1、精選優質文檔-傾情為你奉上 勾股定理1 勾股定理證明與拓展 模型一.圖中三個正方形面積關系 思考：如下圖，以直角三角形a、b、c為邊，向外作等邊三角形、半圓、等腰直角三角形和正方形，上述四種情況的面積有和關系？例1、有一個面積為1的正方形，經過一次“生長”后，在他的左右肩上上生出兩個小正方形（如圖1），其中，三個正方形圍成的三角形是直角三角形，再經過一次“生長”后，生出了4個正方形（如圖2），如果按此規律繼續“生長”下去，它將變得“枝繁葉茂”；在“生長”了2017次后形成的圖形中所有正方形的面積和是 . 變式1：在直線l上依次擺放著七個正方形(如圖1所示)已知斜放置的三個正方形的面積分別是1，

2、1. 21，1. 44，正放置的四個正方形的面積依次是，則=_. 變式2：如圖，四邊形ABCD中，ADBC，ABC+DCB=90°，且BC=2AD，以AB、BC、DC為邊向外作正方形，其面積分別為S1、S2、S3，若S1=3，S3=9，求S2. （變式2） （變式3）變式3：如圖，RtABC 的面積為10cm2，在AB 的同側，分別以AB，BC，AC 為直徑作三個半圓，則陰影部分的面積為 （難題）如圖，是小明為學校舉辦的數學文化節設計的標志，在ABC 中，ACB 90°，以ABC 的各邊為邊作三個正方形，點 G 落在 HI 上，若 ACBC6，空白部分面積為 10.5，則陰

3、影部分面積 模型二外弦圖 內弦圖 例題2.四年一度的國際數學大會于2002年8月20日在北京召開，大會會標如圖所示，它是由四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形，若大正方形的面積為，每個直角三角形兩直角邊的和是。求中間小正方形的面積為_;變式1：如圖，是用個全等的直角三角形與個小正方形鑲嵌而成的正方圖案，已知大正方形面積為，小正方形面積為，若用、表示直角三角形的兩直角邊（），下列四個說法：，其中說法正確的有_（填序號）. (變式1) (變式2) 變式2：如圖,正方形ABCD的邊長為10，AG=CH=8，BG=DH=6，連接GH，則線段GH的長為 變式3：我國漢代數學家趙爽為了證

4、明勾股定理，創制了一副“弦圖”，后人稱為“趙爽弦圖”（如圖5），圖6是由弦圖變化得到的，他是由八個全等的直角三角形拼接而成。記圖中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面積分別為S1、S2、S3，若S1S2+S3 =10，則S2= 2 勾股定理及逆定理分類討論思想：（易錯點）例題1、 在RtABC中，已知兩邊長為3、4，則第三邊的長為 變式1：已知在ABC中，AB=17，AC=10，BC邊上的高等于8，則ABC的周長為 變式2：在ABC中，AB=15,AC=13,高AD=12,則三角形的周長是 變式3：在ABC中，AB=2 ，AC=4，BC=2以AB為邊向ABC外做ABD，使ABD為

5、等腰直角三角形，則線段CD的長為 方程思想：例題2、已知：如圖，折疊長方形（四個角都是直角，對邊相等）的一邊，使點落在邊上的點處，已知,求：（1）的長；（2）求的面積；例題3.在ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求ABC的面積。思考記憶：正三角形，邊長為a,面積為 變式1：如圖所示，已知ABC中，C=90°，AB的垂直平分線交BC于M，交AB于N，若AC=4，MB=2MC，求AB的長變式2：小明想知道旗桿的高度，他發現旗桿上的繩子垂到地面還多了米，當他把繩子的下端拉開旗桿底部米時，發現繩子的末端剛好接觸地面，旗桿的高度為 變式3：小溪旁長著兩棵樹，恰好隔岸相望，一棵樹A高

6、30尺，一棵樹B高20尺，兩棵樹之間距離恰好為50尺，每棵樹頂部都停有一只小鳥，忽然兩只鳥同時看到兩樹間水面游出一只小魚，他們立刻以相同的速度飛去抓魚，結果同時到達目標，問游魚出現在距離A多少尺？構造直角三角形：例題4四邊形ABCD中，A=135°，B=D=90°，BC=2，AD=2，則四邊形ABCD的面積是 變式1.如圖，在四邊形中,則= .變式2：如下（右）圖一副直角三角板放置，點C在FD的延長線上，ABCF，F=ACB=90°，AC=5，CD的長 變式3：如圖，ABC中，AB=AC，A=30°，點D在AB上，ACD=15°，AD=，則BC

7、=變式4：如圖所示，P為邊BC上一點，且PC=2PB，已知=，,求的度數。轉化思想例5.等邊三角形ABC內一點P，AP3，BP4，CP5，求APB的度數變式1：如圖，在等腰RtABC中，CAB=90°，P是ABC內一點，且PA=1，PB=3，PC=；求：CPA的大小。變式2：如圖，O是等邊ABC內一點，OA=3，OB=4，OC=5，將線段BO以點B為旋轉中心逆時針旋轉60°得到線段BO，下列結論：BOA可以由BOC繞點B逆時針旋轉60°得到； 點O與O的距離為4；AOB=150°； 四邊形AO BO的面積為； SAOC+SAOB=6+其中正確的結論是 （

