1、矩陣的秩的相關不等式的歸納小結 林 松 （莆田學院數學系，福建，莆田）摘要：利用分塊矩陣，證明一些矩陣的秩的相關不等式，觀察矩陣在運算后秩的變化，歸納出常見的有關矩陣的秩的不等式，由此引出等式成立的條件。關鍵詞：矩陣的秩，矩陣的初等變換引言：矩陣的秩是指矩陣中行（或列）向量組的秩，與之等價的說法通常是指矩陣中不為零的子式的最高階數，是矩陣最重要的數字特征之一。利用分塊矩陣，把子式看成元素，可將高階矩陣的運算化為較低階矩陣的運算，也為矩陣的秩的一些常見不等式的證明帶來了方便。本文將討論矩陣的秩的一些常見不等式，并由此引出一些秩的不等式等號成立的等價條件。一 基本的定理1 設A是數域P上矩陣，B是

2、數域上矩陣，于是 秩（AB）min 秩（A），秩（B），即乘積的秩不超過個因子的秩2 設A與B是矩陣，秩（AB）秩（A）+秩（B）二 常見的秩的不等式1 設A與B為n階方陣，證明若AB = 0，則 r(A) + r(B) n證：設r(A) = r,r(B )= s,則由AB = 0，知，B的每一列向量都是以A為系數方陣的齊次線性方程組的解向量。當r = n時，由于該齊次方程組只要零解，故此時 B = 0，即此時r(A) = n，r(B) = 0,結論成立。當r n 時，該齊次線性方程組的基礎解系中含n-r個向量，從而B的列向量組的秩n-r,即r（B） n-r所以 r(A) + r(B) n2設

3、A為矩陣，B為矩陣，證明不等式r(AB)r(A)+r(B)-n 證：設E為n階單位矩陣， 為S階單位方陣，則由于 而 可逆，故 r(A)+r(B) 秩 =秩 =秩 =r(AB)+r(E) =r(AB)+n從而r(AB) r(A) + r(B) - n 3設A，B都是n階方陣，E是n階單位方陣，證明 秩（AB-E）秩（A-E）+秩（B-E）證：因為故秩（AB-E）秩秩 =秩（A-E）+秩（B-E）因此 秩（AB-E）秩（A-E）+秩（B-E）4 設A，B，C依次為的矩陣，證明r(ABC) r(AB) + r(BC) - r(B)證：設 分別為，s,t階單位矩陣，則由于 且是可逆矩陣，故 r(AB

4、) + r(BC)秩=秩=秩 = r(ABC) + r(B) 從而r(ABC) r(AB) + r(BC) - r(B)5 設A，B都是n階矩陣，證明；r( A B + A + B ) r( A ) + r ( B )證明：r( AB + A + B)=r( A (B+E) + B) 利用基本定理二r( A (B + E) + r(B) 利用基本定理一 r( A ) + r( B )6 設A，C均為矩陣，B，D均為矩陣，證明 r（ A B C D） r（ A-C） + r（ B - D） 證明：根據分塊矩陣的乘法可知 = 由此易知r（A-C）+r（B-D）=rr(AB-CD) 從而得r（AB-

5、CD） r（A-C） + r（B-D）三 不等式等號成立的探討 1 設A，B分別為和矩陣，則的充分條件為： 證明：由得：2 設A，B分別為和矩陣，則的充分必要條件為存在矩陣X、Y，使得證明：根據題三 1，只需要證明當 時， （1） （2） 對式（2）右端的方陣作行初等變換，可消去，由于式（1），式（2）右端方陣秩相等，故在消去，時也消去了，對式（2）右端分塊記為 其中=， =， C=于是上述消去的行變換相當于 消去其余有類似的結果，這樣初等變換就相當于存在矩陣S，T，使=+=，即從而有令得 3 設 A，B，分別為 矩陣，而B的一個滿秩分解是B=HL，即H是列滿秩矩陣，L是行滿秩矩陣，則r(AB

6、C)=r(AB)+r(BC)-r(B)的充要條件是存在矩陣X，Y使得證明：設r（B）=r，因為B=HL 是滿秩分解所以 有r(AB) = r(AHL) = r(AH) r(BC) = r(HLC) = r(LC) 則r(ABC) = r(AB) + r(BC) - r(B) r(AHLC) = r(AH) + r(LC) - r又由上題 得r(AHLC) = r(AH) + r(LC) - r矩陣X,Y 使得 所以 3得證4 設A為n階矩陣，證明如果 = E，那么r（ A + E ） + r（ A E ）= n 證明： ( A + E )( A E ) = + A A E = E E = 0

7、r（ A + E ）+ r（ A E ） n r( A + E ) + r( A E ) r( A + E + A - E) = r(2A) = r(A) = E = E，即 0 r（A）= n r( A + E) + r( A - E) n 故 r（ A + E ）+ r( A - E) = n 5 設A為n階矩陣，且 = A，證明 r（A）+ r（A-E）= n 證明：由 = A，可得 A（ A E ）= 0 由題一 1知，r（ A ） + r（ A - E） n 又因為 E-A和A-E 有相同的秩 n = r( E ) = r( A + E A ) r ( A ) + r ( E A )

8、 從而 r( A ) + r( A E ) = n6 設A是階矩陣，則 = A的充分必要條件是r（A）= r（A-）+ r（A+）證明： 必要性 一方面，由 = A（E-A）A（E+A）=0 由題二 4知 0 r（E-A）A + r A (E+A) - r(A) 即r（A） r（A-）+r（A+） 另一方面，由r（A-）+r（A+）r（A-）+（A+） = r（2A）= r（A） 所以 r（A）= r（A-）+ r（A+） 充分性 若r（A）= r（A-）+r（A+） 設r(A) = r,A的滿秩分解是A = HL，則存在 X，Y 使（2X）H =，L（2Y）= 成立 則 X（E-A）H +L（E-A）Y=（XH + LY）-（XHLH - LHLY）= -0 = 由題三3得 r（E-A）A(E+A)=r(