1、 第二型曲線積分與曲面積分的計算方法 摘 要： 本文主要利用化為參數的定積分法，格林公式，積分與路徑無關的方法解答第二型曲線積分的題目；以及利用曲面積分的聯系，分面投影法，合一投影法，高斯公式解答第二型曲面積分的題目. 關鍵詞： 曲面積分；曲線積分 1 引 言 第二型曲線積分與曲面積分是數學分析中的重要知識章節，是整本教材的重點和難點.掌握其基本的計算方法具有很大的難度，給不少學習者帶來了困難.本文通過針對近年來考研試題中常見的第二型曲線積分與曲面積分的計算題目進行了認真分析，并結合具體實例以及教材總結出其特點，得出具體的計算方法.對廣大學生學習第二型曲線積分與第二型曲面積分具有重要的指導意義

2、.2 第二型曲線積分例1 求，其中a，b為正的常數，L為從點A（2a，0）沿曲線y=到點（0，0） 的弧.方法一：利用格林公式法，P(x，y)，Q（x，y）以及它們的一階偏導數在D 上連續，L是域D的邊界曲線，L是按正向取定的.解：添加從點（0，0）沿y=0到點A（2a,0）的有向直線段, 記為 ， 則由格林公式得： 其中D為所圍成的半圓域，直接計算,因為在時，所以=0因而： ，從而 方法二：應用積分與路徑無關化為參數的定積分法求解（1） 若 （與路徑無關的條件）， 則 （2） 是起點 是終點 解： 記為 , 對于，積分與路徑無關，所以 對于，取L的參數方程，t從0到，得 從而 對于空間第二曲

3、線一般的解題過程為： 若L閉合，P,Q,R對各元偏導數連續 若L非閉，其參數方程為 其中： ，分別為L的起點，終點參數值. 例2 計算空間曲線積分I=，其中曲線L為圓柱面與平面的交線，從X軸正向看，曲線是逆時針方向.方法一：化為參數的定積分計算，對于這種封閉的曲線要充分利用上三角函數的正交性. 解： 令 ， 則 于是I=方法二：解 ： 3 第二型曲面積分例3 計算曲面積分，其中為旋轉拋物面 介于平面z=0及z=1之間的部分的下側.方法一：利用兩類曲面積分的聯系 其中是有向曲面上點（x，y，z）處的法向量的方向余弦. 解： ， 方法二：分面投影法 如果由給出，則 如果由給出，則 如果由給出，則

4、等式右端的符號這樣規定：如果積分曲面是由方程 所給出的曲面上（前，右）側，應取“”，否則取“”. 解： 所以 方法三 ：合一投影法 前面我們看到，按分面投影發計算曲面積分時，對不同類型的積分項必須將曲面用不同的方程表示，然后轉化為不同坐標面上的二重積分，這種方式形式上雖然簡單但計算比較繁瑣. 事實上，如果的方程， ，（是在面上的投影區域），函數在上連續時，則單位法向量為 由于投影元素 ， ，于是得到所以 等式右端的符號這樣確定：如果是由方程所給出的曲面上側，取“”，否則取“”. 當可用顯示方程或表示時，只需注意到此時的法向 量為或，可得相應公式. 上述方法將上式中的三種類型積分轉化為同一坐標面

5、上的二重積分，故名為合一投影法. 解：，在面上的投影區域：=，又的下側，故由上式可得： 方法四：高斯公式 解：曲面不是封閉曲面，不能直接利用高斯公式，應補面的上側，則用高斯公式 所以 又 所以 4 小結 從以上對試題的分析，發現不同年份的命題，多次考到相同的知識點，并且吻合于通用教材教學中的難點重點，雖然考試題目千變萬化，但教材的內容相對穩定，因此只有吃透教材，抓住重點難點，克服盲點復習，達到以靜制動.過本文的分析，希望對大家有一定的指導作用. （指導教師：呂國亮）參考文獻1 華東師大數學系. 數學分析(下)M，第三版. 高等教育出版社，2001，224-231.2 劉玉璉，傅沛仁等.數學分析

6、講義(下)M，第四版. 高等教育出版社，2003， 375-388.3 林源渠，方企勤. 數學分析解題指南M. 北京大學出版社，2001，338-362.4 陳文燈. 數學復習指南M. 世界圖書出版社，2000，276-287.5 田勇.碩士研究生入學考試歷年真題解析M. 機械工業出版社，2002，175-188.6 華中科技大學數學系.考研特別快車數學M.華中科技大學出版社，2001. 204-212. 7 孫一生. 第二型曲線與曲面積分計算的基本方法與技巧J.哈爾濱師范大學自然科學學報，1989，5（2）：106-112. 8 陳少元. 第二型曲線積分計算方法與技巧J. 科技信息（學術版），2