1、學案18 直線與圓錐曲線的位置關系(理)一、要點整合1.圓錐曲線的兩個定義：（1）統一定義：三種圓錐曲線均可看成點集（點的軌跡）：，其中F為定點，d為P到定直線的距離，F。當0e1時，點P軌跡是雙曲線；當e=1時，點P軌跡是拋物線。（2）橢圓及雙曲線第一定義：橢圓：P|PF1|+|PF2|=2a，2a|F1F2|0，F1、F2為定點，雙曲線P|PF1|-|PF2|=2a，|F1F2|2a0，F1，F2為定點。注意：（1）第一定義中要重視常數與的大小限制；（2）雙曲線定義中的“絕對值”； （3）統一定義中要注意定點和定直線是相應的焦點和準線，且點點距為分子、點線距為分母”，其商即是離心率。2.圓

2、錐曲線的標準方程：（標準方程是指中心（頂點）在原點，坐標軸為對稱軸時的曲線方程）：（1）橢圓：焦點在軸上時（）；焦點在軸上時1（）。（2）雙曲線：焦點在軸上： =1；焦點在軸上：1（）。（3）拋物線：開口向右時；開口向左時；開口向上時；開口向下時。注意：（1）焦點位置的判斷（首先化成標準方程，然后再判斷）；（2）在橢圓中，最大，在雙曲線中，最大，。（3）求標準方程的基本步驟：定位（判斷它的中心（頂點）在原點、焦點在哪條坐標軸上）；定型（確定標準方程的類型）；定量（建立基本量的方程或方程組，解基本量）。3.焦半徑：焦半徑公式如下圖： 4.焦點三角形問題：常利用第一定義和正弦、余弦定理求解。5.圓

3、錐曲線的幾何性質：（圓錐曲線的對稱性、范圍、特殊點線、變化趨勢）（1）橢圓（以（）為例）：范圍：；焦點：兩個焦點；對稱性：對稱軸，一個對稱中心（0,0），四個頂點，其中長軸長為2，短軸長為2；準線：兩條準線； 離心率：=， ，越小，橢圓越圓；越大，橢圓越扁。（2）雙曲線（以（）為例）：范圍：或；焦點：兩個焦點；對稱性：對稱軸，一個對稱中心（0,0），兩個頂點，其中實軸長為2，虛軸長為2，特別地，當實軸和虛軸的長相等時，稱為等軸雙曲線，其方程可設為；準線：兩條準線； 離心率：=， ，等軸雙曲線，越小，開口越小，越大，開口越大；兩條漸近線：。（3）拋物線（以為例）：范圍：；焦點：一個焦點，其中的幾

4、何意義是：焦點到準線的距離；對稱性：一條對稱軸，沒有對稱中心，只有一個頂點（0,0）；準線：一條準線； 離心率： 。注意：重視“特征直角三角形、焦半徑的最值、焦點弦的最值及其頂點、焦點、準線等相互之間與坐標系無關的幾何性質”6直線與圓錐曲線的位置關系：在直線與圓錐曲線的位置關系問題中，有“函數方程思想”和“數形結合思想”兩種思路，等價轉化求解. 注意：直線與圓錐曲線相交的必要條件是他們構成的方程組有實數解，當出現一元二次方程時，務必“”，尤其是在應用韋達定理解決問題時，必須先有“”.直線與拋物線(相交不一定交于兩點)、雙曲線位置關系(相交的四種情況)的特殊性，應謹慎處理.7弦長公式：若直線與圓

5、錐曲線相交于兩點A、B，且分別為A、B的橫坐標，則，若分別為A、B的縱坐標，則，若弦AB所在直線方程設為，則。注意：焦點弦（過焦點的弦）：焦點弦的弦長的計算，一般不用弦長公式計算，而是將焦點弦轉化為兩條焦半徑之和，或統一（第二）定義求解。8圓錐曲線的中點弦問題：遇到中點弦問題常用“韋達定理”或“點差法”求解。在橢圓中，以為中點的弦所在直線的斜率；在雙曲線中，以為中點的弦所在直線的斜率；在拋物線中，以為中點的弦所在直線的斜率。注意：如果在一條直線上出現“三個或三個以上的點”，那么可選擇應用“斜率”為橋梁轉化.9.常見的尋求曲線方程的方法(待定系數法、定義法、直譯法、代點法、參數法、交軌法等),

