1、WORD格式習題三1.將一硬幣拋擲三次，以 X 表示在三次中出現正面的次數，以 Y 表示三次中出現正面次數與出現反面次數之差的絕對值.試寫出 X 和 Y 的聯合分布律.【解】 X 和 Y 的聯合分布律如表：X0123Y101111321110C32228C32223/ 831001111822282.盒子里裝有3 只黑球、 2 只紅球、 2 只白球，在其中任取4只球，以 X 表示取到黑球的只數，以 Y 表示取到紅球的只數.求 X 和 Y 的聯合分布律 .【解】 X 和 Y 的聯合分布律如表：X0123Y000C32 C223C33 C122C7435C743510C13 C12 C226C32

2、 C12 C12 12C33 C122C435C435C4357772P(0 黑,2 紅,2 白)=C13 C22 C126C32 C2230C22 C22 / C741C7435C7435353.設二維隨機變量X， Y的聯合分布函數為F x， y =sin x sin y,0x2,0y 20,其他 .求二維隨機變量X， Y在長方形域0 y內的概率 .x,634【解】 如圖 P0 X Y4,公式 (3.2)63 F ( F (0,F (0,F (, ),)3)43466專業資料整理WORD格式1專業資料整理WORD格式sinsinsin sin6sin 0 sinsin 0 sin434362

3、 (31).4題 3 圖說明：也可先求出密度函數，再求概率。4.設隨機變量X，Y的分布密度Ae(3x 4 y) ,x0, y0,f x， y =0,其他 .求： 1 常數 A；（ 2 隨機變量 X，Y的分布函數；（ 3 P0 X<1， 0Y<2.【解】 1 由f ( x, y)dxdyAe-(3 x 4y )dxdyA10012得 A=12 2 由定義，有yxF ( x, y)f (u, v)dudvyy(3 u 4v)dudv (1 e3x )(1 e 4 y )y 0, x 0,012e00,其他0,(3) P0 X 1,0 Y 2P0 X1,0 Y212(3 x 4 y )d

4、xdy(1e 3 )(1e 8 )0.9499.012e05.設隨機變量 X，Y的概率密度為fx， y =k (6x y),0x 2, 2 y 4,0,其他 .（ 1 確定常數 k；（ 2 求 P X1，Y3 ；（ 3 求 P X<1.5 ；（ 4 求 P X+Y4.【解】 1 由性質有專業資料整理WORD格式2專業資料整理WORD格式24f ( x, y)dxdyk(6 x y)dydx 8k 1,02故1R82P X 1,Y313f ( x, y)dydx13 13k(6 xy)dydx02 88(3) P X1.5f (x, y)dxdy如圖 a f ( x, y)dxdyx 1.

5、5D1專業資料整理WORD格式1.54 1dx(6 x y)dy028(4) PX Y 4f ( x, y)dxdy如圖 b27.32f ( x, y)dxdy專業資料整理WORD格式XY424xdx02D21(6 x y)d y2 .83專業資料整理WORD格式題 5 圖6.設 X 和 Y 是兩個相互獨立的隨機變量，X 在 0，0.2上服從均勻分布，Y 的密度函數為5e5 y,y 0,fY y =其他 .0,求： 1 X 與 Y 的聯合分布密度； 2 P YX.題 6 圖【解】 1 因 X 在 0， 0.2上服從均勻分布，所以X 的密度函數為1 , 0x 0.2,f X ( x)0.20,其

6、他 .而專業資料整理WORD格式3專業資料整理WORD格式fY ( y)5e 5 y ,y0,0,其他 .所以f (x ,y)X Y,獨立 fXx( f)y ()Y15e5 y25e5 y,0x且y0,0.20.20,其他 .0,(2) P(YX )f ( x, y)dxdy如圖25e 5 ydxdyy xD0.2x0.2( 5e 5x5)dx0dx25e-5ydy00=e-10.3679.7.設二維隨機變量X， Y的聯合分布函數為F x， y =(1e 4 x)(1e 2 y),x0, y0,0,其他 .求 X， Y的聯合分布密度 .【解】 f (x, y)2 F ( x, y)8e (4

