1、函數及其表示基礎知識梳理1函數的基本概念(1)函數的定義：設A、B是非空數集，如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數，記作：yf(x)，xA.(2)函數的定義域、值域在函數yf(x)，xA中，x叫自變量，x的取值范圍A叫做定義域，與x的值對應的y值叫函數值，函數值的集合f(x)|xA叫值域值域是集合B的子集(3)函數的三要素：定義域、值域和對應關系(4)相等函數：如果兩個函數的定義域和對應關系完全一致，則這兩個函數相等；這是判斷兩函數相等的依據2函數的三種表示方法表示函數的常用方法有：解

2、析法、列表法、圖象法3映射的概念一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：AB為從集合A到集合B的一個映射 另：求復合函數yf(t)，tq(x)的定義域的方法：若yf(t)的定義域為(a，b)，則解不等式得aq(x)b即可求出yf(q(x)的定義域；若yf(g(x)的定義域為(a，b)，則求出g(x)的值域即為f(t)的定義域4函數的單調性(1)定義：一般地，設函數f(x)的定義域為I.如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量的值x1，x2,當x1x2時，都有f(x1)f(x2)

3、，那么就說函數f(x)在區間D上是增函數；當x1x2時，都有f(x1)f(x2)，那么就說函數f (x )在區間D上是減函數。(2)單調區間的定義：若函數f(x)在區間D上是增函數或減函數，則稱函數f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性，區間D叫做f(x)的單調區間注：函數的單調性是對某個區間而言的，所以要受到區間的限制例如函數y分別在(，0)，(0，)內都是單調遞減的，但不能說它在整個定義域即(，0)(0，)內單調遞減，只能分開寫，即函數的單調減區間為(，0)和(0，)，不能用“”連接函數單調性的判斷(1)定義法：取值、作差、變形、定號、下結論(2)復合法：同增異減，即內外函數的單調性相同

4、時，為增函數，不同時為減函數在公共的單調區間內有：增函數+增函數=增函數，增函數-減函數=增函數，減函數+減函數=減函數，減函數-增函數=減函數。(3)圖象法：利用圖象研究函數的單調性函數的奇偶性與周期性基礎知識梳理1奇、偶函數的概念一般地，如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有f(x)f(x)，那么函數f(x)就叫做偶函數如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有f(x)f(x)，那么函數f(x)就叫做奇函數 注：奇、偶函數的定義域關于原點對稱2奇、偶函數的性質（1）奇函數的圖象關于原點對稱；偶函數的圖象關于y軸對稱（2）奇函數在關于原點對稱的區間上的單調性相同，偶函數在關于原點

5、對稱的區間上的單調性相反。 （3）若奇函數f(x)在x0處有定義，則f(0)0 ，偶函數恒有.判斷函數的奇偶性，一般有三種方法：(1)定義法；(2)圖象法；(3)性質法3周期性(1)周期函數：對于函數yf(x)，如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的任何值時，都有f(xT)f(x)，那么就稱函數yf(x)為周期函數，稱T為這個函數的周期(2)最小正周期：如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫做f(x)的最小正周期注：若f(xa)f(x)或f(xa)或f(xa)，那么函數f(x)是周期函數，其中一個周期為T2a；練習檢測1(2011·江西)若f

6、(x)，則f(x)的定義域為()A. B. C. D(0，)解析由log(2x1)0，即02x11，解得x0.答案A2下列各對函數中，表示同一函數的是()Af(x)lg x2，g(x)2lg x Bf(x)lg，g(x)lg(x1)lg(x1)Cf(u) ，g(v) Df(x)()2，g(x)答案C3函數yf(x)的圖象如圖所示那么，f(x)的定義域是_；值域是_；其中只與x的一個值對應的y值的范圍是_解析任作直線xa，當a不在函數yf(x)定義域內時，直線xa與函數yf(x)圖象沒有交點；當a在函數yf(x)定義域內時，直線xa與函數yf(x)的圖象有且只有一個交點任作直線yb，當直線yb與

