1、 二次根式培優(yōu)習(xí)題訓(xùn)練 【知識(shí)要點(diǎn)】 1.二次根式的定義：形如的式子叫二次根式，其中叫被開方數(shù)，只有當(dāng)是一個(gè)非負(fù)數(shù)時(shí)，才有意義 2. 3. 公式與的區(qū)別與聯(lián)系.（1） 表示求一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)根，a的范圍是一切實(shí)數(shù)（2）表示一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根的平方，a的范圍是非負(fù)數(shù)（3）和的運(yùn)算結(jié)果都是非負(fù)的 4、性質(zhì)：（1）非負(fù)性：是一個(gè)非負(fù)數(shù) 注意：此性質(zhì)可作公式記住，后面根式運(yùn)算中經(jīng)常用到 （2）.注意：此性質(zhì)既可正用，也可反用，反用的意義在于，可以把任意一個(gè)非負(fù)數(shù)或非負(fù)代數(shù)式寫成完全平方的形式： （3） 注意：（1）字母不一定是正數(shù)（2）能開得盡方的因式移到根號(hào)外時(shí)，必須用它的算術(shù)平方根代替（3）可移

2、到根號(hào)內(nèi)的因式，必須是非負(fù)因式，如果因式的值是負(fù)的，應(yīng)把負(fù)號(hào)留在根號(hào)外5、（1）最簡(jiǎn)二次根式：被開方數(shù)是整數(shù)，因式是整式；被開方數(shù)中不含能開得盡方的數(shù)或因式；分母中不含根號(hào)（2）同類二次根式（可合并根式）：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式就叫做同類二次根式，即可以合并的兩個(gè)根式。 6、（1）分母有理化：把分母中的根號(hào)化去，叫做分母有理化。（2）有理化因式：兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，就說(shuō)這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式。有理化因式確定方法如下：?jiǎn)雾?xiàng)二次根式：利用來(lái)確定，如：，與等分別互為有理化因式。兩項(xiàng)二次根式：利用平方差公式來(lái)確定。如與

3、，分別互為有理化因式。（3）分母有理化的方法與步驟： 先將分子、分母化成最簡(jiǎn)二次根式； 將分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式； 最后結(jié)果必須化成最簡(jiǎn)二次根式或有理式7、二次根式的運(yùn)算： （1）二次根式的乘法法則：兩個(gè)因式的算術(shù)平方根的積，等于這兩個(gè)因式積的算術(shù)平方根。反過(guò)來(lái)就是積的算術(shù)平方根的性質(zhì)。 （a0，b0） （2）二次根式的除法法則：兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根的商，等于這兩個(gè)數(shù)的商的算術(shù)平方根。反過(guò)來(lái)就是商的算術(shù)平方根的性質(zhì)。=（a0，b0）注意：乘、除法的運(yùn)算法則要靈活運(yùn)用，在實(shí)際運(yùn)算中經(jīng)常從等式的右邊變形至等式的左邊，同時(shí)還要考慮字母的取值范圍，最后把運(yùn)算結(jié)果化成最簡(jiǎn)二次根

4、式（3） 二次根式的加減法法則：需要先把二次根式化簡(jiǎn)，然后把被開方數(shù)相同的二次根式（即同類二次根式）的系數(shù)相加減，被開方數(shù)不變。 注意：對(duì)于二次根式的加減，關(guān)鍵是合并同類二次根式，通常是先化成最簡(jiǎn)二次根式，再把同類二次根式合并但在化簡(jiǎn)二次根式時(shí)，二次根式的被開方數(shù)應(yīng)不含分母，不含能開得盡的因數(shù)8、混合運(yùn)算：（1）確定運(yùn)算順序；（2）靈活運(yùn)用運(yùn)算定律； （3）正確使用乘法公式；（4）大多數(shù)分母有理化要及時(shí)；（5）在有些簡(jiǎn)便運(yùn)算中也許可以約分，不要盲目有理化；9、比較大小：（1）根式變形法：當(dāng)時(shí)，如果，則；如果，則。（2）平方法：當(dāng)時(shí)，如果，則；如果，則。（3）分母有理化法：通過(guò)分母有理化，利用分

5、子的大小來(lái)比較。（4）分子有理化法：通過(guò)分子有理化，利用分母的大小來(lái)比較。（5）倒數(shù)法（6） 媒介傳遞法 適當(dāng)選擇介于兩個(gè)數(shù)之間的媒介值，利用傳遞性進(jìn)行比較。（7）作差比較法在對(duì)兩數(shù)比較大小時(shí)，經(jīng)常運(yùn)用如 下性質(zhì)：；（8）求商比較 法它運(yùn)用如下性質(zhì)：當(dāng)a0，b0時(shí)，則：； 【典例解析】1、 概念1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、（x0）、-、（x0，y0）2把二次根式（y0）化為最簡(jiǎn)二次根式結(jié)果是（ ） A（y0） B（y0） C（y0） D以上都不對(duì)3化簡(jiǎn)=_（x0） 4a化簡(jiǎn)二次根式號(hào)后的結(jié)果是_5以下二次根式：；中，與是同類二次根式的是（ ） A和 B和 C和 D和6在、

6、3、-2中，與是同類二次根式的有 7.若最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式，求m、n的值8.+的有理化因式是_； x-的有理化因式是_-的有理化因式是_2.把下列各式的分母有理化（1）； （2）； （3）； （4）二、二次根式有意義的條件： 1（1）當(dāng)x是多少時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？（2）當(dāng)x是多少時(shí)， +在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？（3）當(dāng)x是多少時(shí)，+x2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？（4）當(dāng)時(shí)，有意義。2. 使式子有意義的未知數(shù)x有（ ）個(gè) A0 B1 C2 D無(wú)數(shù)3已知y=+5，求的值6要是下列式子有意義求字母的取值范圍（1）(2)(3) (4)三、二次根式的非負(fù)數(shù)性1若+=0，求a2004+b2004的值2

7、. 若，求的值。a0四、 的應(yīng)用1 先化簡(jiǎn)再求值：當(dāng)時(shí)，求a+的值，甲乙兩人的解答如下：甲的解答為：原式=a+=a+（1-a）=1；乙的解答為：原式=a+=a+（a-1）=2a-1=17兩種解答中，_的解答是錯(cuò)誤的，錯(cuò)誤的原因是_2. 若-3x2時(shí)，試化簡(jiǎn)x-2+。3化簡(jiǎn)a的結(jié)果是（ ） A B C- D-五、求值問(wèn)題:1.當(dāng)x=+,y=,求x2-xy+y2的值2已知a=3+2，b=3-2，則a2b-ab2=_3.已知a=-1,求a3+2a2-a的值4先化簡(jiǎn)，再求值 （6x+）-（4x+），其中x=，y=27六、大小的比較1. 比較與的大小。（用兩種方法解答）2.比較與的大小。3.比較與的大小。七、其他1等式成立的條件是（ ） Ax1 Bx-1 C-1x1 Dx1或x-12.已知，且x為偶數(shù)，求（1+x）的值 A2 B3 C4 D13.如果,