ：這表明無論計算機發展的多完善，這個大數“吃”小數的問題永遠存在。因此，設計算法或編制程序時，一般不要將大小相

14、差非常懸殊的兩個數放在一起來運算。3. 要注意計算步驟的簡化，減少運算的次數簡化計算公式十分重要，它直接影響著計算的速度和誤差的積累，有時可以使一項無法實現的計算能夠實現，快速富氏變換就是典型例子。下面我們以計算多項式的值為例來說明簡化計算公式的重要性。例2 計算多項式 （1-4-1）的值，若直接用上面公式來計算，計算k次項的值需要進行k次乘法，所以計算多項式共需n(n+1)/2次乘法和n次加法才能得到批p (x)的值，但如果我們將公式（1-4-1）改寫成下面的形式:令 （1-4-2）對k=1,2, n 反復執行算式（1-4-2）的第2式，則共需n次乘法和n次加法即可得到一個多項式值。這就是著

15、名的秦九韶算法。從上面簡單的例子可以看出化簡公式不僅能減少運算次數，提高計算速度，而且還能簡化邏輯結構，減少誤差積累。4. 使用遞推關系要注意遞推方向的選擇，以控制誤差的擴大例3 計算 n=0，1，2，7利用定積分的分部積分法，容易得出遞推關系式： ，在已知之后可算而得到表(1-4-1)中的第一列。當然也可以按恒等形式的遞推關系式：In-1=(1In)n ，在已知之后，可算得而得到表(1-4-1)中的第二列，這八個積分的精確值為表(1-4-1)中的第三列。 表(1-4-1) 兩種遞推算法對比表 第一種計算法第二種計算法真值I0I1I2I3I4I5I6I70.63210.36800.26400.

16、20800.16800.16000.4000.72000.63200.36800.26430.20730.17080.14550.12690.11240.63210.36790.26420.20730.17090.14550.12680.1124由表中看出，在第一種算法中，隨著遞推次數的增大，計算結果偏離真值越來越遠；而在第二種算法中，隨著遞推次數的增大，計算結果能穩定地接近真值。我們稱第一種算法是不穩定的遞推算法，第二種算法是穩定的遞推算法。兩種算法僅僅只是遞推順序不同，為什么卻會出現不同的誤差傳播呢？如果精確值的近似值有誤差=；精確值，近似值，與有誤差=；，精確值的近似值有誤差=；這就是說

17、若有誤差，則的誤差的絕對值就是誤差的絕對值的n!倍；類似分析可以知道若近似值有誤差，則的誤差的絕對值就是誤差的絕對值的1/（n!）倍。這表明第一種算法計算過程中誤差不斷擴大，而第二種算法計算過程中誤差不斷被縮小，這正是算法是否穩定的實質。 通過上述幾個問題的簡單討論，我們可以看出，即使有了數學模型，進一步甚至數學上已經有了完善的結果，但仍然存在能不能在計算機上解算和如何實現解算的問題。所以我們必須研究數值計算方法，尋求數學問題在計算機上的有效算法。 習題一1下列各近似數的絕對誤差限是最末位的的半個單位，試指出各近似數的絕對誤差限及其有效數字位數。 2用秦九韶法計算P(x)=2x3+7x2-9 在x=2處的值。3若a=1.1062, b=0.947是經四舍五入后得到的近似值，問a+b, a×b 有幾位有效