1、第二章、線性系統的數學模型第二章、線性系統的數學模型本章重點1.線性系統微分方程的建立；2.運用拉氏變換法求解線性微分方程；3.傳遞函數的概念和性質；4.傳遞函數和微分方程之間的關系；5.結構圖的繪制及其等效變換；6.結構圖和信號流圖的關系；7.梅遜公式。本章難點(1)運用綜合的基礎知識(如電子、機械、物理等知識)建立正確的微分方程；(2)建立系統的結構圖或信號流圖；(3)結構圖和信號流圖等效變換的靈活運用；控制系統數學模型概述控制系統數學模型概述 一、為什么要建立控制系統的數學模型？一、為什么要建立控制系統的數學模型？1、是定量分析、計算機仿真、系統設計的需要、是定量分析、計算機仿真、系統設

2、計的需要2、是尋找一個較好的控制規律的需要、是尋找一個較好的控制規律的需要 二、什么是控制系統的數學模型？二、什么是控制系統的數學模型？描述控制系統中各變量之間相互關系的數學表達式描述控制系統中各變量之間相互關系的數學表達式 三、如何建立數學模型？三、如何建立數學模型？1、提出合理的假設，忽略次要因數，抓住本質。、提出合理的假設，忽略次要因數，抓住本質。2、建立恰當的數學描述、建立恰當的數學描述3、非線性環節的處理、非線性環節的處理 五、經典控制理論中控制系統模型描述方法五、經典控制理論中控制系統模型描述方法 1、微分方程、微分方程 2、傳遞函數、傳遞函數四、實際工程應用中建立模型的一般步驟四

3、、實際工程應用中建立模型的一般步驟 1、把各部件盡可能地作線性化處理；、把各部件盡可能地作線性化處理； 2、建立線性化的系統模型（近似模型）；、建立線性化的系統模型（近似模型）； 3、求系統的近似特性；、求系統的近似特性； 4、建立更復雜的模型，得到更精確的特性。、建立更復雜的模型，得到更精確的特性。六、建立控制系統數學模型的一般方法六、建立控制系統數學模型的一般方法 1、機理分析法、機理分析法 2、實驗辯識法、實驗辯識法 第一節第一節 線性系統的輸入線性系統的輸入輸出時間函數描述輸出時間函數描述1、建立的目的：確定被控制量與給定輸入或擾動之間的關系，、建立的目的：確定被控制量與給定輸入或擾動

4、之間的關系，為分析和設計創造條件為分析和設計創造條件 2、建立輸入、建立輸入輸出時間函數描述的方法輸出時間函數描述的方法l分析系統的工作原理，作合理的假設；分析系統的工作原理，作合理的假設；l確定系統的輸入量和輸出量；確定系統的輸入量和輸出量；l根據物理或化學定律例寫描述系統運動的方程；根據物理或化學定律例寫描述系統運動的方程； （常用定律：基爾霍夫定律、牛頓定律、能量守恒定律）（常用定律：基爾霍夫定律、牛頓定律、能量守恒定律）l消去中間變量求出描述系統輸入輸出關系的微分方程。消去中間變量求出描述系統輸入輸出關系的微分方程。一、建立線性系統的輸入一、建立線性系統的輸入輸出時間描述函數輸出時間描

5、述函數例例1、 彈簧阻尼系統，圖中質量為彈簧阻尼系統，圖中質量為m的物體受到外力的物體受到外力F的作用，產生位移的作用，產生位移y，求該系統的輸入，求該系統的輸入輸出描述輸出描述解：（解：（1）分析物體）分析物體m的受力情況，假設的受力情況，假設k為常數、為常數、f為常數為常數;（2）輸入量為）輸入量為F，輸出量為，輸出量為y;（3）根據牛頓定律列寫方程）根據牛頓定律列寫方程dtdyfFkyFmaFFFFfkfk（4）消去中間變量求出描述系統輸入）消去中間變量求出描述系統輸入輸出關系的微分方程。輸出關系的微分方程。Fyktdydftdydm22例例2、 如圖為兩個形式相同的如圖為兩個形式相同的

6、RC電路串聯組成的濾波電路，電路串聯組成的濾波電路，建立輸入電壓為建立輸入電壓為u,求電容求電容C2兩端電壓兩端電壓uc為輸出的微分方程。為輸出的微分方程。解：解： （1）分析電路的工作原理，假設電阻是理想電阻器，）分析電路的工作原理，假設電阻是理想電阻器，電容也是理想的電容器；電容也是理想的電容器；（2）輸入量為）輸入量為u，輸出量為，輸出量為uc;（3）根據基爾霍夫定理列寫方程）根據基爾霍夫定理列寫方程tdduciuRiuuRiutdduciicc22221111121回路方程節點方程uutdudCRCRCRtdudCRCRccc)(212211222211（4）消去中間變量求出描述系統輸