6、以及如何利用曲線的方程討論曲線的幾何性質，這是解析幾何的兩類基本問題，也是解析幾何的基本出發點.注意：如果問題中涉及到平面向量知識，那么應從已知向量的特點出發，考慮選擇向量的幾何形式進行“摘帽子或脫靴子”轉化，還是選擇向量的代數形式進行“摘帽子或脫靴子”轉化.在與圓錐曲線相關的綜合題中，常借助于“平面幾何性質”數形結合、“方程與函數性質”化解析幾何問題為代數問題、“分類討論思想”化整為零分化處理、“求值構造等式、求變量范圍構造不等關系”等等.學案18 直線與圓錐曲線的位置關系二、 典例講解.【例1】已知雙曲線 與點（1）求過點的直線l的斜率k的取值范圍，使l與C分別有一個交點、兩個交點、沒有交

7、點.（2）是否存在過P點的弦AB，使AB中點為P.（3）若Q（1,1），試判斷以Q點為中點的弦是否存在.【例2】給定拋物線，F是C的焦點，過點F的直線與相交與兩點，記O為坐標原點.（1）求的值；（2）設，當三角形OAB的面積時，求的取值范圍.【例3】在平面直角坐標系中，過定點作直線與拋物線（）相交于兩點（I）若點是點關于坐標原點的對稱點，求面積的最小值；（II）是否存在垂直于軸的直線，使得被以為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由ABxyNCO【例4】已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，同時滿足以下條件：離心率經過點P（1,0）的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，

8、且線段AB的中點在直線上；橢圓C上存在一點，與其右焦點關于直線l對稱。求直線l及橢圓C的方程.三、 高考題型總結.（分析2008年高考命題趨勢，對命題難度，內容，熱點等作總結）（一）方法總結1求曲線方程常利用待定系數法，求出相應的a，b，p等.要充分認識橢圓中參數a,b,c,e的意義及相互關系，在求標準方程時，已知條件常與這些參數有關. 2涉及橢圓、雙曲線上的點到兩個焦點的距離問題，常常要注意運用第一定義，而涉及曲線上的點到某一焦點的距離，常常用圓錐曲線的統一定義.對于后者，需要注意的是右焦點與右準線對應，不能弄錯.3直線與圓錐曲線的位置關系問題，利用數形結合法或將它們的方程組成的方程組轉化為

9、一元二次方程，利用判別式、韋達定理來求解或證明.4對于軌跡問題，要根據已知條件求出軌跡方程，再由方程說明軌跡的位置、形狀、大小等特征.求軌跡的常用方法有直接法、定義法、參數法、代入法、交軌法等.5與圓錐曲線有關的對稱問題，利用中心對稱以及軸對稱的概念和性質來求解或證明.（二）2008年高考預測1求曲線（軌跡）方程的常用方法（直譯法、定義法、待定系數法、動點轉移法、參數法等）。2掌握綜合運用直線的基礎知識和圓的性質，解答直線與圓的位置關系的思想方法。3解析幾何是銜接初等數學和高等數學的紐帶。直線與圓錐曲線是解析幾何的重要內容，因而成為高考考查的重點。綜觀近幾年的全國和部分省高考數學試題，本專題列出高考考查的熱點內容有：（1）直線方程；（2）圓錐曲線的標準方程；（3）圓錐曲線的幾何性質；（4）直線與圓錐曲線的位置關系；（5）求曲線（軌跡）方程。特別是求曲線（軌跡）方程和直線與圓錐曲線的位置關系問題是高考解析幾何問題的熱中之熱。（三）復習建議1加強直線和圓錐曲線的基礎知識，初步掌握了解決直線與圓錐曲線有關問題的基本技能和基本方法。2由于直線與圓錐曲線是高