1、數學建模（論文）題目：北京市人口增長與城市垃圾承載能力問題分析 完成日期 2010 年 6 月 2日關鍵詞：灰色預測模型最小二乘法 線性關系 摘要：本文在灰色預測模型中短期預測合理的假設情況下，通過分析對涉及人口增長問題的主要因素出發，如：出生率、死亡率、遷入率和遷出率。基于人口普查統計數據，利用灰色模型來從數量上預測未來北京人口數量，然后從分析北京垃圾總量的隨人口等因素變化的規律。首先根據灰色預測理論，建立了一級的灰色預測模型，再將近幾年北京的常住人口數量帶入模型，便得到未來較短時間內北京的人口數量。所得結果為北京常住人口將于2011、2012、2013、2014、2015年分別達到18.1

2、061、18.4236、18.7389、19.0419、19.3331百萬人。然后從分析北京垃圾總量的隨人口等因素變化的參數函數的內在變化規律，及其對垃圾總量的影響，建立了垃圾總量與人口增長呈正相關的線性模型，依據當前人口數量對北京的總垃圾量做出了預測并提出合理化建議。最后對所建模型的優缺點進行了客觀的評價。一、問題的重述隨著經濟的迅速發展，城市化進程逐漸加快，我國正在產生越來越多的超大城市。北京就是其中的一個，隨著城市規模的擴大，城市人口數目增加，相關的問題：比如水資源的壓力、空氣污染、垃圾處理等等。據市人口計生委公布的統計數據，本市常住人口在2009年底已達1755萬人，加速增長態勢明顯。

3、人口規模的過快增長，加劇了人口資源環境的矛盾。自己查找數據，1、建立北京人口增長模型。（關于人口增長模型的研究由來已久，比較成熟的模型有很多，但是北京的人口增長有自身特殊性，注意分析其原因）2、分析北京垃圾總量的隨人口等因素變化的規律。3、結合北京垃圾承載能力的變化，給出自己的建議。二、基本假設1、假設附件中所給數據真實可靠且具有預測性。2、假設影響北京常住人口數的主要因素僅僅是死亡率和出生率以及人口遷入和遷出四個因素。3、假設在社會穩定的前提下，生育和死亡率都比較穩定。4、假設僅僅考慮垃圾總量與人口規模有關，不考慮其他因素的影響。三、問題分析人口增長模型是由生育、死亡、疾病、災害、環境、社會

4、、經濟等諸多因素影響和制約的共同結果，如此眾多的因素不可能通過幾個指標就能表達清楚，他們對人口增長的潛在而復雜的影響更是無法精確計算。這反映出人口系統具有明顯的灰色性，適宜采用灰色模型去發掘和認識原始時間序列綜合灰色量所包含的內在規律?；疑A測模型屬于全因素的非線性擬合外推類法，其特點是單數列預測，在形式上只用 被預測對象的自身序列建立模型，根據其自身數列本身的特性進行建模、預測，與其相關的因素并沒有直接參與，而是將眾多直接的明顯的和間接的隱藏著的、已知的、未知的因素包含在其中，看成是灰色信息即灰色量，對灰色量進行預測，不必拼湊數據不準、關系不清、變化不明的參數，而是從自身的序列中尋找信息建立

5、模型，發現和認識內在規律進行預測。基于以上思想我們建立了灰色預測模型。在灰色預測模型中，與起相關的因素并沒有直接參與，但如果考慮到直接影響人口增長的因素，例如出生率、死亡率、遷入遷出人口數等，根據具體的數據進行計算，則可以根據年份推算，從某一年份開始的人口數量推算一年或多年后人口數，但這一推算僅僅在中短期是比較準確的，不太適用于長期的推算。四、模型的建立（一）問題一模型1、常住人口人口增長（不考慮遷移人口）模型灰色系統是指既含有已知信息、又含有未知信息或非確知信息的系統，也稱為貧信息系統。灰色模型是根據關聯度、生成數灰導數、灰微分等觀點和一系列數學方法建立起來的連續性的微分方程。灰色預測是灰色

6、系統理論的一個重要方面，它利用這些信息，建立灰色預測模型，從而確定系統未來的變化趨勢?；疑A測模型能夠根據現有的少量信息進行計算和推測?；疑５乃悸肥牵簭男蛄薪嵌绕饰鑫⒎址匠?，是了解其構成的主要條件，然后對近似滿足這些條件的序列建立近似的微分方程模型。而對序列而言（一般指有限序列）只能獲得有限差異信息，因此，用序列建立微分方程模型，實質上是用有限差異信息建立一個無限差異信息模型。設原始序列為 這是一組信息不完全的灰色量，具有很大的隨機性，將其進行生成處理，以提供更多的有用信息。下面選用累加生成，則m次累加生成的結果為 式中    &

