1、第七章 直線和圓的方程知識梳理1.直線方程的五種形式2.直線的傾斜角、斜率及直線的方向向量及位置關系:（1）直線的傾斜角在平面直角坐標系中，對于一條與x軸相交的直線，如果把x軸繞著交點按逆時針方向旋轉到和直線重合時所轉的最小正角記為，那么就叫做直線的傾斜角.直線和x軸平行或重合時，直線的傾斜角為0°,直線傾斜角取值范圍0°180°.（2）直線的斜率傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率，常用k表示，即k=tan（90°）.傾斜角是90°的直線沒有斜率；傾斜角不是90°的直線都有斜率，其取值范圍是（，+）.

2、（4）求直線斜率的方法定義法：已知直線的傾斜角為，且90°，則斜率k=tan.公式法：已知直線過兩點P1（x1，y1）、P2（x2，y2），且x1x2，則斜率k=.平面直角坐標系內，每一條直線都有傾斜角，但不是每一條直線都有斜率. 對于直線上任意兩點P1（x1，y1）、P2（x2，y2），當x1=x2時，直線斜率k不存在，傾斜角=90°；當x1x2時，直線斜率存在，是一實數，并且k0時，=arctank，k0時，=+arctank.（5）到角與夾角：若直線l1, l2的斜率分別為k1, k2，將l1繞它們的交點逆時針旋轉到與l2重合所轉過的最小正角叫l1到l2的角；l1與l

3、2所成的角中不超過900的正角叫兩者的夾角。若記到角為，夾角為，則tan=,tan=.（6）平行與垂直：若直線l1與l2的斜率分別為k1, k2。且兩者不重合，則l1/l2的充要條件是k1=k2；l1l2的充要條件是k1k2=-1。（7）兩點P1(x1, y1)與P2(x2, y2)間的距離公式：|P1P2|=。（8）點P(x0, y0)到直線l: Ax+By+C=0的距離公式：。3直線系的方程：若已知兩直線的方程是l1：A1x+B1y+C1=0與l2：A2x+B2y+C2=0，則過l1, l2交點的直線方程為A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0；與l2平行的直線方程為A1x+B

4、1y+C=0().4簡單的線性規劃問題:若直線l方程為Ax+By+C=0. 若B>0，則Ax+By+C>0表示的區域為l上方(或稱右方)的部分，Ax+By+C<0表示的區域為l下方(或稱左方)的部分。注:解決簡單的線性規劃問題的一般步驟：（1）確定各變量，并以x和y表示；（2）寫出線性約束條件和線性目標函數；（3）畫出滿足約束條件的可行域；（4）求出最優解。直線系與對稱問題（一） 主要知識及方法：點關于軸的對稱點的坐標為 ；關于軸的對稱點的坐標為 ； 關于的對稱點的坐標為 ；關于的對稱點的坐標為 .點關于直線的對稱點的坐標的求法： 設所求的對稱點的坐標為，則的中點一定在直線上

5、.直線與直線的斜率互為負倒數，即直線關于直線的對稱直線方程的求法： 到角相等； 在已知直線上去兩點（其中一點可以是交點，若相交）求這兩點關于對稱軸的對稱點，再求過這兩點的直線方程； 軌跡法(相關點法)； 待定系數法，利用對稱軸所在直線上任一點到兩對稱直線的距離相等，點關于定點的對稱點為，曲線：關于定點的對稱曲線方程為.直線系方程：直線（為常數，參數；為參數，位常數）.過定點的直線系方程為及與直線平行的直線系方程為（）與直線垂直的直線系方程為過直線和的交點的直線系的方程為：（不含）（二）典例分析： 例1 （1）求點關于直線的對稱點（2）求關于直線的對稱點（3）一張坐標紙，對折后，點A(0，4)與

6、點B（8，0）重疊，若點C(6，8)與D（m，n）重疊，求m+n；例2：試求直線關于直線對稱的直線的方程。練習： （2）求直線關于直線x=3對稱的直線方程；（3）求直線關于直線對稱的直線方程；例3 （1）已知，在直線上找一點P，使最小，并求最小值； （2 ）已知，在直線上找一點P，使最大，并求最大值； 例4 光線由點A(2，3)射到直線反射，反射光線經過點B（1，1）求反射光線所在直線方程。練習：1、 光線從射出，被x軸反射后經過點B（3，2），求入射光線所在直線方程；2、 光線沿著直線射向直線，求反射光線所在直線方程。3、 直線關于直線的對稱直線方程是，求直線的傾斜角；4、 直線和直線關于直