7、函數yf(x)的圖象有交點，則b在函數yf(x)的值域內；當直線yb與函數yf(x)的圖象沒有交點，則b不在函數yf(x)的值域內答案3,02,31,51,2)(4,54求下列函數的定義域：(1)f(x)；(2)f(x).審題視點 理解各代數式有意義的前提，列不等式解得解(1)要使函數f(x)有意義，必須且只須解不等式組得x3，因此函數f(x)的定義域為3，)(2)要使函數有意義，必須且只須即解得：1<x<1.因此f(x)的定義域為(1,1)5. (2012·天津耀華中學月考)(1)已知f(x)的定義域為，求函數yf的定義域；(2)已知函數f(32x)的定義域為1,2，求

8、f(x)的定義域解(1)令x2xt，知f(t)的定義域為，x2x，整理得所求函數的定義域為.(2)用換元思想，令32xt，f(t)的定義域即為f(x)的定義域，t32x(x1,2)，1t5，故f(x)的定義域為1,56.(1)已知flg x，求f(x)；(2)定義在(1,1)內的函數f(x)滿足2f(x)f(x)lg(x1)，求函數f(x)的解析式審題視點 (1)用代換法求解；(2)構造方程組求解解(1)令t1，則x，f(t)lg ，即f(x)lg .(2)x(1,1)時，有2f(x)f(x)lg(x1)以x代x得，2f(x)f(x)lg(x1)由消去f(x)得f(x)lg(x1)lg(1x)

9、，x(1,1) 求函數解析式的方法主要有：(1)代入法；(2)換元法；(3)待定系數法；(4)解函數方程等7. (1)已知f(x)是二次函數，若f(0)0，且f(x1)f(x)x1，試求f(x)的表達式(2)已知f(x)2f()2x1，求f(x)解(1)由題意可設f(x)ax2bx(a0)，則a(x1)2b(x1)ax2bxx1ax2(2ab)xabax2(b1)x1解得a，b.因此f(x)x2x.(2)由已知得消去f，得f(x).8. 求函數ylog(x23x)的單調區間正解設tx23x，由t0，得x0或x3，即函數的定義域為(，0)(3，)函數t的對稱軸為直線x，故t在(，0)上單調遞減，

10、在上單調遞增而函數ylogt為單調遞減函數，由復合函數的單調性可知，函數ylog(x23x)的單調遞增區間是(，0)，單調遞減區間是(3，)9. 求函數f(x)log2(x22x3)的單調區間嘗試解答由x22x30，得x1或x3，即函數的定義域為(，1)(3，)令tx22x3，則其對稱軸為x1，故t在(，1)上是減函數，在(3，)上是增函數又ylog2t為單調增函數故函數ylog2(x22x3)的單調增區間為(3，)，單調減區間為(，1)10.(2011·江蘇)函數f(x)log5(2x1)的單調增區間是_解析要使ylog5(2x1)有意義，則2x10，即x，而ylog5u為(0，)

11、上的增函數，當x時，u2x1也為增函數，故原函數的單調增區間是.答案11. 函數y在(1，)上單調遞增，則a的取值范圍是 （ ）Aa3 Ba<3 Ca3 Da3解析y1，需即a3.答案C12. 已知函數f(x)對于任意x，yR，總有f(x)f(y)f(xy)，且當x0時，f(x)0，f(1).(1)求證：f(x)在R上是減函數；(2)求f(x)在3,3上的最大值和最小值審題視點 抽象函數單調性的判斷，仍須緊扣定義，結合題目作適當變形(1)證明法一函數f(x)對于任意x，yR總有f(x)f(y)f(xy)，令xy0，得f(0)0.再令yx，得f(x)f(x)在R上任取x1x2，則x1x20

12、，f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1x2)又x0時，f(x)0，而x1x20，f(x1x2)0，即f(x1)f(x2)因此f(x)在R上是減函數法二設x1x2，則f(x1)f(x2)f(x1x2x2)f(x2)f(x1x2)f(x2)f(x2)f(x1x2)又x0時，f(x)0，而x1x20，f(x1x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)在R上為減函數(2)解f(x)在R上是減函數，f(x)在3,3上也是減函數，f(x)在3,3上的最大值和最小值分別為f(3)與f(3)而f(3)3f(1)2，f(3)f(3)2.f(x)在3,3上的最大值為2，最小值為2. 對于抽象函數的單調

