1、第三章 一階微分方程的解的存在定理3-1 求下列初值問題的近似解。1） 求初值問題的第三次近似解；2） 求初值問題的第二次近似解。解 由解的存在唯一性定理知，1），2）中的初值問題的解分別在，的鄰域內存在且唯一。下面求它們的近似解。1） ， ，。2） ， 。評注：逐次逼近函數序列，在實際中有廣泛的應用。利用此序列求近似解時，須驗證初值問題的解存在唯一，否則求出的結果可能并不是我們想要的近似解。3-2 設，求初值問題的解的存在區間，并求第二次近似解，給出在解的存在區間的誤差估計。解 設，顯然，方程在上滿足解的存在唯一性定理，則，所以，方程過點的解的存在區間為：，即。設是初值問題 的解，是第二次近

2、似解，則， 。在區間上，與的誤差為，取 ，所以 。評注：需要掌握第次近似解和真正解在區間內的誤差估計公式，在進行近似計算時，可以根據誤差的要求，選取適當的逐步逼近函數。3-3 討論方程在怎樣的區域中滿足解的存在唯一性定理的條件，并求通過點的一切解。解 設，則，故在的任何區域上存在且連續，因而方程在這樣的區域中滿足解的存在唯一性定理的條件。顯然，是通過點的一個解；又由方程得 。所以通過點的一切解為及。評注：尋找解的存在唯一性定理中的條件所滿足的區域，就是尋找連續和關于滿足利普希茲條件的區域，困難在于利普希茲條件的驗證，除用定義外，還常用下面的結論：在上存在且有界，則 在上關于滿足利普希茲條件。在

3、上存在且無界，則 在上關于不滿足利普希茲條件。其中為某矩形區域。3-4 證明格朗瓦耳(Gronwall)不等式：設為非負常數，和為在區間上的連續非負函數，且滿足不等式，則有。并由此證明定理3.1中的唯一性結論。證 1）時，令則。由可得，兩邊從到積分得即有所以即有。2）時，對任意，由于 所以由1）有 當時，有。因為，即得，從而綜上所述，不等式成立。唯一性的證明。設是初值問題的兩個解，則有，。于是，其中為利普希茲常數，由上面的不等式可知，因而有。評注：格朗瓦耳不等式是微分方程中的重要不等式，表明積分不等式與其解的關系。用格朗瓦耳不等式證明微分方程初值問題解的唯一性是一個很好的方法。3-5 假定函數

4、于的鄰域內是的不增函數，試證初值問題 （1）在一側最多只有一個解。證 設初值問題（2）存在兩個解，要證當時，有。反證法。若當時，不恒為零，即存在，使得，不妨設，由的連續性及，知必存在，使得及，則有 ，。而 ，其中。由及對的不增性，知，這與矛盾。因此，對，有。評注：此結論并沒有給出初值問題解的存在性，只保證了如果初值問題有解，解必唯一。3-5 假設函數在區域內連續并滿足局部李普希茲條件及；又方程的滿足初始條件的解對一切有定義，試證下列說法是等價的：（1） 任給，可以找到正數，使當時，對一切有；（2） 任給及，存在正數，使當時，對一切有。證 因函數在區域內連續并滿足局部李普希茲條件，故方程的滿足初

5、始條件的解在區域內唯一存在且連續地依賴于初值。又由知，方程在內有零解。先證，由（1），存在，使當時，對一切有成立。當然，對，有成立，因而存在，使得，這時，對一切，仍有。再證由（2），對任給和，存在，使，對一切，有，因為方程的解在內連續依賴于初值，故對已給，存在使當時，在區間上，有。又過點的解唯一且連續光滑，故對任給，存在，當時，對一切，均有成立。3-6 假設函數及都在區域內連續，又是方程滿足初始條件的解，試證存在且連續，并寫出其表達式。證 1）因及都在區域內連續，則在內滿足局部利普希茲條件，故解在它的存在范圍內對連續。2）設由初值和足夠小，所確定的解分別為和，則這兩個解均滿足積分方程 。即 和

6、，所以其中是關于的連續函數，且當時，于是有，即是初值問題 的解，因此是的連續函數。由上邊微分方程解得，故存在，顯然，它是的連續函數。評注：我們看到，在表達式中，包含有方程滿足初始條件的解，一般來說，初值問題解的表達式很難得到，因此，偏導數公式的實際應用并不廣泛，但理論上表明初值問題解對初值的連續可微性。3-7 假設函數和于區間上連續，試證方程滿足初始條件的解，作為的函數于區域上存在連續偏導數，并寫出其表達式。證 因是方程滿足初始條件的解，故有。視為的函數，即有，又關于連續，故存在且連續。 設由初值和所確定的解分別為和，則，即是初值問題 的解，因此是的連續函數。解上方程得，故存在 ，顯然，它在其

7、存在范圍內連續。 設由初值和所確定的解分別為和 則，其中是關于的連續函數，且當時，于是有，即是初值問題 的解，因此是的連續函數，解上方程得，所以，在其存在范圍內連續。評注：本題也可直接用3-7題的結果得到證明?？梢钥吹?，對于線性方程，初值問題的解對初值的各個一階偏導數只與初值有關，而與初值問題解的表達式無關，應用較為廣泛。xoy3-8 求曲線族的包絡，并繪出圖形。解 從消去，得判別曲線為 。 圖3-1經檢驗曲線 是曲線族的包絡。如上圖3-1所示。評注：采用判別曲線法求單參數曲線族的包絡必須進行檢驗。3-9 求解方程。解 將原方程變形為，這是克萊羅方程，故其通解為 。由 消去得到判別曲線，經檢驗

8、曲線是方程的奇解。評注：一階隱式微分方程的解除過通解，有時還有奇解。一階微分方程的奇解（如果存在的話）是該方程通解的包絡，反之，一階微分方程通解的包洛（如果存在的話） 是該方程的奇解。因而為了求微分方程的奇解，先求出它的通解，然后采用判別曲線法求單參數曲線族的包絡。從本例中還可以看到，如果只需求微分方程的奇解，我們還可采用判別曲線法，同樣必須進行檢驗。3-10 試證：就克萊羅方程來說，判別曲線和方程通解的判別曲線同樣是方程通解的包絡，從而為方程的奇解。證 易知克萊羅方程 （1）的通解為 （2）判別曲線為 （3）證明判別曲線上每一點都有方程的通解中的一條曲線通過。設任給（3）的參數值，則它對應于（3）上的點為再在（2）中選任意常數，則它所對應的特解為 （4）在曲線（4）上取時，所對應的為這就是說，對于曲線（3）上每一點，有曲線族（2）中的一條曲線（4）通過。 證明判別曲線與方程通解中的通過同一點的曲線在該點相切。由（3）得故（4）與（2）在判別曲線上每一點的斜率都相同。 證明方程通解的包絡線（或方程的奇解）不包含在方程通解中。因（2）是一直線族，（3）是以為斜率的曲線，對于不同的值，曲線（3）上的點處的斜率不