1、談中學(xué)數(shù)學(xué)考試審題北京師范大學(xué) 蘇代輝 親愛的同學(xué)，平日學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，你有沒有過下面奇怪的感覺：考試時(shí)感覺挺好，發(fā)卷時(shí)成績(jī)出乎意料，總會(huì)有些錯(cuò)看似低級(jí)，但考試時(shí)就是檢查不出； 時(shí)常有難度的題能做得不錯(cuò)，但基礎(chǔ)題常常丟分，或者試卷卷面不時(shí)大開天窗，修改地面目全非，雖被提醒，但一到考試就忘。 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)認(rèn)真踏實(shí)，但考試成績(jī)時(shí)上時(shí)下波動(dòng)蠻大，或者試卷難度有明顯差別時(shí)，試卷分?jǐn)?shù)卻還是在那里徘徊； 做題思路盲目無(wú)序，有時(shí)題目已經(jīng)解答出來，卻還未意識(shí)到，或者本想好的思路，作著作著不知道下一步干什么了。 如果有，恭喜你，你的解題策略可能存在一個(gè)毛病審題不到位。別誤會(huì)，文章可不是幸災(zāi)樂禍，下面的內(nèi)容或許可以

2、幫你進(jìn)一步認(rèn)識(shí)和改掉這個(gè)毛病。如果把考試看作一場(chǎng)與題目和時(shí)間的戰(zhàn)斗，那么解題策略就是攻破考試，獲取高分的千軍萬(wàn)馬,而審題則是為這千軍萬(wàn)馬開辟疆場(chǎng)的先鋒隊(duì). 1.認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)解題策略.著名數(shù)學(xué)家波利亞曾說，“掌握數(shù)學(xué)就是意味著善于解題”，“中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的首要目標(biāo)就是加強(qiáng)解題訓(xùn)練。” 在大多數(shù)情況下，數(shù)學(xué)解題接觸的并不是標(biāo)準(zhǔn)模式化了的問題，而是需要?jiǎng)?chuàng)造性思維才能解決的。這就注定在數(shù)學(xué)解題活動(dòng)中必然有解題策略。數(shù)學(xué)解題尚且如此，數(shù)學(xué)考試那就更應(yīng)該講究應(yīng)對(duì)策略了。應(yīng)對(duì)策略是指解答數(shù)學(xué)考試時(shí)，總體上所采取的方針、原則和方案。它不同于具體的解題方法，它是指導(dǎo)方法的原則。沒有應(yīng)對(duì)策略的考試是盲目的、無(wú)序的，有策

3、略的考試則是有預(yù)謀的。2.考試審題的目的。本文對(duì)通過審題后，試題應(yīng)對(duì)策略初步分為直接放棄、嘗試5分鐘、堅(jiān)持到底三種。審題的目的就是面對(duì)數(shù)學(xué)試題，根據(jù)自己的知識(shí)體系，找出合理的應(yīng)對(duì)策略。3.考試審題的意義。審題是解題的開始，通過到位的審題，能夠有效挖掘題目中蘊(yùn)涵的信息，多方面地建立題目與已學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解題途徑，提高解題速度和正確率，同時(shí)從長(zhǎng)遠(yuǎn)看，審題還能幫助學(xué)生從多個(gè)角度思考問題，從而提高思維的靈活性，促進(jìn)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的完善。 只有到位的審題，才可能認(rèn)清題目，確定合理的解題策略。如果審題不到位，或者不會(huì)審題，做題跟著感覺走，是很容易發(fā)生疏漏和偏差的。必然導(dǎo)致接下來的工作或者難以完成

4、、或者多走彎路耽誤時(shí)間，當(dāng)然就會(huì)出現(xiàn)上述的種種問題了。4.考試審題的步驟。4.1 仔細(xì)觀察。仔細(xì)觀察是審題的開始。觀察過程中眼睛就好比一架照相機(jī)，把題目信息攝入大腦。建議一邊默讀，一邊對(duì)題目條件進(jìn)行編號(hào)（如、）。首先，這種做法可以提高考試時(shí)的注意力；其次，尤其是在題目較長(zhǎng)時(shí)，也可以幫助有條不紊地將題目?jī)?nèi)容讀完；再者，題目條件的編號(hào)還方便下面的解題。因?yàn)檎?guī)數(shù)學(xué)題一般只有所有的題目條件都用上時(shí)，才能將題目全面正確地解出，得到正確的結(jié)果。具體的例子可以參照下圖：。 4.2 發(fā)散思維。發(fā)散思維是構(gòu)建題設(shè)條件與解題目標(biāo)的橋梁，是中學(xué)生解題能力的直接反應(yīng)，更是審題的關(guān)鍵。建議圈出題目問題，過程中將自己置

5、身一種以題目要求為心，自己的思維為半徑的磁場(chǎng)。全神貫注地回憶相關(guān)的知識(shí)體系，包括例題、定理、公式、圖像、表格等。發(fā)散思維去想，盡可能地建立題設(shè)條件與解題目的之間的直接聯(lián)系。聯(lián)想過程中可以有意識(shí)地按照下面幾個(gè)原則來進(jìn)行。 4.2.1 直觀相似。它是指由命題的已知條件和結(jié)論的外表形態(tài)去聯(lián)想相似的公式、定理來構(gòu)建解題思路。請(qǐng)看下面的例題： 例1.若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0。證明2y=x+z。 此題可以通過去括號(hào)展開化簡(jiǎn)來解，但顯得繁瑣。如果注意觀察題目的形式，不難發(fā)現(xiàn)它與一元二次方程的判別式相似。于是，聯(lián)想到借助一元二次方程的知識(shí)來證。即當(dāng)xy時(shí)，可以把等式化為(z-x)2-4(x-