7、x2 y) ,x0, y0,x y0,其他 .8.設二維隨機變量X， Y的概率密度為f x，y =4.8y(2x),0x1,0yx,0,其他 .求邊緣概率密度.【解】()( ,)df Xxf x yyx4.8y(2x)dy2.4x2 (2x),0x1,= 00,0,其他 .fY ( y)f ( x,y) dx1x)dx2.4 y(3 4yy2 ), 0 y 1,=4.8 y(2y0,0,其他 .專業資料整理WORD格式4專業資料整理WORD格式題8圖題9圖9.設二維隨機變量X， Y的概率密度為e y ,0xy,fx， y =0,其他 .求邊緣概率密度.【解】()( , )df Xxfx yy=

8、xe ydye x,x 0,0,其他.0,fY ( y)f (x, y)dxye ydxye x ,y 0,=00,其他.0,題 10圖10.設二維隨機變量X， Y的概率密度為cx2 y, x2y 1,f x，y =其他 .0,（ 1 試確定常數 c；（ 2 求邊緣概率密度 .【解】 1f ( x, y)dxdy如圖f (x, y)dxdyD112 ydy4 c 1.= dxx2 cx-12121得.c4(2)f X ( x)f ( x, y)dy專業資料整理WORD格式5專業資料整理WORD格式221 x2 ydy21x2 (1x4 ),1 x 1,1x480,0,其他.f Y ( y)f

9、( x, y)dxy21 x2 ydx7 y25,0 y1,0,y420,其他.11.設隨機變量 X， Y的概率密度為1,yx, 0x1,f x， y=0,其他 .求條件概率密度fYX y x， fXY x y .題 11圖【解】()( ,)df Xxf x yyx1dy2x, 0 x 1,x0,其他 .11y,1y0,1dxyfY ( y)f ( x, y)dx11y,0y1,1dxy0,其他 .所以f ( x, y)1| y | x 1,fY |X ( y | x)2 xfX (x)0,其他 .專業資料整理WORD格式6專業資料整理WORD格式1,y x 1,1yf ( x, y)1,y

10、x 1,f X |Y (x | y)1fY ( y)y0,其他 .12.袋中有五個1， 2，3，4，5，從中任取三個，記這三個中最小的為X，最大的為 Y.（ 1 求 X 與 Y 的聯合概率分布；（ 2 X 與 Y 是否相互獨立？【解】 1 X 與 Y 的聯合分布律如下表Y345P X xi X1112233610C5310C5310C5310201122310C 5310C531030011110C5210P Yyi136101010(2)因PX1PY61611,Y3,310100P X1010故X與Y不獨立13.設二維隨機變量X， Y的聯合分布律為X258Y0.40.150.300.350.

11、80.050.120.03（ 1求關于 X 和關于 Y 的邊緣分布；（ 2 X 與 Y 是否相互獨立？【解】 1 X 和 Y 的邊緣分布如下表YX258P Y=yi 0.40.150.300.350.80.80.050.120.030.2P Xxi 0.20.420.38專業資料整理WORD格式7專業資料整理WORD格式(2) 因P X 2 PY 0.40.20.8 0.160.15P( X2, Y0.4),故X與Y不獨立 .14.設 X 和 Y 是兩個相互獨立的隨機變量，X 在 0，1上服從均勻分布，Y 的概率密度為f Yy =1 ey / 2,y 0,2其他 .0, 1求 X 和 Y 的聯

12、合概率密度； 2 設含有 a 的二次方程為a2+2Xa+Y=0，試求 a 有實根的概率 .y1,0x 1,f Y ( y)1e 2,y 1,【解】 1 因fX( x)其他 ;20,0,其他 .故 f ( x, y) X ,Y獨立 f X (x) fY ( y)1 ey / 20x1, y0,20,其他 .題14圖(2) 方程a22XaY0 有實根的條件是(2X )24Y0故X2Y，從而方程有實根的概率為：P X2Yf ( x, y)d xdyx2y1x21ey/ 2dydx20012(1)(0)0.1445.15.設 X 和 Y 分別表示兩個不同電子器件的壽命以小時計，并設 X 和 Y 相互獨

13、立，且服從同一分布，其概率密度為f x=1000 ,x1000,x20,其他 .專業資料整理WORD格式8專業資料整理WORD格式求 Z=X/Y 的概率密度 .【解】 如圖 ,Z 的分布函數FZ() XzP ZzPzY(1) 當 z0時，FZ(z)0（ 2 當 0<z<1 時，這時當 x=1000 時 ,y= 1000 (如圖 a)zFZ (z)1062 dxdy103dyyz1062 dxx2y103x2yxzyz= 103103106zy2zy3dyz2題 15 圖(3) 當 z1時，這時當 y=10 3時， x=10 3z如圖 bFZ (z)106dxdy3 dyzy1062

