1、第十一章 無窮級數教學內容目錄：§1§8本章主要內容：常數項級數：無窮級數及其收斂與發散的定義，無窮級數的基本性質，級數收斂的必要條件，幾何級數，調和級數，P級數，正項級數的比較審斂法和比值審斂法，交錯級數，萊布尼茲定理，絕對收斂和條件收斂。 冪級數：冪級數概念，阿貝爾（Abel）定理，冪級數的收斂半徑與收斂區間，冪級數的四則運算，和的連續性、逐項積分與逐項微分。泰勒級數，函數展開為冪級數的唯一性，函數（ln(1+x)、(1+x)等）的冪級數展開式，冪級數在近似計算中的應用舉例，“歐拉（Euler）公式。 函數項級數：函數項級數的一般概念，收效域及和函數。教學目的與要求：1

2、、理解無窮級數收斂、發散以及和的概念，了解無窮級數基本性質及收斂的必要條件。2、掌握幾何級數和P級數的收斂性。3、掌握正項級數的比較審斂法，掌握正項級數的比值審斂法。4、理解交錯級數的審斂法（萊布尼茲定理）。5、了解無窮級數絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與收斂的關系。6、了解函數項級數的收斂域及和函數的概念。7、掌握比較簡單的冪級數收斂區間的求法（區間端點的收斂性可不作要求）。8、了解冪級數在其收斂區間內的一些基本性質。9、了解函數展開為泰勒級數的充分必要條件。10、掌握應用ex,sinx,cox,en(1+x)和(1+x)u 的馬克勞林（Maclaurin）展開式將一些簡單的的函數間接

3、展開成冪級數的方法。11、了解函數展開為傅里葉（Fourier）級數的狄利克雷（Dirchet）條件，會將定義在（-,）上的函數展開為傅里葉級數，并會將定義在（-,）上的函數展開為正弦或余弦級數。本章重點與難點：重點:正項級數的審斂法；將一些簡單的的函數間接展開成冪級數難點：應用逐項積分、逐項微分的性質求和函數、 本章計劃學時：16學時（2節習題課）教學手段：課堂講授、習題課、討論，同時結合多媒體教學推薦閱讀文獻：1.高等數學同步輔導(下) (第十一章) 主編同濟大學應用數學系 彭舟 航空工業出版社2.高等數學名師導學(下) (第十一章) 主編大學數學名師導學叢書編寫組 中國水利水電出版社3.

4、高等數學雙博士課堂 (第十一章) 主編 北京大學數學科學學院 機械工業出版社 作業：習題111：2(2、4) 、3(2)、4(1、3、5)習題112：1(1、3、5)、2(2、4)、3(1、3、4)、4(1、3、5)、5(1、3、5)習題113：1(1、3、5、6、8)、2(1、3)習題114：1、2(2、3、5)、4、6習題117：1(1、3)、2(1)、4、6能力培養及措施: 通過精講多練,啟發式教學, 討論式教學,重點講授重點、難點，自學部分內容,課堂討論,結合習題課及多媒體教學培養學生的比較熟練的運算能力、邏輯推理的能力及抽象思維能力,推薦學生閱讀相關文獻培養學生自學能力.§

5、11-1 常數項級數的概念和性質問題的提出計算半徑為圓的面積用內接正3×邊形的面積逐步逼近圓面積：正六邊形面積，正十二邊形面積+ , 正形面積 +若內接正多邊形的邊數n無限增大，則和+的極限就是所要求的圓面積。這時和式中的項數無限增多，出現了無窮多個數量依次相加的數學式子。一、常數項級數的概念1.常數項級數 如果給定一個數列 , , , , ,則表達式 + (1)叫(常數項)無窮級數，簡稱(常數項)級數，記為即 =+ -一般項注1：怎樣理解級數中無窮多個數量相加呢？觀察有限項和的變化趨勢2.級數的部分和：前n項的和部分和數列: + +3.級數的收斂與發散 定義（斂散性） 如果級數的部

6、分和數列有極限，即 則稱無窮級數收斂,極限為這級數的和,并寫成+如果數列沒有極限,則稱無窮級數發散.注2：若級數收斂，是和S的近似值， 叫做級數的余項,代替和S所產生的誤差是該余項的絕對值，即誤差是 。例1判別級數的收斂性. 解 所以級數收斂.，它的和是。例2 討論等比級數(幾何級數) ( 0,：級數的公比)的收斂性。分析：若 當時，級數收斂，其和當時,級數發散當時，級數發散。即：若 ，級數收斂；若，級數發散例3 討論調和級數的收斂性分析 因為 , 所以級數發散. 二、收斂級數的基本性質性質1 若級數收斂于和,則級數也收斂，且其和為.分析：設與的部分和分別為與 ,則 則收斂，和為由知，若無極限

7、且,則也無極限結論：級數的每一項同乘一個不為零的常數后，它的收斂性不會改變. 級數收斂； 級數發散性質2 若、分別收斂于、,則 也收斂，且其和為.分析：、：、 , 的部分和則收斂，且其和為注3：性質2也說成：兩收斂級數可以逐項相加減.性質3 在級數中去掉或加上有限項，不會改變級數的收斂性.分析：只需證明“在級數的前面部分去掉或加上有限項,不會改變級數的收斂性”,因為其他情形(即在級數中任意去掉、加上或改變有限項的情形)都可以看成在級數的前面先去掉有限項,然后再加上有限項的結果.將級數+的前k項去掉，得級數+新級數的部分和為=+=其中是原級數的前k+n項的和因是常數，故時，與或者同時有極限，或者同時沒有極限.類似地，可以證明在級數的前面加上有限項，不會改變級數的收斂性.性質4 如果級數收斂,則對這級數的項任意加括號后所成的級數仍然收斂,且其和不變.即加括弧后所成的級數收斂,且其和不變.注意 如果加括弧后所成的級數收斂,則不能斷定去括號后原來級數也收斂.例如,級數(1-1)+(1-1)+ 收斂于零,但級數1-1+1-1+ 是發散的.推論：如果加括弧后所成的級數發散,則原來級數也發散事實上，倘若原來級數收斂，則根據性質4知道，加括弧后的級數就應該收斂了.性質5(級數收斂的必要條件)若收斂,則分析 設的部