7、入）消去中間變量求出描述系統輸入輸出關系的微分方程。輸出關系的微分方程。)()()()()()()()(0111101111trbtrtddbtrtddbtrtddbtcatctddatctddatctddmmmmmmnnnnn二、描述線性定常系統輸入二、描述線性定常系統輸入輸出關系的微分方程一般形式：輸出關系的微分方程一般形式：三、實驗法建立模型基本原理三、實驗法建立模型基本原理1、基本原理：、基本原理：設系統是線性定常系統，且t=0時系統的響應及其各階導數均為零，則其響應與輸入之間其次性和線性關系，即滿足算子輸出函數輸入函數)()()()()()(tHtctrtrtHtc2、脈沖函數、脈沖

8、函數A)(tttttAtr, 000)(l單位脈沖函數單位脈沖函數。顯然有：（記為則稱為單位脈沖函數，并求極限，如令（記為，當脈沖強度)0, )1ttA000)(lim)(0tttt1)(dtt及)(ttl延遲單位脈沖函數延遲單位脈沖函數)(ttottt0)(1)(dtt及3、實驗方法、實驗方法如果以單位脈沖函數作為輸入函數，則系統輸出為如果以單位脈沖函數作為輸入函數，則系統輸出為)()()()(ttHtctg稱為單位脈沖響應。稱為單位脈沖響應。 如果以脈沖強度為如果以脈沖強度為A的延遲脈沖函數作為輸入函數，將其的延遲脈沖函數作為輸入函數，將其施加于初始條件為零的線性定常系統，它將滿足施加于初

9、始條件為零的線性定常系統，它將滿足)()()(ttAHtAg)(tto)(tgto)(trto0)()()(trtr0)()()()(rttHtc0)()()(rtgtc0)()()(drtgtctdtrgtc0)()()(第二節第二節 線性系統的輸入線性系統的輸入輸出傳遞函數描述輸出傳遞函數描述 0)()()(drtgtcdtedrtgdtedrtgdtetcscststtst00000)()()()()()(則有令,t)()()()()()()()()(0000)(00sRsGderdegdderegdedrgscsssss0)()()()(dtetgsRsCsGstR(S)輸入函數的拉氏

10、變換C(S)輸出函數的拉氏變換S 拉氏算子l說明說明:1、拉氏算子為復變量，單位為、拉氏算子為復變量，單位為S-12、利用拉氏變換之后，卷積分公式變成代數方程，、利用拉氏變換之后，卷積分公式變成代數方程，G（S）稱為系統的傳遞函數，它是系統單位脈沖響應的象函數，在稱為系統的傳遞函數，它是系統單位脈沖響應的象函數，在電路分析中也稱為網絡函數；電路分析中也稱為網絡函數；3、卷積分公式只適用于初始條件為零的線性定常系統，傳、卷積分公式只適用于初始條件為零的線性定常系統，傳遞函數可定義為初始條件為零的線性定常系統輸出的拉氏變遞函數可定義為初始條件為零的線性定常系統輸出的拉氏變換與輸入的拉氏變換之比；換

11、與輸入的拉氏變換之比；4、傳遞函數中的、傳遞函數中的S算子可與角頻率算子可與角頻率 聯系起來，傳遞函數聯系起來，傳遞函數也稱為頻域描述。也稱為頻域描述。5、得到系統傳遞函數的方法、得到系統傳遞函數的方法l實驗法、分析法實驗法、分析法)()()()()()()()(0111101111trbtrtddbtrtddbtrtddbtcatctddatctddatctddmmmmmmnnnnn用分析法求系統傳遞函數用分析法求系統傳遞函數假設通過對系統機理模型分析得到假設通過對系統機理模型分析得到n階系統的微分方程為階系統的微分方程為假設初始條件為零！對等式兩邊取拉氏變換可得：假設初始條件為零！對等式兩

12、邊取拉氏變換可得：)()()()(01110111sRbsbsbsbsCasasasmmmmnnn01110111)()()(asasasbsbsbsbsRsCsGnnnmmmm極點：極點：00111asasasnnn零點：零點：00111bsbsbsbmmmm代數方程式的根由方程式的結構與其各項系數確定，系統極代數方程式的根由方程式的結構與其各項系數確定，系統極點和零點由系統結構與參數確定。點和零點由系統結構與參數確定。為什么采用傳遞函數來描述？微分方程描述不直觀、求解困難。線性常微分方程經過拉氏變換，即可得到系統在復數域中的數學模型，稱之為傳遞函數。 將單位脈沖響應g(t)的曲線轉換成相應