7、線對稱，求直線的方程；5、一張坐標紙對折后，點A(0，2)與點B（4，0）重疊，若點C(2，3)與D（m，n）重疊，求m+n；6、求直線關于點A（2，3）對車的直線方程7、與關于直線對稱，求直線的方程；8（選）、入射光線沿直線射到x軸后反射，這時又沿著直線射到y軸，由y軸再反射沿著直線射出，求直線的方程；二、圓的方程及有關問題（一）、圓及圓的一般方程1.圓的一般方程 ：2推導：圓心為C(a，b)，半徑為r的圓的標準方程為(xa)2+(yb)2=r2. 展開整理得：令則得將方程左邊配方得：。（1）當時，方程表示以為圓心，為半徑的圓。（2）當時，由方程得它表示一個點。（3）當時，方程沒有實數解，因

8、而它不表示任何圖形。因此，當時，方程表示一個圓，方程叫做圓的一般方程。3 圓的一般方程的特點（1）的系數相同且不等于零；（2）不含的項。具有以上兩個特點的二元二次方程僅符合方程的形式，還需要滿足的條件，才能表示圓，因此，上述兩個特點是二元二次方程表示圓的必要條件，不是充分條件。4、圓的標準方程：圓心是點(a, b)，半徑為r的圓的標準方程為(x-a)2+(y-b)2=r2，其參數方程為（為參數）。（二）、直線與圓直線和圓的位置關系，制定直線和圓的位置關系主要有兩種方法，方法：1、方法一:利用判別式來討論位置關系方法二:圓心到直線的距離d和半徑r的大小加以比較2圓的弦長的求法：（1）幾何法：當直

9、線和圓相交時，設弦長為，弦心距為，半徑為，根據垂徑定理，則有：；（2）代數法：設的斜率為，與圓交點分別為，則注意：求直線被圓截得的弦長問題一般用幾何法。3直線與圓相切（1）若點在圓；則過點點的切線方程為：；（2）已知斜率為且與圓相切的切線方程為：；已知斜率為且與圓 相切的切線方程的求法，可設切線為，然后利用圓心到切線的距離等于半徑列出方程求；（3）當點在圓外面時，可設切方程為，利用圓心到直線之距等于半徑即，求出即可，或利用，求出，若求得只有一值，則還應該有一條斜率不存在的直線，此時應補上。（4）當直線和圓相切時，切點的坐標為的方程和圓的方程聯立的方程組的解，或過圓心與切線垂直的直線與切線聯立的

10、方程組的解。（5）若點在圓外一點；則過點點的切線的切點弦方程為：；若點在圓；則過點點的切線的切點弦方程為：； 題型二：圓的方程的綜合應用例2： 已知方程（1）若此方程表示圓，求實數a的范圍；（2）求此方程表示的圓的面積最大時a的值及此時圓的方程。【變式與拓展】：已知方程表示的圖形是圓。（1）求t的取值范圍；（2）其中面積最大的圓的方程。題型三：與圓有關的最值問題例3 已知圓的方程為，求圓上的點到直線x-y-8=0的距離的最大值和最小值。【變式與拓展】已知圓C：點A（-1，0），B（1，0），點P在圓上運動，求的最值及相應的點P的坐標。（二）、直線與圓（例：已知圓的方程是x2 + y2 = r2

11、，求經過圓上一點M(x0，y0)的切線的方程。 2.求圓的方程例：求圓的圓心在直線y=-4x上，并且與直線a：x+y10 相切， 求切于點p(3、-2)的圓的方程。解：求圓的方程存在下列兩種思路思路1：思路2：4.求字母參數取值范圍例：已知圓的方程為 x2+ y2+ ax+ 2y+ a2=0，一定點為A(1、2)，要使過定點(1、2)，作圓的切線有兩條，求a的取值范圍。直線與圓相交一條直線與圓相交可以求相交弦長例：已知圓的方程為：x2 + y2 =9,直線y=x+1與圓相交于A、B，求相交弦的長。直線與圓相離已知圓的方程 x2 2x+ y2 + 6y = 6，求圓與直線4x-3y+12=0的距

12、離的最大值和最小值。三、圓與圓1、兩圓的位置關系：（1）代數法：解兩個圓的方程所組成的二元二次方程組；若方程組有兩組不同的實數解，則兩圓相交；若方程組有兩組相同的實數解，則兩圓相切；若無實數解，兩圓相離。（2）幾何法：設圓的半徑為，圓的半徑為兩圓外離； 兩圓外切；兩圓相交；兩圓內切；兩圓內含；注意：判斷兩圓的位置關系多用幾何法。2兩圓相切時，兩圓心所在直線經過切點，外切時有3條公切線，內切時有1條公切線。3兩圓外離時，有4條公切線，兩圓相交時，有2條公切線，兩圓連心線垂直平分公共弦。注意：兩圓相交時，相交弦的方程是將兩圓方程相減，消去和后得到的直線方程。4圓系方程：（1）經過兩個圓：與圓： 的

