1、預(yù)備知識(shí) (1)正射影的定義:(如圖1所示)從平面外一點(diǎn)向平面引垂線(xiàn)，垂足為，則點(diǎn)叫做點(diǎn)在平面上的正射影，簡(jiǎn)稱(chēng)為射影。同時(shí)把線(xiàn)段叫作點(diǎn)與平面的垂線(xiàn)段。圖1(2)點(diǎn)到平面距離定義:一點(diǎn)到它在一個(gè)平面上的正射影的距離叫作這點(diǎn)到這個(gè)平面的距離，也即點(diǎn)與平面間垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度。(3) 四面體的體積公式其中表示四面體體積，、分別表示四面體的一個(gè)底面的面積及該底面所對(duì)應(yīng)的高。(4)直線(xiàn)與平面垂直的判定定理:一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)垂直，則該直線(xiàn)與此平面垂直。(5)三垂線(xiàn)定理:在平面內(nèi)的一條直線(xiàn)，如果它和這個(gè)平面的一條斜線(xiàn)的射影垂直，那么它和這條斜線(xiàn)也垂直。(6)二面角及二面角大小:平面內(nèi)的一條直線(xiàn)把

2、平面分為兩部分，其中的每一部分都叫做半平面，從一條直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形，叫做二面角,這條直線(xiàn)叫做二面角的棱，每個(gè)半平面叫做二面角的面。圖2所示為平面與平面所成的二面角，記作二面角，其中為二面角的棱。如圖在棱上任取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別在平面及平面上作的垂線(xiàn)、，則把平面角叫作二面角的平面角，的大小稱(chēng)為二面角的大小。在很多時(shí)候?yàn)榱撕?jiǎn)便敘述，也把稱(chēng)作與平面所成的二面角。圖21 、定義法求點(diǎn)到平面距離(直接法) 定義法求點(diǎn)到平面距離是根據(jù)點(diǎn)到平面的定義直接作出或者尋找出點(diǎn)與平面間的垂線(xiàn)段，進(jìn)而根據(jù)平面幾何的知識(shí)計(jì)算垂線(xiàn)段長(zhǎng)度而求得點(diǎn)與平面距離的一種常用方法。定義法求點(diǎn)到平面距離的關(guān)鍵在于找出或作出

3、垂線(xiàn)段，而垂線(xiàn)段是由所給點(diǎn)及其在平面射影間線(xiàn)段，應(yīng)而這種方法往往在很多時(shí)候需要找出或作出點(diǎn)在平面的射影。以下幾條結(jié)論常常作為尋找射影點(diǎn)的依據(jù):(1)兩平面垂直的性質(zhì)定理:如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于他們交線(xiàn)的直線(xiàn)垂直于另一個(gè)平面。(2) 如果一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，那么這個(gè)點(diǎn)在該平面內(nèi)的射影在這個(gè)角的角平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)上。(3)經(jīng)過(guò)一個(gè)角的頂點(diǎn)引這個(gè)角所在平面的斜線(xiàn)。設(shè)斜線(xiàn)和已知兩邊的夾角為銳角且相等，則這條斜線(xiàn)在這個(gè)平面的射影是這個(gè)角的角平分線(xiàn)。(4)若三棱錐的三條棱長(zhǎng)相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影是底面三角形的外心。 例 如圖4所示，所示的正方體 棱長(zhǎng)為，求點(diǎn)

4、到平面的距離。 2、轉(zhuǎn)化法求點(diǎn)到平面距離 有時(shí)候限于幾何體的形狀，不易直接尋找出點(diǎn)在平面的射影，或者由直接法作出的射影線(xiàn)段在所給幾何體中不易計(jì)算其長(zhǎng)度，此時(shí)轉(zhuǎn)化法不失為一種有效的方法。轉(zhuǎn)化法即是將點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為另一點(diǎn)到平面間的距離的方法。轉(zhuǎn)化法依據(jù)主要有以下兩點(diǎn)：(1)若直線(xiàn)平面，則直線(xiàn)上所有點(diǎn)到平面的距離均相等。(2)若直線(xiàn)與平面交于點(diǎn)，則點(diǎn)、到平面的距離之比為。特別地，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，、到平面的距離相等。3、等體積法求點(diǎn)到平面距離用等體積法求點(diǎn)到平面的距離主要是一個(gè)轉(zhuǎn)換的思想，即要將所要求的垂線(xiàn)段置于一個(gè)四面體中，其中四面體的一個(gè)頂點(diǎn)為所給點(diǎn)，另外三點(diǎn)位于所給點(diǎn)射影平面上，這里不妨將射影平面上的三點(diǎn)構(gòu)成的三角形稱(chēng)為底面三角形。先用簡(jiǎn)單的方法求出四面體的體積，然后計(jì)算出底面三角形的面積，再根據(jù)四面體體積公式求出點(diǎn)到平面的距離。在常規(guī)方法不能輕松獲得結(jié)果的情況下，如果能用到等體積法，則可以很大程度上提高解題效率，達(dá)到事半功倍的效果。特別是遇到四面體的有一條棱垂直于其所相對(duì)的底面時(shí)，首選此方法。下面用等體積法求解上面例子.4、利用二面角求點(diǎn)到平面距離如圖8所示，為二面角的的棱，為二面角的一個(gè)平面角。下面考慮點(diǎn)到平面的距離。作，垂足為，下面證明平面。 圖8為二面角的一個(gè)平面角、又平面又平面又 ，平面，平面平面在中，有