1、第三章 多維隨機(jī)變量及其分布1.一 在一箱子里裝有12只開(kāi)關(guān)，其中2只是次品，在其中隨機(jī)地取兩次，每次取一只。考慮兩種試驗(yàn)：（1）放回抽樣，（2）不放回抽樣。我們定義隨機(jī)變量X，Y如下：試分別就（1）（2）兩種情況，寫出X和Y的聯(lián)合分布律。解：（1）放回抽樣情況由于每次取物是獨(dú)立的。由獨(dú)立性定義知。P (X=i, Y=j)=P (X=i)P (Y=j)P (X=0, Y=0 )=P (X=0, Y=1 )=P (X=1, Y=0 )=P (X=1, Y=1 )=或?qū)懗蒟Y0101（2）不放回抽樣的情況P X=0, Y=0 =P X=0, Y=1 =P X=1, Y=0 =P X=1, Y=1

2、=或?qū)懗蒟Y01013.二 盒子里裝有3只黑球，2只紅球，2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只數(shù)，以Y表示取到白球的只數(shù)，求X，Y的聯(lián)合分布律。XY01230001020解：（X，Y）的可能取值為(i, j)，i=0，1，2，3， j=0，12，i + j2，聯(lián)合分布律為P X=0, Y=2 =P X=1, Y=1 =P X=1, Y=2 =P X=2, Y=0 =P X=2, Y=1 =P X=2, Y=2 =P X=3, Y=0 =P X=3, Y=1 =P X=3, Y=2 =05.三 設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）概率密度為（1）確定常數(shù)k。（2）求P X<1, Y<3（

3、3）求P (X<1.5（4）求P (X+Y4分析：利用P (X, Y)G=再化為累次積分，其中解：（1），（2）（3）y（4）6（1）求第1題中的隨機(jī)變量（X、Y ）的邊緣分布律。 （2）求第2題中的隨機(jī)變量（X、Y ）的邊緣分布律。2解：（1） 放回抽樣（第1題）XY0x+y=4110xo1邊緣分布律為X01Y01Pi·P·j 不放回抽樣（第1題）XY0101邊緣分布為X01Y01Pi·P·j（2）（X，Y ）的聯(lián)合分布律如下XY0123000300解： X的邊緣分布律 Y的邊緣分布律X0123 Y13Pi· P·j7.五 設(shè)

4、二維隨機(jī)變量（X，Y ）的概率密度為解：8.六 設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為x=yy求邊緣概率密度。xo解: 9.七 設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為（1）試確定常數(shù)c。（2）求邊緣概率密度。解: l=yo y=x2x15. 第1題中的隨機(jī)變量X和Y是否相互獨(dú)立。解：放回抽樣的情況P X=0, Y=0 = P X=0·P Y=0 =P X=0, Y=1 = P X=0P Y=1=P X=1, Y=0 = P X=1P Y=0=P X=1, Y=1 = P X=1P Y=1=在放回抽樣的情況下，X和Y是獨(dú)立的不放回抽樣的情況：P X=0, Y=0 =P X=0=P X=0=

5、 P X=0, Y=0 + P Y=0, X=1 =P X=0·P Y=0 =P X=0, Y=0 P X=0P Y=0 X和Y不獨(dú)立16.十四 設(shè)X，Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，X在（0，1）上服從均勻分布。Y的概率密度為（1）求X和Y的聯(lián)合密度。（2）設(shè)含有a的二次方程為a2+2Xa+Y=0,試求有實(shí)根的概率。解：（1）X的概率密度為y=x2Y的概率密度為1xDyo且知X, Y相互獨(dú)立，于是（X，Y）的聯(lián)合密度為（2）由于a有實(shí)跟根，從而判別式 即： 記 19.十八 設(shè)某種商品一周的需要量是一個(gè)隨機(jī)變量，其概率密度為并設(shè)各周的需要量是相互獨(dú)立的，試求（1）兩周（2）三周的需要量的

