1、微分與不定積分本章的主要目的是要在Lebesgue積分理論中推廣這一結果)()()(xfdttfRdxdxal若f(x)在a,b上連續，則)()()( )(aFxFdttFRxal若F (x) 在a,b上連續，則xaxaxadttfLdttfLdttfLxF)()()()()()()(為兩個單調不減函數的差l單調函數的可微性：單調函數幾乎處處有有限導數l有界變差函數（即兩個單調不減函數的差）l絕對連續函數（即能寫成不定積分形式的函數）l定理 設f(x)是a,b上的單調不減函數，則f (x)在a,b上幾乎處處存在有限導數，且)()()( ,afbfdxxfbal注：等號不一定成立， 即使f(x)

2、是a,b上的 連續單調不減函數， 例如Cantor函數。Weierstrass在1772構造出一處處連續但無處可導的函數) x (a cosb (x) fn0nn（其中 0 b 1 且 a為正奇數）Koch曲線btttaTn10：分劃21)()()()()(21211iiiinittttTL折線長1222111( )()( )() niiiiitttt | )()(|11iinitt都和|)()(|11iinitt|)()(|11iinitt| )()(|11iinitt( )( ) , xtytta b參數曲線L：的全變差在為的分點組為,)(,: ),(sup)(baxfbaPPfVfVba

3、ba上的有界變差函數為，則稱若,)()(baxffVba為f(x)對分點組P的變差，稱| )()(|),(11iinibaxfxfPfV稱,10bxxxan設f(x)是a,b上的有限函數，在a,b上任取一分點組 P閉區間上的單調函數一定是有界變差函數 |)()(|)(10afbffV|)()(|)()(|),(11afbfxfxfPfVPiiniba，分劃連續函數不一定是有界變差函數1 ,0(cos002)(xxxxxf上的有界變差函數不為，故從而 1 , 0)()(10 xffV對0,1取分劃111122132:11,nnTiniiinixfxfTfV111110| )()(|),(則0.2

4、0.40.60.81-0.4-0.20.21/41/21/6l定理 f(x)是有界變差函數當且僅當f(x)可表成兩個非負單調不減函數的差）（）（其中即|)(|)()(21)(|)(|)()(21)()()()(2121afxffVxfafxffVxfxfxfxfxaxa注：由于單調函數的不連續點全體為一可數集，從而有界變差函數的不連續點為一可數集，故Riemann可積,并且幾乎處處存在有限導數 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1/9 1/3 2/3 1 1/21/81/43/85/87/83/4如此類似取值一直定義下去a.在G=0,1-P的各構成區間上，)(x)(x:

5、 )(sup)(xtGttx且1 , 0Pxc.當 時,規定稱 為0,1 上的Cantor函數。1) 1 (0) 0(b.規定351212222,;nnnnn如前圖規定:在第n次去掉的2n-1個開區間上依次取值為顯然在0,1上單調不減，從而為有界變差函數，并且導函數幾乎處處為0，)0() 1 (10)( 1 , 0dxx注：Cantor函數把長度為零的集合連續拉長成長度為1的集合)(),()(),(0000 xxxx或)(x否則，若 在x0 (0,1)處不連續，則開區間 非空， 1 , 0)(G)(x此區間中的每個數都不屬于 的值域，這與 矛盾。（端點情形類似說明）定理 f(x)是有界變差函數

6、當且僅當f(x)可表成兩個非負單調不減函數的差xaxaxadttfLdttfLdttfLxF)()()()()()()(l不定積分F(x)是有界變差函數，但由Cantor 函數（是有界變差函數）知道，先取導數再取積分并不能返回，問什么函數滿足此性質？|)()(|1iiniaFbF有則稱F(x)是a,b上的絕對連續函數注： 絕對連續函數一定是一致連續函數，當然是連續函數，也一定是有界變差函數，從而幾乎處處有有限導數。, 0, 0設F(x)是a,b上的有限函數，若使對a,b中的任意有限個互不相交的開區間), 2 , 1(),(nibaii時，當)(1iiniab為絕對連續函數則上的可積函數，是若cdttfxFbaxfxa)()(,)(1函數的一真子類界變差從而絕對連續函數是有但不是絕對連續函數，故為有界變差函數，函數為單調連續函數，Cantor2利用積分的絕對連續性即可)()()( )(aFxFdttFLxal定理 若F(x)在a,b上絕對連續，則