13、的傳遞函數。表示其輸入輸出關系。 0000tststg trdedtg trdedt 0( )( )stC sc t edt00( )( )( ) ( )a tsasg a edaredG s R s 令dtetgsRsCsGst0)()()()(R(s)輸入r(t)的像函數，即輸入函數的拉氏變換；C(s)輸出c(t)的像函數，即輸出函數的拉氏變換。傳遞函數初始條件為零的線性定常系統輸出的拉氏變換與輸入的拉氏變換之比。也稱為頻（率）域描述。 幾點說明：1. 只適用于線性定常系統。2. 是系統的動態數學模型。 3. 分母的階數一定高于分子的階數 。(為什么？）有慣性元件和受到功率的限制客觀物理世

14、界的基本屬性，它反映了一個基本事實：一個物理系統的輸出一個物理系統的輸出不能完全復現輸入信號，只有經過一定的時間過程后，輸出量才能達到輸入量不能完全復現輸入信號，只有經過一定的時間過程后，輸出量才能達到輸入量所要求的數值。所要求的數值。4. 一個傳遞函數只能表示一個輸入量對一個輸出量的關系。單輸入-單輸出系統，若多輸入多輸出要采用傳遞函數矩陣。5. 傳遞函數可以表示成有理分式，也可以表示成零極點表示的形式。njjmiignnnmmmnmpszsKcscscsdsdsdsabsG1101110111)()()(也可以表示成時間常數的形式njjmiinnnnmmmmsTsKscscscsdsdsd

15、absG1111111100) 1() 1(11)(K值具有量綱也稱為傳遞系數7. 分子分母的系數都是實數，所以如果有復數零極點則必為共軛復數。121211221122)2()()2()()(njnllljmimkkkivglksspssszssKsG121211221122) 12() 1() 12() 1()(njnlllljmimkkkkivssTsTssssKsGmmm212式中，nnnv212復習拉氏變換（Laplace transform）1. 拉氏變換的定義0)()()(sFdtetftfLstt0時f(t)=02. 幾個簡單的函數的拉氏變換單位階躍sdtetLst1)( 1 0

16、ssedtedteeteLtstssttt1)(0)(0)(0指數函數余弦函數tcosdttetLst0coscos2costjtjeet011212121cos220)()(00)()(sssjsjsjesjedtedtetLtsjtsjtsjtsj單位斜坡函數 )( 1 tt010)( 1020200ssedtsestedttettLstststst3. 拉氏變換的一些性質線性性質)()()(saFtfaLtafL疊加性質)()()()()()(212121sFsFtfLtfLtftfL延遲性質)()( 1)(sFeatatfLas像函數（復域）的微分)()(sFdsdttfL相似定理sF

17、tfL1)(0本函數（時域）的微分)0()()(fssFtfdtdL)0()0()()(222fsfsFstfdtdL例：2222222cosssssdsdttL211ssdsdeLdsdteLtt復域延遲性質)()(sFtfeLt例：已知 22sinstL22)(sinsteLt終值定理：)(lim)(lim0tfssFts有存在的條件f(t)及其導數是可拉氏變換的，且要sF(s)在虛軸（除原點）和右半平面上沒有極點。 初值定理：)(lim)(lim0tfssFts卷積定理：已知函數f(t)和g(t)，其卷積定義為00)()()()()()(dtgfdgtftgtf)()()()()()(s

18、GsFtgLtfLtgtfL3. 拉氏反變換)()(1sFLtf求本函數（1）部分分式分解法)()()()()()()(21nksssssssssPsQsPsF)()()(2211nnkssAAssAssA極點的幾種情形：都是一階實極點。)()()()()(sQsPsssFsskk例：nknkkkssssAAssssAssssA2211kksssskksQsPsQsPssA)()()()()()3)(1(2)(sssssF已知：計算f(t) 重的一階實極點)()()()()()(231sssssPsQsPsF2211121123113)()(ssAssAssAssAtstststseAeAteAetAtf2111211122132)(含有共軛極點。2. 留數方法（略）第三節第三節 非線性數學模型的線性化非線性數學模型的線性化 1、什么叫非線性數學模型的線性化？、什么叫非線性數學模型的線性化？在一定條件下將非線性系統近似的視為線性系統在一定條件下將非線性系統近似的視為線性系統 2、典型非線性、典型非線性發電機激磁特性發電機激磁特性fuAfi0fI0fU3、小范圍線性化的概念和原理、小范圍線性化的概念和原理 假設對于一般的非線性系統，其輸入量為假設對于一般的非線性系統，其輸入量為r,輸出量為輸出量為c=f(r),并設在給定的工作點并設在給定的工作點c0=f(r0)處各階導數均存在，則