8、只填正確的序號） 變式3如圖所示，在中,且,求的長. 變式4如圖，ABC是直角三角形，CAB=90°,.（1）當點、在上時，求證：（2）將繞點旋轉，當點在的延長線上時，以上結論是否成立？若不成立，請說明理由 直角的判定：例5、已知ABC的三邊、滿足條件，求證：ABC是直角三角形.變式1、如圖，在四邊形中，、，求四邊形的面積。ABCD變式2如圖中，于點，,， .有下列四種說法：(1)ab=ch（2）；（3）；(4)以、為三邊的三角形是直角三角形。其中正確的有 （填序號） 專心-專注-專業格點問題例6、如圖，2×2的方格中小正方形的邊長是1，點A、B、C都在格點上，AB邊上的高

9、長為（ ）A、 B、 C、 D、變式1、如圖，方格紙中小正方形的邊長為1，ABC的三個頂點都在小正方形的格點上，小明在觀察探究時發現： ABC的形狀是等腰三角形；ABC的周長是2；ABC的面積是5；點C到AB邊的距離是.你認為小明觀察的結論正確的序號有 變式2、如圖，正方形網格中，每個小正方形的邊長為1，則網格上的三角形ABC中，邊長為無理數的邊數是（ ）A0 B1 C2 D3變式3、如圖，正方形網格中的ABC，若小方格邊長為1，則ABC是 （ ）A.直角三角形 B.銳角三角形 C.鈍角三角形 D.以上答案都不對變式4、如圖，小方格都是邊長為1的正方形,則四邊形ABCD的面積是 ( )A 25

10、 B. 12.5 C. 9 D. 8.5 （圖1） （圖2） （圖3 勾股定理實際應用最短路徑問題例題1如圖，長方體的長為15，寬為10，高為20，點B離點C的距離為5，已知螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B，需要爬行的最短距離是（ ）A. B.25C.D.35變式1、如圖，一個無蓋的長廊體盒子緊貼地面，一只螞蟻由出發，在盒子表面上爬到點，已知、，求這只螞蟻爬行的最短距離 . 變式1圖變式3圖變式2圖 變式2、如圖，長方體的底面邊長分別為1cm和3cm，高為6cm，如果用一根細線從點A開始經過4個側面纏繞一圈到達點B,那么所用細線最短需要 cm；如果從點A開始經過4個側面纏繞n圈到達點B

11、，所用細線最短需要 cm。 變式3、如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計）的高為12cm，底面周長為10cm，在容器內壁離容器底部3cm的點B處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿3cm的點A處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是（）A13cmB2cmCcmD2cm影響判定問題例題2如圖，某貨船以24海里時的速度將一批重要物資從A處運往正東方向的M處，在點A處測得某島C在北偏東60°的方向上。該貨船航行30分鐘到達B處，此時又測得該島在北偏東30°的方向上，已知在C島周圍9海里的區域內有暗礁，若繼續向正東方向航行，該貨船有無暗礁危險？試說明理由。變式1如圖，

12、某沿海開放城市A接到臺風警報，在該市正南方向260km的B處有一臺風中心，沿BC方向以15km/h的速度向D移動，已知城市A到BC的距離AD=100km，那么臺風中心經過多長時間從B點移到D點？如果在距臺風中心30km的圓形區域內都將有受到臺風的破壞的危險，正在D點休閑的游人在接到臺風警報后的幾小時內撤離才可脫離危險？變式2：如圖，公路MN和公路PQ在點P處交匯，且QPN30°，點A處有一所中學，AP160m。假設拖拉機行駛時，周圍100m以內會受到噪音的影響，那么拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時，學校是否會受到噪聲影響？請說明理由，如果受影響，已知拖拉機的速度為18km/h，那么

13、學校受影響的時間為多少秒？ 變式3：某公司的大門如圖所示,其中四邊形是長方形,上部是以為直徑的半圓,其中=2.3，=2,現有一輛裝滿貨物的卡車,高為2.5,寬為1.6,問這輛卡車能否通過公司的大門?并說明你的理由綜合練習一、選擇題1、以a、b、c三邊長能構成直角三角形的是（）A.a=1，b=2，c=3B.a=32，b=42，c=52 C.a=，b=，c=D.a=5，b=6，c=7ADBEC2、如圖，在中，的垂直平分線交的延長線于點，則的長為（ ）A、 B、 C、 D、23、如圖，正方形ABCD的邊長為2，其面積標記為S1，以CD為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正

14、方形，其面積標記為S2，按照此規律繼續下去，則S9的值為（）A （）6B（）7C（）6D（）7二、填空題1、如圖，已知AB=16，DAAB于點A，CBAB于點B，DA=10，CB=2，AB上有一點E使DE+EC最短，那么DE+EC的最短距離為 .2、如圖，已知ABC中，ABC=90°，AB=BC，三角形的頂點在相互平行的三條直線l1，l2，l3上，且l1，l2之間的距離為2，l2，l3之間的距離為3，則AC的長是 .3、如圖是兩個全等的三角形紙片，其三邊長之比為3：4：5，按圖中方法分別將其對折，使折痕（圖中虛線）過其中的一個頂點，且使該頂點所在兩邊重合，記折疊后不重疊部分面積分別為SA，SB，已知SA+SB=39，則紙片A的面積是 4、如圖，在同一平面內，兩條平行高速公路l1和l2間有一條“Z”型道路連通，其中AB段與高速公路l1成30°夾角，長為20km，BC段與AB、CD段都垂直長為10km，CD段長為30km，則高速公路間的距離為_（結果保留根號）5、如圖，長方體的底面邊長分別為1cm和3cm，高為6cm如果用一根細線從點A開始經過4個側面纏繞一圈到達點B，那么所用細線最短需要_6、（整體思想）已知RtABC的周長是，斜邊上