1、河南科技大學2010年數學建模競賽承 諾 書我們仔細閱讀了中國大學生數學建模競賽的競賽規則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導教師）研究、討論與賽題有關的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網上查到的資料），必須按照規定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們參賽選擇的題號是（從A/B/中選擇一項填寫）： 我們的參賽報名號為（如果賽區設置報名號的話）：

2、 所屬學校（請填寫完整的全名）： 河南科技大學 參賽隊員 (打印并簽名) ：1. 郭利朋 2. 何溪 3. 路春曉 指導教師或指導教師組負責人 (打印并簽名)： 日期： 2010 年 8 月 29 日賽區評閱編號（由賽區組委會評閱前進行編號）：河南科技大學2010年數學建模競賽編 號 專 用 頁賽區評閱編號（由賽區組委會評閱前進行編號）：賽區評閱記錄（可供賽區評閱時使用）：評閱人評分備注全國統一編號（由賽區組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進行編號）高層辦公樓電梯問題摘要本題對電梯運載問題進行動態規劃，以提高電梯在規定時間內的運載能力，達到經濟、高效的效果。對于問題一，先

3、表達出電梯運行周期所包含的5個部分，然后求出電梯運載站數的期望，和實際所停最高樓數的期望。最后，求得電梯運行一周所需要的時間：。接著，根據實際情況將6部電梯分成3組進行求解，從4個方案中求出40分鐘內運載能力最高的方案。經檢驗可得，當三組分別負責2-12，13-22，23-30層時，運載能力最高為：38.2%。對于問題二，有兩個限制條件：40分鐘內運完所有辦公人員；花費時間最短。同時，電梯的建造成本要盡量低。分別對不同電梯的運行情況以及它們到達各樓層的時間進行分析，列出限制條件，得出目標函數為Min 。最終求得，當三個分組分別為：2-12、13-21、22-30層，運送的電梯速度分別為：243

4、.8 mmin、243.8 mmin、304.8mmin時，能滿足所有約束條件且運送效率最高，成本較低。關鍵字：運載能力 動態規劃 分層 期望 問題重述商用寫字樓在早上8：20到9：00這40分鐘里，上班的人陸續到達，底樓等電梯的地方就人山人海。常常碰到再分鐘就遲到但電梯等了好長時間還沒來的情況，。所以，公司強烈要求設計一個合理有效的電梯調度運行方案。除一樓外的各層辦公人數：樓層樓層樓層人數樓層人數樓層人數12345678 208 177 222 130 181 191 236910111213141516236139272272272270300264171819202l2223242002

5、00200200207207207207252627282930205205140136132132第一層樓高7.62米，其它各層間樓高3.91米；電梯以1.22的加速度由0增加到5.08；電梯容量19人，每個乘客上、下電梯的平均時間分別為0.8s和0.5s，開關電梯門的平均時間為3s，其它損失時間(如果考慮的話)為上面3部分時間總和的10；底樓最大允許等待時間最好不超過1分鐘。問題一：假如現有6部電梯，請設計一個電梯調運方案，使得在這段時間內電梯能盡可能地把各層樓的人流快速送到，減少候梯時間。問題二：如果大廈管理者想重新安裝改造電梯，除滿足以上運行要求外，還考慮電梯安裝的安裝成本，比如用較少

6、的電梯比更多的電梯花費少，一個速度慢的電梯比一個速度快的電梯花費少，能選用電梯分別有快速，中速，慢速三種，請給管理者寫一個方案，提出一些合理的建議來實現（如需用數據分析說明，可設選用電梯的最大速度分別是243.8 mmin，304.8 mmin，365.8mmin）。問題分析問題一的分析：問題一要求合理分配6部電梯，使各層人流快速送到，減少侯梯時間。用之前的6部電梯同時負責30個樓層的運輸，則每部電梯都要上升到頂層，且很可能每部電梯在每一層都要停靠，根據計算，這樣電梯不能達到最大速度，而且運行路線太長，顯然造成時間、金錢上的很大的浪費，必須改進。然后，考慮將6部電梯平均分配，各負責相應幾層的運

7、輸，但由于負責的樓層高度不同，且每層的人數不同，這樣單純的平均顯然不合理。最后，確定以下方案：兩部電梯聯合負責相鄰幾層樓的運輸，兩部電梯交替出發，樓層數從下往上遞減，總的目標是40分鐘內盡可能多的運輸全部工作人員。 問題二的分析：問題二要求重新安裝改造電梯，使在滿足運行要求的基礎上安裝成本最小，這是一個最優化問題。在第一問的基礎上繼續將電梯分為三組，但第一問中下面幾層的運輸中電梯無法達到最大速度，從而造成了資源的浪費，因此，重新規劃時考慮給三組分別配備不同速度的電梯，從而節省資源。另外，由限制條件確定每組電梯的部數。 模型假設（1） 所有工作人員都從一樓出發，不考慮從其它樓層進入電梯；（2）