6、概率密度。解：（1）設(shè)第一周需要量為X，它是隨機(jī)變量 設(shè)第二周需要量為Y，它是隨機(jī)變量且為同分布，其分布密度為Z=X+Y表示兩周需要的商品量，由X和Y的獨(dú)立性可知：z0 當(dāng)z<0時(shí)，fz (z) = 0當(dāng)z>0時(shí)，由和的概率公式知 （2）設(shè)z表示前兩周需要量，其概率密度為 設(shè)表示第三周需要量，其概率密度為：z與相互獨(dú)立= z +表示前三周需要量則：0，當(dāng)u<0，f(u) = 0 當(dāng)u>0時(shí)所以的概率密度為22.二十二 設(shè)某種型號(hào)的電子管的壽命（以小時(shí)計(jì)）近似地服從N（160，20）分布。隨機(jī)地選取4只求其中沒(méi)有一只壽命小于180小時(shí)的概率。解：設(shè)X1，X2，X3，X4為

7、4只電子管的壽命，它們相互獨(dú)立，同分布，其概率密度為：設(shè)N=minX1，X2，X3，X 4 P N>180=P X1>180, X2>180, X3>180, X4>180 =P X>1804=1pX<1804= (0.1587)4=0.0006327.二十八 設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的分布律為XY012345012300.010.010.010.010.020.030.020.030.040.050.040.050.050.050.060.070.060.050.060.090.080.060.05（1）求P X=2|Y=2，P Y=3| X=0（2）求

8、V=max (X, Y )的分布律（3）求U = min (X, Y )的分布律解：（1）由條件概率公式P X=2|Y=2= = =同理P Y=3|X=0=（2）變量V=maxX, Y 顯然V是一隨機(jī)變量，其取值為 V：0 1 2 3 4 5P V=0=P X=0 Y=0=0P V=1=P X=1，Y=0+ P X=1，Y=1+ P X=0，Y=1 =0.01+0.02+0.01=0.04P V=2=P X=2，Y=0+ P X=2，Y=1+ P X=2，Y=2 +P Y=2, X=0+ P Y=2, X=1 =0.03+0.04+0.05+0.01+0.03=0.16P V=3=P X=3，

9、Y=0+ P X=3，Y=1+ P X=3，Y=2+ P X=3，Y=3 +P Y=3, X=0+ P Y=3, X=1+ P Y=3, X=2 =0.05+0.05+0.05+0.06+0.01+0.02+0.04=0.28P V=4=P X=4，Y=0+ P X=4，Y=1+ P X=4，Y=2+ P X=4，Y=3 =0.07+0.06+0.05+0.06=0.24P V=5=P X=5，Y=0+ + P X=5，Y=3 =0.09+0.08+0.06+0.05=0.28（3）顯然U的取值為0，1，2，3 P U=0=P X=0，Y=0+ P X=0，Y=3+ P Y=0，X=1+ +

10、P Y=0，X=5=0.28同理 P U=1=0.30 P U=2=0.25 P U=3=0.17或縮寫成表格形式（2）V012345Pk00.040.160.280.240.28（3）U0123Pk0.280.300.250.17（4）W=V+U顯然W的取值為0，1，8 PW=0=PV=0 U=0=0 PW=1=PV=0, U=1+PV=1U=0 V=maxX，Y=0又U=minX，Y=1不可能上式中的PV=0，U=1=0，又 PV=1 U=0=PX=1 Y=0+PX=0 Y=1=0.2故 PW=1=PV=0, U=1+PV=1，U=0=0.2 PW=2=PV+U=2= PV=2, U=0+

11、 PV=1，U=1 = PX=2 Y=0+ PX=0 Y=2+PX=1 Y=1 =0.03+0.01+0.02=0.06 PW=3=PV+U=3= PV=3, U=0+ PV=2，U=1 = PX=3 Y=0+ PX=0，Y=3+PX=2，Y=1 + PX=1，Y=2 =0.05+0.01+0.04+0.03=0.13 PW=4= PV=4, U=0+ PV=3，U=1+PV=2，U=2 =PX=4 Y=0+ PX=3，Y=1+PX=1，Y=3 + PX=2，Y=2 =0.19 PW=5= PV+U=5=PV=5, U=0+ PV=5，U=1+PV=3，U=2 =PX=5 Y=0+ PX=5，Y=1+PX=3，Y=2+ PX=2，Y=3 =0.24 PW=6= PV+U=6=PV=5, U=1+ PV=4，U=2+PV=3，U=3 =PX=5，Y=1+ PX=4，Y=2+PX=3，Y=3 =0.19 PW=7= PV+U=7=PV=5, U=2+ PV=4，U=3 =PV=5，U=2 +PX=4，Y=3=0.6+0.6=0.12 PW=8= PV+U=8=PV=5, U=3+ PX=5，Y=3=0.05或列表為W0123