7、#160;      （k=1,2,，n）一般通過一次累加生成就能使數據呈現一定的規律，若規律不夠，可增加累加生成的次數。同理一次累加序列為 在數據生成的基礎上，用線性動態模型對生成數據擬合和逼近。對 建立模型 按累減生成還原，計算后得到預測數據。顯然這里只需一次累減。  由以上的推導過程可知模型： 適用于根據一系列有限信息來確定系統未來的變化趨勢，即根據有限數列推測數列的延續量。其中在該人口問題中，只需一次累減，根據03年08年北京市除遷入遷出外人口的數據來測算，的值，而隨意抽取連續三年的數據來計算，的值，誤差較大，因此可采用最小二

8、乘法。其原理為（略）。計算過程：因此可得白化形式微分方程的離散解為假設排除凈遷入后的常住人口增長模型為：其中，與分別為m年份與n年份除遷移后的人口數，為1999年優化后人口數，為與增長率有關的系數，為與邊際增長率有關的系數。所以北京市常住人口增長模型（不考慮遷移人口）為：2、人口凈遷入模型假設該序列滿足線性變化關系即：其中，分別為m年份n年份凈遷入人口，k為變化斜率，利用最小二乘法以及2001年、2002年、2003年數據（原因是這三年的數據比較穩定）即可求出k的值。假設表示2001年、2002年、2003年，表示相應年份的人口數據，所以有下式成立：利用最小二乘法求k值，即北京市人口凈遷入模型

9、為：為減小誤差預測時通過每兩年之間的關系變化來計算。3、北京市總人口增長模型其中，為總常住人口， 為常住人口（不考慮遷移人口），為凈遷入人口。（二）垃圾總量模型以往的研究表明，人口對城市生活垃圾產量的影響最大，所以在不考慮其他因素影響的情況下，北京垃圾總量僅僅與北京的人口數量有關，為此有：垃圾總量=人口數量*人均垃圾量假設北京垃圾總量為，人口數量為,人均垃圾、為，時間為,因此北京每年垃圾總量的模型為： （單位：kg）根據北京市環衛所提供的資料，19911999年城八區以車噸位計量的垃圾清運量列于表2中第一行；第二行是實際清運量，除2000年為實際稱重外，其它年份的清運量是由車噸位計量轉化而來；

10、第三行是垃圾總產量，是由城八區垃圾產量推算出包括城鄉結合部在內的北京市生活垃圾總產量，以此作為預測的基礎材料；第四行的垃圾人均日產量有變化，但變化不大，所以采用平均值1.22kg作為未來幾年北京垃圾人均日產量估算值。而每年的時間又是固定的，我們在此記為365天，所以北京年產垃圾的模型就為 (單位：kg)五、模型求解1、最小二乘法求解利用求得的GM（1，1）模型，即：對北京中短期期間的人口增長進行預測，然后利用Mathmatic軟件進行計算，由后面模型檢驗的精度檢驗可知，此能夠較精確地預測出未來幾年北京的人口數，我們選擇了預測未來幾年來的人口數目，但對于北京長期的人口數預測來說，此模型預測的偏差

11、愈來愈大，不便應用.下表為預測中短期數據值：19992015年北京人口總數數據預測表年份（年）人數（百萬人）預測值199912.57212.8838200013.63613.4385200113.85113.9633200214.23214.4807200314.56414.5904200414.92714.9487200515.38015.3936200615.81015.8183200716.33016.2258200816.95016.8466200917.4168201017.7645201118.1061201218.4236201318.7389201419.0419201519.

12、3331常住人口（不考慮遷移人口）預測年份實際排除凈遷入人口優化后排除凈遷入人口排除凈遷入預測值199912.511412.82315912.823158200013.115513.36101513.361015200113.764913.86541213.877215200214.112214.11546314.124513200314.433014.34215614.360915200414.785914.79598314.817715200515.233515.23352615.252515200615.646915.65851515.671815凈遷入人口預測年份實際凈遷入人口預測凈遷

13、入人口19980.0606320.08773819990.0774510.09843820000.0860730.10913820010.1198380.11983820020.1310170141100014647401631070.16263820060.141674010717701099550.11787720090.1285772010014997720120.1606772013018207720150

14、.1927772、線性求解由于北京市1999年2000年的常住人口數量如下圖所示:所以根據垃圾總量與人口數的線性關系： (單位：kg)可預測北京市1999年-2008年的垃圾總量，如下表所示：總人口（百萬人） p人/（kg·每年）萬噸199912.572 445.3559.831 200013.636 445.3607.211 200113.851 445.3616.785 200214.232 445.3633.751 200314.564 445.3648.535 200414.927 445.3664.699 200515.380 445.3684.871 200615.810

