1、第二十一章 重積分§1二重積分概念1.把重積分作為積分和的極限，計(jì)算這個積分值，其中并用直線網(wǎng)分割這個正方形為許多小正方形，每一小正方形取其右上頂點(diǎn)為其節(jié)點(diǎn)。證明：2.證明：若函數(shù)在有界閉區(qū)域D上可積，則在D上有界。證明：假設(shè)在D上可積，但在D上無界。則對D的任一分割T=,必在某個小區(qū)間上無界。當(dāng)時(shí)，任取，令G=由于在上無界，即存在使得。從而另一方面，由于在D上可積，取，故存在，對任意D的分割當(dāng)時(shí)，3.證明二重積分中值定理（性質(zhì)7）。證明：函數(shù)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則在D上存在最大值M與最小值m，且對D中一切點(diǎn)，有有性質(zhì)6知，即有介值定理存在使得4：若為有界閉區(qū)域D上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)，

2、且在D上不恒為零，則證明：由已知，存在，使則存在，對一切，其中，有而在有界閉域D上非負(fù)連續(xù)，則有 其中（表示為的面積）5.若在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，且在D內(nèi)任一子區(qū)域上有則在D上證明：用反證法：假設(shè)在D內(nèi)存在一點(diǎn)使，不妨設(shè)。則存在。使得一切（其中），有。這時(shí)，這與題設(shè)產(chǎn)生矛盾（表示為的面積）§21.2 直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算1.設(shè)在區(qū)域D上連續(xù)，試將二重積分化為不同順序的累次積分：（1）D有不等式所確定的區(qū)域。(2) D由不等式所確定的區(qū)域；（3）D由不等式所確定的區(qū)域；(4) 解：（1）：積分區(qū)域D如圖21-1. (2) ：積分區(qū)域D如圖所示（3）：積分區(qū)域如圖所示（4）：積分區(qū)

3、域如圖所示2.在下列積分中改變累次積分的順序：（1）（2）（3）（4）. 解: (1)=(2)=(3) =(4)=3.計(jì)算下列二重積分：（1）（2）（3）,其中D為圖中的陰影部分（4），其中D=解：（1）(2):(3):；(4)4.求由坐標(biāo)平面及所圍的角柱體的體積；解:§3 格林公式 曲線積分與路線的無關(guān)性1.應(yīng)用格林公式計(jì)算下列曲線積分：（1），其中是以為頂點(diǎn)的三角形，方向取正向；（2），其中為常數(shù)，為由到經(jīng)過圓上半部的路線。解：（1）AB的方程：； BC的方程：； CA的方程：。，則三角形域被分成兩部分。原式(2)連接點(diǎn)與點(diǎn)，構(gòu)成封閉路線，在險(xiǎn)段.于是而由格林公式因此 原式. 應(yīng)

4、用格林公式計(jì)算下列曲線所圍的平面面積：（） 星形線：;（） 雙扭線：解 (1)有圖的對稱性可知(2)令，可得利用圖的對稱性，3.證明：若L為平面上封閉曲線，為任意方向向量，則，其中n為曲線L的外法線方向。證：設(shè)分別表示外法線與軸正向、與外法線以及軸正向的夾角，則， 于是 ，其中由格林公式，有4. 求積分值其中L為包圍有界區(qū)域的封閉曲線，n為L的外法線方向。解：設(shè)T為L的切線方向，S為區(qū)域Dde 面積，5. 驗(yàn)證下列積分與路線無關(guān)，并求它們的值：（1）（2）（3），沿在右半平面的路線；（4）沿不通過原點(diǎn)的路線；（5） 解：（1）故積分與路徑無關(guān)。取路線(2) , （3） (4)當(dāng)（5）6. 求下