6、y)(y-z)=0看做一元二次方程(x-y)t2+(z-x)t+(y-z)=0有等根的條件。進(jìn)一步觀察方程的兩根為1.然后根據(jù)韋達(dá)定理，結(jié)論可以輕易得到證明。 4.2.2 順向思維。它是指由簡(jiǎn)到易，類比推廣來構(gòu)建解題思路。請(qǐng)看下面的例題： 例2.求證：正四面體內(nèi)任一點(diǎn)到各面的距離之和為定值。容易知道在正三角形內(nèi)任一點(diǎn)到個(gè)邊的距離之和為定值，即等于正三角形的高。其證明方法是將正三角形分割為此點(diǎn)為頂點(diǎn)，以正三角形三邊為此頂點(diǎn)的對(duì)邊的三個(gè)三角形，利用面積相等來證明。類似地，可以體積相等來證明此題。甚至對(duì)此題我們可以作進(jìn)一步的推廣，四面體內(nèi)任一點(diǎn)到各面的距離之和為定值。 4.2.3 逆向思維。當(dāng)順向思

7、維解題遇到困難時(shí)，常常產(chǎn)生逆向思維，考慮問題的逆否命題。在解題方面上表現(xiàn)為反面解法。在證明上表現(xiàn)為反證法等。請(qǐng)看下面的例題： 例3.已知二次方程ax2+2bx+1=0及cx2+2dx+1=0（ac0）的系數(shù)a、bd、c組成等差數(shù)列。求證：上述兩個(gè)方程至少有一個(gè)實(shí)根。此題直接證明有困難。因此，先將原題變?yōu)槟娣衩}：已知已知二次方程ax2+2bx+1=0及cx2+2dx+1=0均無(wú)實(shí)根，求證a、bd、c不能構(gòu)成等差數(shù)列。然后進(jìn)一步分析可轉(zhuǎn)化為：已知b2-a2<0、 d2-c2<0求證：a+c2bd。最后由a+c>b2+d22bd命題容易得到證明。4.2.4橫向思維。是指數(shù)學(xué)各分支

8、之間，乃至數(shù)學(xué)與物理化學(xué)之間的聯(lián)系。交叉學(xué)科，在題目框架下，考慮問題的幾何意義，物理意義等來構(gòu)建解題思路。請(qǐng)看下面的例題： 例4.已知不等式2xax+b的解集是1x4，求a，b的值。此題用純代數(shù)的方法解較為困難，若考慮幾何意義，構(gòu)造函數(shù)y=2x、y=ax+b。觀察它們的圖象（如右圖）知，在區(qū)間1，4上，函數(shù)的圖象是拋物線AB，而A、B的坐標(biāo)分別是A（1、2），B（4、4）；的圖象是直線，由題意，這條直線過A、B。因此問題等價(jià)于求過A、B的直線方程，將二者坐標(biāo)帶入，就可以求出a，b的值。4.3初步嘗試。初步嘗試是審題的結(jié)束。通過對(duì)數(shù)學(xué)問題的仔細(xì)觀察、發(fā)散思維，往往從整體上有了自己的認(rèn)識(shí)，根據(jù)自己

9、對(duì)題目的陌生到熟悉程度，從直接放棄、嘗試5分鐘與堅(jiān)持到底中三者中確定自己對(duì)這個(gè)題目的應(yīng)對(duì)策略。建議嘗試的過程中時(shí)注意時(shí)刻結(jié)合題目條件與問題，提防思維定式或者題目預(yù)設(shè)的陷阱。題目都會(huì)有難點(diǎn)，而難點(diǎn)的突破，一般是瞬間的，頓悟的感覺。5.考試目標(biāo)的定位。要保證審題步驟的順利進(jìn)行，當(dāng)然要對(duì)考試目標(biāo)有一個(gè)科學(xué)的定位。對(duì)大多數(shù)學(xué)生來說，以獲取滿分為目標(biāo)當(dāng)然是不理智，也是不實(shí)際的。考試的最高境界應(yīng)該是：在有效地時(shí)間內(nèi)，把一切會(huì)做題的分全部拿到。切忌每個(gè)題都動(dòng)筆換取心里安慰，但大多淺嘗輒止，耗時(shí)費(fèi)力不得分。6.考試審題習(xí)慣的培養(yǎng)。考試審題是一種習(xí)慣，良好的審題習(xí)慣需要在長(zhǎng)期的學(xué)習(xí)過程中有目的、有計(jì)劃地從各方面堅(jiān)持去培養(yǎng)。首先心態(tài)要正，不要害怕考試，要敢于面對(duì)考試。把平時(shí)的作業(yè)當(dāng)考試，把真正地考試當(dāng)平時(shí)練習(xí)。其次平時(shí)重視基礎(chǔ)知識(shí)，掌握知識(shí)之間的縱橫聯(lián)系，注意把已掌握的知識(shí)系統(tǒng)化。再次，既要有意識(shí)地控制思維，發(fā)散理性聯(lián)想，也要開展自由地感性聯(lián)想。最后要運(yùn)審題把問題引申推廣。不要滿足解完一道題，同時(shí)同一道題也要努力尋求多種解法。經(jīng)常這樣作，就會(huì)逐步養(yǎng)成審題的習(xí)慣，而且發(fā)散思維能力在審題過