15、 445.3704.019 200716.330 445.3727.175 200816.950 445.3754.784 六、建議北京的經濟持續高速增長、人民生活水平迅速提高、城市化進程不斷加快，也面臨著日益嚴重的環境問題，尤其是城市垃圾處理的問題，結合北京城市垃圾承載能力的變化，我小組成員經過討論研究，給出以下幾點建議：（一）提高城市生活垃圾分類覆蓋率。1、隨著北京城市人口不斷增加，垃圾產生量也隨之增加，只有加大垃圾分類的宣傳力度，在公共場合及社區增加垃圾分類基礎設施，推進公共場合及社區垃圾源頭的分類工作，才能從源頭降低垃圾分類的成本；2、加大財力物力的投入，完善各區縣垃圾分類站、垃圾轉運

16、站、垃圾處理廠等公共基礎設施的建設工作，進一步改善垃圾處理設施在北京分布不均衡的局面，提高機械化垃圾分類水平和垃圾資源化水平，通過垃圾分類使垃圾的回收利用和處理能力得到進一步提高；（二）加大科技的研發力度和扶持力度。1、北京市90%的垃圾處理靠衛生填埋，其余的方法只占10%，處理技術單一。加大對不同垃圾處理的公關力度，加快新型技術的研發速度，例如：利用垃圾焚燒來發電，不僅解決了垃圾帶來的污染土壤、污染地下水、占用大量土地等一系列問題，而且可以通過焚燒技術，將產生的熱能運用到需要熱量的地方，還能轉化為電能，替其他發電部門因為人口不斷增加導致用電需求增加而分擔壓力；2、由于政策保障機制不健全，導致

17、收費、補償存在較大問題，收費不統一、補償不到位，直接影響城市垃圾的處理。市政府及其相關部門可以出臺一系列措施甚至國家通過立法形式，確定垃圾處理機制；政府及其相關部門加大新型垃圾處理的扶持力度，不僅在政策方面給予較大支持，而且在物質層面提供部分支持，保證新型垃圾處理技術快速良好地發展；（三）加快原有垃圾設施的改造和再建設。北京傳統垃圾處理廠的設施較不齊全，科技含量較低，通過對現有垃圾處理設施的改造，改造沼氣收集、利用系統等裝置，在有條件的垃圾處理廠安裝垃圾分類裝置，將傳統意義的垃圾處理廠升級到一定的水平；（四）提高北京市垃圾處理能力。隨著北京市人口的不斷增加，北京城市垃圾承載能力也受到嚴峻考驗。

18、若提高北京市垃圾處理的效率，將會大大加強北京市垃圾承載能力也將不斷提高。這其中不僅要加大資金和技術的投入，還要提高相關人員的素質，使具備一定素養的專業人才將自己的真才實學運用到提高垃圾處理效率的關鍵部位，真正實現垃圾處理效率化；七、模型評價及推廣 1、模型的優缺點：優點：本文建立了兩個模型-灰色預測模型和改進萊斯利模型，其中灰色預測模型用于對北京人口增長趨勢做出短期預測，而離散控制模型是做長期預測。灰色預測模型是從自身的序列中尋找信息建立模型，發現和認識內在規律進行預測，而將影響目標的因素看成是灰色量，因而能夠根據現有的少量信息進行計算和推測。所以只需少量數據就可以進行較準確的預測，因而該模型

19、有較強的移植性。在對該模型進行大量的試驗之后，可知它在做短期預測時精度是非常高的。離散控制模型與灰色預測模型形成鮮明的對比，在此模型中則需充分考慮影響人口增長的因素，理解他們是怎樣影響人口變化的，將定性的轉化為的定量的。該模型考慮了各發面的因素，因而所的結果更貼近實際，有較高的實用價值和理論價值。缺點：由于數據有限，未能充分考慮影響人口增長的因素，因此所建模型不全面，所得的結果與實際有一定的出入。2、模型的推廣：由于灰色預測模型能夠根據現有的少量信息進行計算和預測，因而除了在人口方面適用，也在經濟、生態、醫學、工程技術、氣象、水文及減災等許多部門得到了廣泛的推廣。改進的萊斯利模型主要通過迭代的

20、方法預測未來長期人數，由于精度高，事業它可以應用于一些預測問題中，同時也可以對一些防止問題進行合理的處理。八、參考文獻1 熊和金,徐華中.灰色控制M.北京:國防工業出版社,2005.2 譚永基,蔡志杰.數學模型M.上海:復旦大學出版社,2005.3 衷克定.數據統計分析與實踐SPSS for WindowsM.北京:高等教育出版社,2005.4 陳強.人口系統模型及人口狀況分析D.南京：南京理工大學，2004.5 周翠紅，路邁西,等.北京市城市生活垃圾產量預測J.中國礦業大學學報，2003，32(2)：169172九、附錄模型一的程序：灰色預測模型a=12.823159 13.161015 13.865412 14.342156