8、單位時間到達大廳的人中各層所占的人數與各層人數的比例相同；（3） 電梯減速時的加速度也為1.22；（4） 每次電梯都以滿載19人從一樓向上運輸；（5） 每個乘客在每層下的概率相等；（6） 不考慮樓梯對人流運輸的影響。符號約定：電梯每次運載的人數，取值19；：乘客上下樓梯平均時間，分別取值0.8、0.5；：第一層樓高度，取值7.62；：除第一層外其它各層的高度，取值3.91；：電梯開關門時間，取值3；：電梯中間停靠次數；：電梯實際到達的最高層；：電梯停靠位置，取1、230；：電梯運行路程s所需時間；：電梯運載區間的最低層，取16；：電梯運載區間的最高層，取16；：電梯服務的總層數，取16；：第i

9、組電梯的個數；：第層的辦公人數，取130。模型的建立與求解問題一的建立與求解：考慮到電梯運行中加速度與減速度對稱性，得到電梯運動位移與時間之間的關系為：其中，為電梯的加速度。電梯的運行周期包括以下五部分：（1）、工作人員上下電梯的時間：（2）、電梯開關門時間：（）表示次停靠的開關門以及在一樓大廳的開關門時間。（3）、電梯到第一個停靠點所需時間：（4）、電梯在各停靠點之間的運行時間：（5）、電梯返回一樓所需時間：加上其它損失時間，運行的周期為：在實際計算運行周期時，用電梯實際停的站數和實際到達的最高樓的數學期望和表示。其推到過程如下：的推導過程由假設可知，任一乘客在任一層樓下的概率：對于個乘客，

10、則至少有一個在第層下的概率為：所以的推導過程設任一乘客在第站之前下電梯的概率為：所有乘客在第站之前下電梯的概率為：所以又有關系式：綜上可得，電梯的運行周期：為每層的辦公人數，則求得最優解為滿足條件所有的電梯同時將人運完，電梯總共有六個，當電梯均分為 e組時，可得約束條件:e可以取2、3、6。經過多重運算，分三組的時候效率比較高，取e=3。得一下四組方案，計算各組方案的運行周期、時間間隔及運載能力如下：方案組數電梯個數服務樓層運行周期時間間隔運送量方案一122-12116.1158.0538.2%2213-22116.8558.433223-30129.0764.53方案二122-13122.3

11、661.1836.86%2214-23128.3964.193224-30123.7361.86方案三122-12116.1158.0537.11%2213-23133.1966.603224-30123.7361.87方案四122-14128.4764.2436.75%2215-23123.4361.713224-30123.7361.86由表格數據可以看出選第一種方案最好。求解期望及周期的程序分別見附表一、二。從數據來看，由于所給電梯只有六個，數目比較少，不可能在上班之前完成運載任務，也不可能讓顧客的等待時間小于一分鐘，這種調度方案并不能夠解決問題。在第二問中進行修正求解。問題二的建立與求

12、解：問題二的求解與第一問相似，但為避免問題一中在較低樓層運輸時電梯一直無法達到最高速度的現象，擬在較低樓層中使用低速電梯，而對較高樓層，為減少辦公人員等待時間，提高電梯效率，擬采用高速電梯。先對三種電梯運行情況進行分析：（1）慢速電梯：最大速度 v1max=4.06m/s；到達最大速度時，上升的高度h1=6.76m達到最大速度所需時間t1=3.3s（2）中速電梯：最大速度 v2max=5.08m/s；到達最大速度時，上升的高度h2=10.6m達到最大速度所需時間t2=4.16s（3）快速電梯：最大速度 v3max=6.09m/s；到達最大速度時，上升的高度h3=15.2m達到最大速度所需時間t

13、3=4.99s電梯正常運行的最大速度為vmax。電梯運行高度為h，每層樓的高度為h，加速階段的運行距離為 h0=，則當，電梯需要以運行，總時間為：當，電梯速度不可能達到，此時最大速度為，總時間為：。現計算規格i電梯將辦公人員送到第j層所需的時間：規格i 層數j 慢速電梯中速電梯高速電梯240.6541.2142.16342.6742.8343.50444.7044.4444.86546.7246.0646.20648.7447.6847.55750.7649.2948.90852.7950.9050.25954.8052.5251.601056.8354.1452.941158.8555.76

14、54.291260.8857.3755.641362.9058.9956.991464.9260.6058.341566.9462.2259.691668.9763.8361.031770.9965.4662.381873.0167.0763.731975.0368.6965.082077.0570.3066.432179.0771.9267.782281.1073.5469.122383.1275.1570.472485.1576.7771.822587.1778.3973.172689.1980.0074.522791.2181.6275.872893.2383.2377.212995.2