13、交點的圓系方程是（不含圓，）；當時，表示過兩個圓交點的直線；（2）經過直線與圓的交點的圓系方程是（）；靈活使用圓系方程解題，可以起到簡化計算的目的，避免求交點坐標。題型一 圓與圓位置關系的判斷判斷下列兩圓的位置關系。（1）：，：；（2）：，：。題型二 兩圓相交例2 已知兩圓和相交于A、B兩點。（1） 求弦AB所在直線方程；（2） 求A、B兩點坐標；（3） 求弦長AB。【變式與拓展】：若兩圓和相交，其中一個交點為(1,3)，求另一個交點坐標。題型三 圓系方程的綜合應用例5 已知圓的方程為，其中。（1）求證：當a為不等于1的實數時，上述圓過定點。（2）求圓心的軌跡方程。（3）求恒與圓相切的直線方程

14、。直線和圓的方程測試題一、選擇題（4分×12=48分）1、過定點P(2,1)，且傾斜角是直線l：xy1=0的傾斜角兩倍的直線方程為（ ）（A）x2y1=0 （B）2xy1=0 （C）y1=2(x2) （D）x=22、下列四個命題中的真命題是（ ）（A）經過定點P0(x0,y0)的直線都可以用方程yy0=k(xx0)表示 （B）經過兩個任意不同的點P1(x1,y1)，P2(x2,y2)的直線都可以用方程(yy1)(x2x1)=(xx1)(y2y1)表示 （C）不經過原點的直線都可以用方程表示 （D）經過定點A(0,b)的直線都可以用方程y=kx+b表示3、直線l與兩直線y=1,xy7=

15、0分別交于P，Q兩點，線段PQ的中點是(1，1)，則直線l的斜率是（ ）（A） （B） （C） （D）4、已知兩條直線l1:y=x；l2:axy=0，其中a為實數，當這兩條直線的夾角在內變動時，a的取值范圍是（ ）（A）(0,1) （B） （C） （D）5、已知，則x+y的最大值和最小值分別是（ ）（A）4,18 （B）4,8 （C）18,4 （D）8,46、直線y=繞原點按逆時針方向旋轉30°后所得直線與圓(x2)2+y2=3的位置關系是（ ）（A）直線過圓心 （B）直線與圓相交，但不過圓心 （C）直線與圓相切 （D）直線與圓沒有公共點7、圓x2+y24x+2y+c=0與y軸交于A

16、、B兩點，圓心為P，若APB=90°，則c的值為（ ）（A）3 （B）3 （C）8 （D）28、圓x2+y24x+4y+6=0截直線xy5=0所得的弦長等于（ ）（A） （B） （C）1 （D）59、若直線：ax+by=4與圓C：x2+y2=4有兩個不同的交點，那么點P(a，b)與圓C的位置關系是（ ）（A）在圓外 （B）在圓上 （C）在圓內 （D）不確定10、過圓x2+y2=4外一點M(4,1)引圓的兩條切線，則經過兩切點的直線方程為（ ）（A）4xy4=0 （B）4xy4=0 （C）4xy4=0 （D）4xy4=011、動點在圓x2+y2=1上移動時，它與定點B(3,0)連線的中

17、點軌跡方程是（ ）（A）(x3)2y2=4 （B）(x3)2y2=1 （C）(2x3)24y2=1 （D）(x)2y2=12、曲線y=1+2,2)與直線y=k(x2)+4有兩個公共點時，實數k的取值范圍是（ ）（A） （B） （C） （D）二、填空題（3分×4=12分）13、若直線l1：2xy10=0，l2：4x+3y10=0，l3：ax+2y+8=0，相交于一點，則a= ；14、以點(2,3)為圓心且與y軸相切的圓的方程是 ；15、一個以原點為圓心的圓與圓x2+y2+8x4y=0關于直線l對稱，則直線l的方程 ；16、過點P(1,2)的直線l把圓x2+y24x5=0分成兩個弓形，當其中較小弓形面積最小時，直線l的方程是 。三、解答題（12分×4=48分）17、（本題8分）三角形的兩條高所在直線方程為：2x3y+1=0和x+y=0，點A(1,2)是它的一個項點，求：（1）BC邊所在直線方程. （2）三個內角的大小.18、（本題10分）某校食堂長期以面粉和大米為主食，面食每100克含蛋白質6個單位，含淀粉4個單位，售價0.5元；米每100克含蛋白質3個單位，含