13、性的判斷仍然要緊扣單調性的定義，結合題目所給性質和相應的條件，對任意x1，x2在所給區間內比較f(x1)f(x2)與0的大小，或與1的大小有時根據需要，需作適當的變形：如x1x2·或x1x2x1x2等【訓練】已知定義在區間(0，)上的函數f(x)滿足ff(x1)f(x2)，且當x1時，f(x)0.(1)求f(1)的值；(2)判斷f(x)的單調性；(3)若f(3)1，求f(x)在2,9上的最小值解(1)令x1x20，代入得f(1)f(x1)f(x1)0，故f(1)0.(2)任取x1，x2(0，)，且x1x2，則1，由于當x1時，f(x)0，所以f0，即f(x1)f(x2)0，因此f(x

14、1)f(x2)，所以函數f(x)在區間(0，)上是單調遞減函數(3)f(x)在0，)上是單調遞減函數f(x)在2,9上的最小值為f(9)由ff(x1)f(x2)得，ff(9)f(3)，而f(3)1，所以f(9)2.f(x)在2,9上的最小值為2.1(2011·全國)設f(x)是周期為2的奇函數，當0x1時，f(x)2x(1x)，則f()A. B. C. D.解析因為f(x)是周期為2的奇函數，所以fff.故選A.答案A2(2011·浙江)若函數f(x)x2|xa|為偶函數，則實數a_.解析法一f(x)f(x)對于xR恒成立，|xa|xa|對于xR恒成立，兩邊平方整理得ax0

15、對于xR恒成立，故a0.法二由f(1)f(1)，得|a1|a1|，得a0.答案03. 已知奇函數f(x)的定義域為2,2，且在區間2,0內遞減，求滿足：f(1m)f(1m2)0的實數m的取值范圍解f(x)的定義域為2,2，有解得1m.又f(x)為奇函數，且在2,0上遞減，在2,2上遞減，f(1m)f(1m2)f(m21)1mm21，即2m1.綜合可知，1m1.4.已知函數f(x)是(，)上的奇函數，且f(x)的圖象關于x1對稱，當x0,1時，f(x)2x1，(1)求證：f(x)是周期函數；(2)當x1,2時，求f(x)的解析式；(3)計算f(0)f(1)f(2)f(2013)的值審題視點 (1

16、)只需證明f(xT)f(x)，即可說明f(x)為周期函數；(2)由f(x)在0,1上的解析式及f(x)圖象關于x1對稱求得f(x)在1,2上的解析式；(3)由周期性求和的值(1)證明函數f(x)為奇函數，則f(x)f(x)，函數f(x)的圖象關于x1對稱，則f(2x)f(x)f(x)，所以f(4x)f(2x)2f(2x)f(x)，所以f(x)是以4為周期的周期函數(2)解當x1,2時，2x0,1，又f(x)的圖象關于x1對稱，則f(x)f(2x)22x1，x1,2(3)解f(0)0，f(1)1，f(2)0，f(3)f(1)f(1)1又f(x)是以4為周期的周期函數f(0)f(1)f(2)f(2

17、013)f(2 012)f(2 013)f(0)f(1)1. 判斷函數的周期只需證明f(xT)f(x)(T0)便可證明函數是周期函數，且周期為T，函數的周期性常與函數的其他性質綜合命題，是高考考查的重點問題5. 已知f(x)是定義在R上的偶函數，g(x)是定義在R上的奇函數，且g(x)f(x1)，則f(2 013)f(2 015)的值為()A1 B1 C0 D無法計算解析由題意，得g(x)f(x1)，又f(x)是定義在R上的偶函數，g(x)是定義在R上的奇函數，g(x)g(x)，f(x)f(x)，f(x1)f(x1)，f(x)f(x2)，f(x)f(x4)，f(x)的周期為4，f(2 013)f(1)，f(2 015)f(3)f(1)，又f(1)f(1)g(0)0，f(2 013)f