15、684.8578.563097.2886.4779.91平均值68.9663.8461.03分析以上數據，對約束條件進行一定的變化，每組電梯用同一種型號。依然將樓層分為三組，修改如下：要在40分鐘內完成運載任務：等待時間小于一分鐘：電梯共有三種型號，設每組電梯所用的型號為：，費用分別為目標函數為Min 最終，經軟件輔助分析及對比取舍得最佳運送方案如下：組數電梯個數速度服務樓層運行周期時間間隔運送量18243.82-12146.8218.35100%28243.813-21158.8519.8636304.822-30170.0728.35求解程序見附錄。模型評價與改進這個模型的目的是求最優解，

16、屬于線性規劃問題。第一問中嚴密的推導了電梯運行的周期，并對多種分組方式進行了分析，運用總時間最小的原理，比較合理的提出了一個電梯的運載方案，但在分組方式中還有一定的局限性，平均分組的方法雖然簡單，但卻不夠全面，需要對六個電梯進行全面的分組討論，才能真正得到最優解。第二問中，問題的求解很好，也充分滿足了限制條件，但是樓層的分組方法還有待改進。參考文獻1 壽紀麟等.數學模型與方法.西安交通大學出版社.19932 朱思銘、李尚廉等.數學模型.中山大學出版社.19953 姜啟源.數學模型.高等教育出版社.20034 吳翔、吳孟達等.數學模型的理論與實踐.國防科技大學出版社.19995 賈玉心.概率論與

17、隨機過程.中國科學技術出版社.2005附錄附表一，期望程序：#include"stdio.h"#include"math.h"#define r 19void main() int n,j;double E1,E2,k;k=0;scanf("%d",&n);E1=n*(1-pow(1-1.0/n,r);for(j=1;j<n;j+)k=k+pow(j*1.0/n,r);E2=n-k;printf("E1=%7.4fnE2=%7.4fn",E1,E2);附表二，周期程序：#include"st

18、dio.h"#include"math.h"#define r 19#define a 0.8#define b 0.5#define c 1.22#define h1 7.62#define h 3.91#define d 3#define v 5.08float t(float s)float t;if(s>pow(v,2)/c) t=v/c+s/v;else t=2.0*sqrt(s/c);return t;void main() int n,s1;float E1,E2,y;scanf("%d,%d,%f,%f",&n,&

19、amp;s1,&E1,&E2);y=1.1*(r*(a+b)+d*(n+1)+t(h1+h*(s1+E2-2-E1)+(E1-1)*t(h)+t(h1+h*(s1+E2-3);printf("E1=%fnE2=%fny=%fn",E1,E2,y);附表三：model:sets: Time/1 2 3/:T;endsetsdata: v=5.08;a=1.22;h0=3.91;h1=7.62;enddatamin=v/a+(L3-2)*h0+h1)/v+(30-L3)*2*sqrt(h0/a)+v/a+(28*h0+h1)/v+1.1*(19*1.3+3*(3

20、1-L3);2*sqrt(h1/a)+(L2-2)*2*sqrt(h0/a)+v/a+(L2-2)*h0+h1)/v+1.1*(19*1.3+3*(L2-1)<2*60;v/a+(L2-2)*h0+h1)/v+(L3-L2-1)*2*sqrt(h0/a)+v/a+(L3-2)*h0+h1)/v+1.1*(19*1.3+3*(L3-L2-1)<2*60;v/a+(L3-2)*h0+h1)/v+(30-L3)*2*sqrt(h0/a)+v/a+(28*h0+h1)/v+1.1*(19*1.3+3*(31-L3)<2*60;L2<L3;L2<30;L3<=30;1

21、9*2400*(1/(2*sqrt(h1/a)+(L2-2)*2*sqrt(h0/a)+v/a+(L2-2)*h0+h1)/v+1.1*(19*1.3+3*(L2-1)+1/(v/a+(L2-2)*h0+h1)/v+(L3-L2-1)*2*sqrt(h0/a)+v/a+(L3-2)*h0+h1)/v+1.1*(19*1.3+3*(L3-L2-1)+1/(v/a+(L3-2)*h0+h1)/v+(30-L3)*2*sqrt(h0/a)+v/a+(28*h0+h1)/v+1.1*(19*1.3+3*(31-L3)>5948;End附表四：#include"stdio.h"

22、#include"math.h"#define r 19#define a 0.8#define b 0.5#define h1 7.62#define h 3.91#define d 3#define v 5.08int A1,A2,A3,A4,A5,A6;double E(int N) /*E(n)*/ double E1;E1=N*(1-pow(1-1/N,r);return E1;double ci(int p,int q) int m=0;int i;int B29=208,177,222,130,181,191,236,236,139,272,272,272,270,300,264,200,200,200,200