1、第四章 數值積分一問題提出：（1）針對定積分，若,a=0,b=1，即有，但當，時，很難找到其原函數。（2）被積函數并沒有具體的解析形式，即僅為一數表。二定積分的幾何意義定積分的幾何意義為，在平面坐標系中I的值即為四條曲線所圍圖形的面積，這四條曲線分別是，y=0，x=a，x=b。三機械求積公式1.中矩形公式；幾何意義：用以下矩形面積替代曲邊梯形面積。2.梯形公式梯形公式的幾何意義：用以下梯形面積替代曲邊梯形的面積：3.辛普生公式辛普生公式的幾何意義：陰影部分的面積為拋物線曲邊梯形，該拋物線由三點構成。4.求積公式的一般形式，其中稱為節點，稱為求積系數，或權。5.求積公式的代數精度（衡量求積公式準

2、確度的一種方法）含義：衡量一個積分公式的好壞，要用具體的函數來衡量，尋找怎樣的函數來衡量呢？簡單的多項式函數是一個理想的標準。定義：若某積分公式對于均能準確成立，但對于不能準確成立。則稱該公式具有m次代數精度。解釋：代數精度只是衡量積分公式好壞的1種標準。例1研究中矩形公式的代數精度及幾何意義。解：當時，公式左邊，公式右邊，左=右；當時，公式左邊，公式右邊，左=右；當時，公式左邊，公式右邊，左右；故中矩形公式具有1次代數精度。從定積分的幾何意義可以看出，當被積函數為一條直線時，中矩形公式是嚴格成立的，中矩形面積與梯形面積相等，如下圖所示。例2研究梯形公式的代數精度及幾何意義。解：當時，公式左邊

3、，公式右邊，左=右；當時，公式左邊，公式右邊，左=右；當時，公式左邊，公式右邊，左右。故梯形公式也具有1次代數精度。從定積分的幾何意義知，當被積函數為一條直線時，其積分值本身就是一個梯形的面積，如下圖所示。例3研究辛普生公式的代數精度及幾何意義。解：當時，公式左邊，公式右邊，左=右；當時，公式左邊，公式右邊，左=右；當時，公式左邊，公式右邊，左=右；當時，公式左邊，公式右邊，左=右；當時，左右；故梯形公式具有3次代數精度。當被積函數為一條直線或一條拋物線時，過其曲線上3個點構造的拋物線就是其本身曲線，所以積分公式嚴格成立。當被積函數為3次多項式時，辛普生公式也嚴格成立，如下圖所示，兩個曲邊梯形

4、面積剛好相等。6.求積公式的確定方法一：待定系數法。例1.構造一個至少具有一次代數精度的積分公式。分析：構造一次代數精度的公式，即當及時，公式嚴格成立，故有2個約束條件，于是可以確定具有2個參數的積分公式。解：設積分公式為：。針對及，代入積分公式的左邊和右邊，有：，解得，于是有積分公式：。該公式即為梯形求積公式。例2.構造一個至少具有2次代數精度的求積公式。解：設積分公式為。針對，及，代入積分公式的左邊和右邊，有：，解得：，積分公式為：該公式即為辛普生公式，需要注意的是，該公式的代數精度并不是2次，而是3次的。方法二，插值法（插值型求積公式），即過函數f(x)的n+1節點x0，x1，xn，作n

5、次多項式函數，根據拉格朗日公式：，則有，其中，代數精度的分析：若被積函數是次數小于n的多項式函數，那么由其曲線上的n+1節點構成的n次多項式函數即是被積函數本身。則：插值型積分公式具有至少n次代數精度。解釋：若是一條直線，那么過其曲線上3個點構造的拋物線，其中必有，即；同理，若是一條拋物線，那么過其曲線上4個點構造的3次多項式函數，其中必有，即。四牛頓-柯特斯公式1.牛頓柯特斯公式（等間距的插值型求積公式）把區間a，b分為n等份，步長為hh（ba）/n則n+1個點分別為：。由這n1個點構造的插值型求積公式為：該公式稱為牛頓柯特斯公式，稱為柯特斯系數，當n1時（即2個點，1等份），有梯形公式（1

6、次代數精度）：當n2時（即3個點，2等份），有公式辛普生公式（3次代數精度）：當n4時（即5個點，4等份），有柯特斯公式（5次代數精度）2.復化求積公式1.復化梯形求積公式2.復化辛普生公式3.變步長算法梯形公式的逐次分半算法含義：把區間a，b分成n等份計算其n個小梯形面積；再把區間a，b分成2n等份計算其2n個小梯形面積。預備知識：則有：先計算，若，再計算，直到為止，則就是答案。4.龍貝格求積公式復化積分的誤差公式龍貝格公式推導公式稱為龍貝格公式，龍貝格公式不是牛頓柯特斯公式。龍貝格公式求積算法T1T2S1T4S2C1T8S4C2R1T16S8C4R25.高斯公式（1）.含義：積分公式的一般

7、形式；以前的節點是按等間距來選擇，為了獲得更高的代數精度節點也可以作為待定值。（2）.一點高斯公式設一點高斯公式的形式為：其實都是需要待定的值。根據代數精度概念，令，使積分公式準確成立，有解得：，故一點高斯公式為：，即為中矩形公式，它具有1次代數精度。（3）.二點高斯公式設一點高斯公式的形式為：其實都是需要待定的值。根據代數精度概念，令，使積分公式準確成立，有該方程組不是線性方程組，故其求解比較困難，最后解得：解得：，故二點高斯公式為：，它具有3次代數精度。n點高斯公式具有至少2n1次代數精度。（4）.勒讓德多項式，。可以證明，勒讓德多項式的零點可以作為節點來構造高斯公式：（5）.三點高斯公式確定公式中的6個參數。分析3次勒讓德多項式則其零點為：。令，使積分