14、 dxx x2y210103x2yyz=103106dy11103y232zzy11 ,z1,2z即fZ ( z)z ,0z1,20,其他 .1,z1,2z2故f Z ( z)1 ,0z 1,20,其他 .16.設某種型號的電子管的壽命以小時計近似地服從 N160，202分布 .隨機地選取 4 只，求其中沒有一只壽命小于 180h 的概率 .專業資料整理WORD格式9專業資料整理WORD格式【解】 設這四只壽命為Xi(i=1,2,3,4) ，那么 XiN 160， 202，從而Pmin( X1, X 2 , X 3 , X 4 ) 180 Xi之間獨立 P X1 180 P X 2 180P

15、X3180 P X 4 1801P X180 1PX 180P 1X1 8P0 X 1180 123441P X1180 41180160201(1)4(0.158) 40.00063.17.設 X，Y 是相互獨立的隨機變量，其分布律分別為P X=k= p k， k=0， 1， 2，P Y=r= q r， r =0，1， 2，.證明隨機變量Z=X+Y 的分布律為iP Z=i=p(k)q(ik) ，i=0，1，2，.k0【證明】 因 X 和 Y 所有可能值都是非負整數，所以 Zi XYi X0, Yi X1,Yi1 Xi, Y0于是iiP ZiP Xk, Yik X ,Y相互獨立P Xk P Y

16、ikk0k0ip(k )q(ik )k018.設 X，Y 是相互獨立的隨機變量，它們都服從參數為n，p 的二項分布 .證明 Z=X+Y 服從參數為 2n， p 的二項分布 .【證明】 方法一： X+Y 可能取值為0，1， 2， 2n.kP XYkP Xi, Ykii0專業資料整理WORD格式10專業資料整理WORD格式kP( Xi ) P Yki專業資料整理WORD格式i 0ki 0ki0nin ink iqn k iip qpk innpkq2n kiki專業資料整理WORD格式2np k q2 n kk方法二：設 , ，均服從兩點分布參數為np，那么1,2,n;,12， Y=+ +,+X=

17、1+2n12nX+Y=1+2+n+1+2 +n,所以， X+Y 服從參數為2n,p)的二項分布 .19.設隨機變量X， Y的分布律為X012345Y000.010.030.050.070.0910.010.020.040.050.060.0820.010.030.050.050.050.0630.010.020.040.060.060.05(1) 求 P X=2Y=2 ， P Y=3 X=0 ；（ 2 求 V=max X， Y的分布律；（ 3 求 U =min X， Y的分布律；（ 4 求 W=X+Y 的分布律 .【解】 1P X2 |YP X2,Y22PY2P X2,Y20.05150.25

18、,P Xi ,Y22i0P Y3| XPY3, X00P X03P X0, Y30.011 ;P X0, Y j0.033j0 2PVi Pmax( X ,Y )i P Xi ,Yi P Xi ,Yii1iP Xi ,YkP Xk ,Yi,i0,1, 2,3, 4,k0k0專業資料整理WORD格式11專業資料整理WORD格式所以 V 的分布律為V=max( X,Y)012345P00.040.160.280.240.28(3)PUi Pmin( X ,Y )iP Xi ,Yi P Xi ,Yi35i0,1, 2,3P Xi,YkP Xk,Yik ik i1于是U=min( X,Y)0123P0

19、.280.300.250.17(4)類似上述過程，有W=X+Y012345678P00.020.060.130.190.240.190.120.0520.雷達的圓形屏幕半徑為R，設目標出現點X， Y在屏幕上服從均勻分布 . 1 求 P Y0YX；（ 2 設 M=max X， Y ，求 P M 0.題 20 圖【解】 因 X， Y的聯合概率密度為1222f (x, y)R2,xyR ,0,其他 .PY0, YX 1PY 0|Y XPYXf (x, y)dy 0 y xf (x, y)dy xR1r drdR2/ 405R1r dr4 dR2/ 40專業資料整理WORD格式12專業資料整理WORD