5、列全微分的原函數(shù)：（1）（2）（3）解（1）：（2）：（3）： 則原函數(shù)7. 為了使曲線積分與積分路線無關(guān)，則可微函數(shù)應(yīng)滿足怎樣的條件？解： 即§4 二重積分的變量變換1.對積分進(jìn)行極坐標(biāo)變換并寫出變換后不同順序的累次積分：（1）當(dāng)D為由不等式所確定的區(qū)域；（2）（3）解：（1）令則將變成從而（2）令則將變成，從而（3）令則2.用極坐標(biāo)計(jì)算下列二重積分: (1)解：令將變換成極坐標(biāo)平面下區(qū)域則 (2) 解：令由方程可知則極坐標(biāo)下區(qū)域則（3）為圓域：解：令將變換成極坐標(biāo)平面下區(qū)域則（4) 為圓域解：令極坐標(biāo)平面下區(qū)域則3. 在下列積分中引入新變量后，試將它化為累次積分：（1）解：由得則

6、變換后的區(qū)域， (2),其中若解：在變換下，區(qū)域?yàn)椋?），其中解：由將變換成則=4.試作適當(dāng)變換，計(jì)算下列積分：（1）解 令則于是（2）解 令 則于是 5求由下列曲面所圍立體的體積：（1）是由和所圍的立體；解 立體在平面上投影區(qū)域?yàn)椋毫?則所以 （2）是由曲面和所圍的立體解：體在平面上的投影區(qū)域?yàn)?.求由下列曲線所圍的平面圖形面積：（1）（2）（3）解：令則所以，（2）令則所以（3）解；圓與雙紐線在第一象限交點(diǎn)為（令則§5 三重積分1計(jì)算下列積分：所圍成的區(qū)域。解：（3）積分區(qū)域如圖21-18，（4）積分區(qū)域如圖21-19。2. 試改變下列累次積分的順序。（1）；（2）；（1）三重積

7、分積分區(qū)域如圖所示，體V在xoz平面上的投影則=（2）三重積分積分區(qū)域如圖所示。體在平面投影3.計(jì)算下列三重積分與累次積分：（1），其中V由和所確定； (2).解：（1）用平行于平面去截積分區(qū)域V，截面為：所以 =.(2)因?yàn)樵谄矫嫔系耐队皡^(qū)域 所以 4.利用適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換，計(jì)算下列各曲線面所圍成的體積：（1）（2）解（1）因?yàn)橛蓛蓚€旋轉(zhuǎn)拋物面，平面和母線平行于軸的柱面所圍成，在平面上的投影區(qū)域所以 （2）作變換 則 5設(shè)球體積上各點(diǎn)的密度等于該點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離。求這球體體積的質(zhì)量。解：密度函數(shù)，則球體的質(zhì)量，應(yīng)用球面坐標(biāo)變換將球體 變成所以§6 重積分的應(yīng)用1.求曲面包含在圓柱內(nèi)

8、那部分的面積.解：設(shè)曲面面積為,由于則其中由廣義極坐標(biāo)變換，得2.求錐面被柱面所截部分的曲面面積。解：曲面在平面上的投影區(qū)域而則3.求下列均勻密度的平面的平面薄板重心：（1） 求橢圓 解：設(shè)重心坐標(biāo)為由對稱性則重心為（2）高為，底分別為和的等腰梯形。解：設(shè)重心坐標(biāo)為，由對稱性=0，其中，4.求下列均勻密度物體的重心：（1）解 設(shè)物體重心坐標(biāo)為由對稱性知，（應(yīng)用柱面坐標(biāo)變換），所求重心坐標(biāo)為（2）由四面體的重心坐標(biāo)為由于物體為均勻密度，且所以，所求重心坐標(biāo)為5.求下列均勻密度的平面薄板的轉(zhuǎn)動慣量：（1）半徑為的圓關(guān)于其切線的轉(zhuǎn)動慣量；解：如圖21-23，沿切線為，密度為對任一點(diǎn)到的距離為所以 （2）邊長為和，且夾角為的平行四邊形，關(guān)于底邊的轉(zhuǎn)動慣量.解6.計(jì)算下列引力：（1）均勻薄片+,Z=0對于軸上一點(diǎn)（0，0，c）(c>0)處的單位質(zhì)量的引力；解由對稱性，引力必在z軸方向上因此=0，=0，=k =kcddr =2k(1-),故F=.(2)均勻柱體對于點(diǎn)（0，0，c）(c>h