20、格式3/ 831/ 2;4(2) P M 0 Pmax( X ,Y)0 1 Pmax( X ,Y ) 01P X 0,Y 0 1f ( x, y)d1 13 .x 044y 021.設平面區域 D 由曲線 y=1/x 及直線 y=0， x=1,x=e2 所圍成，二維隨機變量X，Y在區域 D 上服從均勻分布，求X， Y關于 X 的邊緣概率密度在x=2 處的值為多少？題 21 圖【解】 區域 D 的面積為S0e21 dxln x 1e22. X,Y的聯合密度函數為1xf ( x, y)1 ,1 xe2 ,0 y1 ,2x0,其他. X， Y關于 X 的邊緣密度函數為1/ x 112f X ( x)

21、dy, 1 xe ,0 22x0,其他 .所以 f X (2)1 .422.設隨機變量 X 和 Y 相互獨立，下表列出了二維隨機變量X，Y聯合分布律及關于X 和Y 的邊緣分布律中的局部數值.試將其余數值填入表中的空白處 .Yy1y2y3P X=xi= piXx11/8x21/8P Y=yj = pj1/612【解】因 PYyj PjP Xxi ,Yy j ,i 1故 PY y1 P Xx1,Yy1P X x2 ,Y y1,從而 P X x1,Y y1111 .6824專業資料整理WORD格式13專業資料整理WORD格式而 X與 Y獨立，故, ,P X xiP Y yjP X xiY yi從而

22、P X x11P X x1, Y y11 .624即： P X x11 / 11 .2464又 P Xx1 P Xx1, Yy1P Xx1 ,Yy2P Xx1,Yy3,即 11 1P X x1,Y y3,42481從而 PXx1,Yy3 .1 ,123同理 P Y y2 P X x2 ,Y y2 283111P Y y j 1 ,故P Y y3又 12.j163同理 PXx23 .4從而P X x2 , Y y3 PY y3 P X x1,Y y3 1 11 .3124故XYy1y2y3P X xi Pix11111248124x213138844P Y y j p j111162323.設某

23、班車起點站上客人數X 服從參數為(>0) 的泊松分布，每位乘客在中途下車的概率為 p 0<p<1 ，且中途下車與否相互獨立，以Y 表示在中途下車的人數，求： 1在發車時有 n 個乘客的條件下，中途有m 人下車的概率； 2二維隨機變量X， Y的概率分布 .【解】 (1)|Cmm(1)n m,0,0,1,2, .nppP Y mX nm n n(2)P Xn, YmP Xn PYm | X n專業資料整理WORD格式14專業資料整理WORD格式Cnm pm (1 p) n men , n m n, n 0,1,2, .n!24.設隨機變量 X 和 Y 獨立，其中 X 的概率分布為

24、 X12，而 Y 的概率密度為f(y)，0.30.7求隨機變量 U=X+Y 的概率密度 g(u).【解】 設 F y是 Y 的分布函數，那么由全概率公式，知U=X+Y 的分布函數為G (u) P XYu 0.3P XYu | X1 0.7 P X Y u | X 20.3P Yu1|X 10.7 PYu2 | X2由于 X 和 Y 獨立，可見G (u) 0.3PYu10.7 PYu20.3F (u 1)0.7F (u2).由此，得 U 的概率密度為g(u) G (u)0.3F (u1)0.7 F (u2)0.3 f (u 1) 0.7 f (u 2).25. 設隨機變量 X 與 Y 相互獨立，

25、且均服從區間0,3 上的均勻分布，求 Pmax X,Y 1.解：因為隨即變量服從0， 3上的均勻分布，于是有10 x3,10y3,f ( x),f ( y),330, x0, x3;0,y0, y3.因為 X，Y 相互獨立，所以10x 3,0y3,f (x, y),90,x 0, y0, x3, y3.推得Pmax X ,Y11.926. 設二維隨機變量 X， Y的概率分布為X101Y1a00.200.1b0.2100.1c其中 a,b,c 為常數，且X 的數學期望 E(X)=0.2,P Y0|X0=0.5，記 Z=X+Y.求：專業資料整理WORD格式15專業資料整理WORD格式（ 1 a,b,c 的值；（ 2 Z 的概率分布；（ 3 P X=Z.解 (1) 由概率分布的性質知，a+b+c +0.6=1即a+b+c = 0.4.由 E(X)0.2 ，可得ac0.1 .再由P X0, Y0ab0.1